Ряды КТ 3
Радиус сходимости ряда $$\sum_{n=1}^{\infty}
\frac{(x+5)^n}{n\cdot 3^n}$$ равен:
$$R= \lim_{n \rightarrow
\infty}|\frac{c_n}{c_{n+1}}|$$.
Так как $$c_n=\frac{1}{n\cdot 3^n}$$, а $$c_{n+1}=\frac{1}{(n+1)\cdot 3^{n+1}}$$, то
$$R= \lim_{n \rightarrow
\infty}\frac{(n+1)\cdot 3^{n+1}}{n\cdot 3^n} $$,
$$R=3 \lim_{n \rightarrow
\infty}(1+\frac{1}{n})=3\cdot(1+0)=3$$.
Интервал сходимости ряда $$\sum_{n=0}^{\infty}
\frac{4^n(x-1)^n}{n+1}$$ имеет вид:
Так как имеем ряд вида $$\sum_{n=0}^{\infty} c_n
(x-a)^n$$, то $$c_n= \frac{4^n}{n+1}$$, $$a=1$$.
1. Найдем радиус сходимости ряда:
$$R=\lim_{n \rightarrow \infty}|\frac{c_n}{c_{n+1}}|$$ ,
$$R=\lim_{n \rightarrow
\infty} \frac{4^n \cdot (n+2)}{(n+1) \cdot 4^{n+1}}$$,
$$R= \frac{1}{4}\lim_{n
\rightarrow \infty}\frac{n+2}{n+1}=\frac{1}{4} \cdot 1=\frac{1}{4}$$.
2. Найдем интервал сходимости ряда:
$$(a-R;a+R)$$; $$(1-0,25;1+0,25)$$; $$(0,75;1,25)$$.