Системы линейных алгебраических уравнений КТ
Сумма чисел, которые образуют решение системы уравнений (если система совместная) $$\left\{\begin{array}{lr} 2x-3y+z=-4,\\ x+y-2z=3 ,\\ 3x-y-z=1, \end{array}\right.$$ равна:
Найдем определители:
$$|A|=\begin{vmatrix} 2 &-3 & 1\\1& 1 & -2\\3 & -1 & -1\end{vmatrix}=-2+18-1-3-3-4=5$$;
$$|A_1|=\begin{vmatrix} -4 &-3 &\ 1\\3 & 1 &\ -2\\1& -1 & -1\end{vmatrix}=5$$;
$$|A_2|=\begin{vmatrix} 2 &-4 & 1\\1& 3 & -2\\3& 1 & -1\end{vmatrix}=10$$;
$$|A_3|=\begin{vmatrix} 2 &-3 & -4\\1& 1 & 3\\3& -1 & 1\end{vmatrix}=0$$.
Найдем значения переменных:
$$x=\frac{5}{5}=1$$; