Загрузка
ТестыСправкаQualiMe РегистрацияВход
ТестыСправкаQualiMe
РегистрацияВход
Тесты Студент
Ряды КТ 3

Ряды КТ 3

Радиус сходимости ряда $$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{x^n}{(n-3)^n}$$ равен:
Применим формулу: 
$$R=\lim_{n\rightarrow \infty}\sqrt[n]{\frac{1}{c_n}}$$. 
Так как $$c_n=\frac{1}{(n-3)^n}$$, а $$\frac{1}{c_n}=(n-3)^n$$, то 
$$R=\lim_{n\rightarrow \infty}\sqrt[n]{(n-3)^n}=\lim_{n\rightarrow \infty}(n-3)=\infty$$.
Выберите один из вариантов
Интервал сходимости ряда $$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{(x-2)^n}{n\cdot 4^n}$$ имеет вид:
Так как имеем ряд вида $$\sum_{n=1}^{\infty }c_n(x-a)^n$$ , то $$c_n=\frac{1}{n\cdot 4^n}$$ , $$a=2$$ . 
1. Найдем радиус сходимости ряда: 
 $$R=\lim_{n\rightarrow \infty }\left | \frac{c_n}{c_{n+1}} \right |$$, 
$$R=\lim_{n\rightarrow \infty } \frac{(n+1)\cdot 4^{n+1}}{n\cdot 4^n} $$, $$R=4\lim_{n\rightarrow \infty } \left ( 1+\frac{1}{n} \right )= 4(1+0)$$ . 
2. Найдем интервал сходимости ряда: 
$$(a-R; a+R),(2-4;2+4),(-2;6).$$
Выберите один из вариантов

Радиус сходимости ряда $$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x+5)^n}{n\cdot 3^n}$$ равен:

Радиус сходимости ряда найдем по формуле:  

$$R= \lim_{n \rightarrow \infty}|\frac{c_n}{c_{n+1}}|$$.

 Так как $$c_n=\frac{1}{n\cdot 3^n}$$, а $$c_{n+1}=\frac{1}{(n+1)\cdot 3^{n+1}}$$, то

 $$R= \lim_{n \rightarrow \infty}\frac{(n+1)\cdot 3^{n+1}}{n\cdot 3^n} $$,

$$R=3 \lim_{n \rightarrow \infty}(1+\frac{1}{n})=3\cdot(1+0)=3$$.

Выберите один из вариантов
Если ряд $$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{2^n}{(n+3)!}$$ расходится, то найдите его первый член, а если сходится, то найдите второй член:
Применим признак Даламбера:
$$1) a^n=\frac{2^n}{(n+3)!},a_{n+1}=\frac{2^{n+1}}{(n+4)!};$$
$$2) \frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{2^{n+1}}{(n+4)!}\cdot \frac{(n+3)!}{2^n}=\frac{2\cdot (n+3)!}{(n+3)!(n+4)}=\frac{2}{(n+4)};$$
$$3)\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{a_{n+1}}{a_n}=2\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{1}{n+4}=2\cdot 0=0.$$
Так как $$0<1$$ , то ряд сходится.
Тогда, $$a_2=\frac{4}{5!}=\frac{1}{30}.$$
Выберите несколько вариантов ответов

Интервал сходимости ряда $$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{4^n(x-1)^n}{n+1}$$ имеет вид:

Так как имеем ряд вида $$\sum_{n=0}^{\infty} c_n (x-a)^n$$, то $$c_n= \frac{4^n}{n+1}$$, $$a=1$$. 

1. Найдем радиус сходимости ряда: 

$$R=\lim_{n \rightarrow \infty}|\frac{c_n}{c_{n+1}}|$$ ,

$$R=\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{4^n \cdot (n+2)}{(n+1) \cdot 4^{n+1}}$$,

$$R= \frac{1}{4}\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{n+2}{n+1}=\frac{1}{4} \cdot 1=\frac{1}{4}$$.

2. Найдем интервал сходимости ряда: 

$$(a-R;a+R)$$; $$(1-0,25;1+0,25)$$; $$(0,75;1,25)$$.

Выберите один из вариантов
Если ряд $$\sum_{n=1}^{\infty }\left ( \frac{4n^2-3}{5+2n^2-n} \right )^n$$ расходится, то найдите его первый член, а если сходится, то найдите второй член:
Применим радикальный признак Коши:
$$\lim_{n\rightarrow \infty }\sqrt[n]{\left ( \frac{4n^2-3}{5+2n^2-n} \right )^n}=\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{4n^2-3}{5+2n^2-n}=2.$$ 
Так как $$2>1$$, то ряд расходится. 
Тогда, $$a_1=\frac{1}{6}$$.
Выберите несколько вариантов ответов
Если ряд $$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{n^2}{5^{n+1}}$$ сходится, то найдите его первый член, а если расходится, то найдите второй член:
Применим признак Даламбера: 
$$1) a_n=\frac{n^2}{5^{n+1}}, a_{n+1}=\frac{(n+1)^2}{5^{n+2}};$$ 
$$2) \frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{(n+1)^2}{5^{n+2}}\cdot \frac{5^{n+1}}{n^2}=\frac{1}{5}\left ( \frac{n+1}{n} \right )^2$$; 
$$3) \lim_{n\rightarrow \infty }\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{1}{5}\lim_{n\rightarrow \infty }\left ( 1+\frac{1}{n} \right )^2$$,$$\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{1}{5}(1+0)^2=\frac{1}{5}$$. 
Так как $$\frac{1}{5}< 1$$ , то ряд сходится. 
Тогда, $$a_1=\frac{1^2}{5^{1+1}}=0,04 .$$
Выберите несколько вариантов ответов
© Сиротина И.К., 2013—2024