Производная функции КТ
Если $$f(x)=\frac{x^3}{x^2-4}$$, то значение выражения $$9(f(-1)-{f}'(-1))$$ равно:
1. Найдем производную функции:
$${f}'(x)=\frac{3x^2(x^2-4)-x^3\cdot 2x}{(x^2-4)^2}$$,
$${f}'(x)=\frac{x^4-12x^2}{x^2-4)^2}$$ .
2. Найдем значение функции в точке $$x=-1$$:
$$f(-1)=\frac{1}{3}$$.
3. Найдем значение производной в точке $$x=-1$$:
$${f}'(-1)=-\frac{11}{9}$$.
4. Найдем значение выражения:
$$9(f(-1)-{f}'(-1))=9(\frac{1}{3}+\frac{11}{9})=14$$.
Введите ответ в поле
Значение производной функции $$y=2x^{e^{2x}}$$ в точке $$x=1$$ равно:
1. Прологарифмируем обе части равенства $$y=2x^{e^{2x}}$$:
$$\textrm{ln}y=\textrm{ln}2x^{e^{2x}}$$,
$$\textrm{ln}y=\textrm{ln}2+\textrm{ln}x^{e^{2x}}$$,
$$\textrm{ln}y=\textrm{ln}2+e^{2x}\textrm{ln}x$$.
2. Найдем производные левой и правой части полученного равенства:
$$\frac{y'}{y}=0+2e^{2x}\textrm{ln}x+\frac{e^{2x}}{x}$$,
$$\frac{y'}{y}=e^{2x}\left ( \textrm{ln}x^{2}+\frac{1}{x} \right )$$.
3. Выразим явно $$y'$$:
$$y'=ye^{2x}\left( \textrm{ln}x^{2}+\frac{1}{x} \right )$$,
$$y'=x^{e^{2x}}e^{2x}\left( \textrm{ln}x^{2}+\frac{1}{x} \right )$$.
4. Найдем значение производной в точке $$x=1$$:
$$y'=2\cdot 1\cdot e^{2}\cdot 1=2e^2$$.
Выберите один из вариантов
Производная функции $$y=sin^2t^2$$, $$x=2cost^2$$ имеет вид:
Найдем производные:
1) $$y'_{t}=2sint^2\cdot (sint^2)'$$, $$y'_{t}=2sint^2\cdot cost^2(t^2)'$$, $$y'_{t}=4tsint^2cost^2$$;
2) $$x'_{t}=-2sint^2\cdot (t^2)'$$, $$x'_{t}=-4tsint^2$$.
Тогда: $$y'_x=\frac{y'_t}{x'_t}$$, $$y'_x=\frac{4tsint^2cost^2}{-4tsint^2}$$, $$y'_x=-cost^2$$.
Выберите один из вариантов
Значение производной второго порядка функции $$y=\frac{1}{2}\textrm{sin}^26x$$ в точке $$x=0$$ равно:
1. Найдем производную первого порядка:
$${y}'=\frac{1}{2}\cdot 2\textrm{sin}6x(\textrm{sin}6x)'$$,
$${y}'=\textrm{sin}6x\cdot \textrm{cos}6x\cdot 6$$,
$${y}'=3\textrm{sin}12x$$.
2. Найдем производную второго порядка:
$${y}''=3\textrm{cos}12x\cdot (12x)'$$,
$${y}''=36\textrm{cos}12x$$.
3. Найдем значение производной второго порядка в точке $$x=0$$:
$${y}(0)''=36\textrm{cos}0=36$$.
Введите ответ в поле
Значение производной функции $$e^{xy}=x^2+4x$$ в точке $$(-1;0)$$ равно:
Найдем производную левой и правой части данного равенства, учитывая, что $$y=f(x)$$:
$$(e^{xy})'=(x^2+4x)'$$,
$$e^{xy}(xy)'=2x+4$$,
$$e^{xy}(1\cdot y+x\cdot y')=2x+4$$.
Выразим явно $$y'$$:
$$y+xy'=\frac{2x+4}{e^{xy}}$$,
$$xy'=\frac{2x+4}{e^{xy}}-y$$,
$$y'=\frac{2x+4}{xe^{xy}}-\frac{y}{x}$$.
При $$x=-1$$, $$y=0$$, получим:
$$y'=\frac{-2+4}{-e^0}+\frac{0}{1}=-2$$.
Выберите один из вариантов
Значение дифференциала второго порядка функции $$y=6x^2+e^{-2x}$$ в точке $$x=0$$ равно:
Найдем производную первого порядка:
$$y'=12x-2e^{-2x}$$.
Найдем производную второго порядка:
$$y''=12+4e^{-2x}$$.
Найдем дифференциал второго порядка:
$$d^2y=(12+4e^{-2x})dx^2$$.
Найдем значение дифференциала в точке $$x=0$$:
$$d^2y=16dx^2$$.
Выберите один из вариантов
Значение производной функции $$y=\frac{\textrm{sin}2x}{1+\textrm{cos}2x}$$ в точке $$x=0$$ равно:
1. Найдем производную функции:
$$y'=\frac{2\textrm{cos}2x(1+\textrm{cos}2x)+2\textrm{sin}^2x}{(1+\textrm{cos}2x)^2}$$;
$$y'=\frac{2\textrm{cos}2x+2}{(1+\textrm{cos}2x)^2}$$.
2. Найдем значение производной функции в точке $$x=0$$:
$$f'(0)=\frac{2+2}{(1+1)^2}=1$$.
Выберите один из вариантов
Значение дифференциала функции $$y=arcsin cos x$$ в точке $$x=\frac{4\pi }{3}$$ равно:
1. Найдем производную функции:
$$y'=\frac{(cosx)'}{\sqrt{1-cos^{2}x}}$$, $$y'=\frac{-sinx}{\sqrt{sin^{2}x}}$$, $$y'=-\frac{sin x}{|sinx|}$$.
2. Запишем дифференциал функции:
$$dy=-\frac{sin x}{|sinx|}dx$$.
3. Так как $$sin\frac{4\pi }{3}< 0$$, то $$dy=-\frac{sin x}{-sinx}dx$$, $$dy=dx$$.
Выберите один из вариантов
Значение производной функции $$y=(2+x^2)^{arctgx}$$ в точке $$x=0$$ равно:
1. Прологарифмируем обе части равенства $$y=(2+x^2)^{arctgx}$$:
$$ln y=ln(2+x^2)^{arctgx}$$;
$$ln y=arctgx\cdot ln(2+x^2)$$.
2. Найдем производные левой и правой части полученного уравнения:
$$\frac{y'}{y}=\frac{ln(2+x^2)}{1+x^2}+\frac{2x\cdot arctgx}{2+x^2}$$.
3. Выразим явно $$y'$$:
$$y'=y(\frac{ln(2+x^2)}{1+x^2}+\frac{2xarctgx}{2+x^2})$$.
4. Найдем значение производной в точке $$x=0$$:
$$y'(0)=2^0(\frac{ln2}{1}+\frac{0}{2})$$; $$y'(0)=ln2$$.
Выберите один из вариантов
Если $$f(x)=\textrm{ln}\sqrt[3]{\frac{2-x^3}{2+x^3}}$$, то значение выражения $$3f'(1)$$ равно:
Преобразуем функцию:
$$f(x)=\frac{1}{3}\textrm{ln}\frac{2-x^3}{2+x^3}$$,
$$f(x)=\frac{1}{3}(\textrm{ln}(2-x^3)-\textrm{ln}(2+x^3))$$.
Найдем производную:
$${f}'(x)=\frac{1}{3}(\textrm{ln}(2-x^3))'-\frac{1}{3}(\textrm{ln}(2+x^3))'$$,
$${f}'(x)=\frac{1}{3}\cdot \frac{(2-x^3)'}{2-x^3}-\frac{1}{3}\cdot\frac{(2+x^3)'}{2+x^3}$$,
$${f}'(x)=\frac{1}{3}\cdot \frac{-3x^2}{2-x^3}-\frac{1}{3}\cdot \frac{3x^2}{2+x^3}$$,
$${f}'(x)=\frac{x^2}{x^3-2}-\frac{x^2}{x^3+2}$$,
$${f}'(x)=\frac{4x^2}{x^6-4}$$.
Найдем значение выражения $$3f'(1)$$: $$3{f}'(1)=-\frac{3\cdot 4}{3}=-4$$.
Введите ответ в поле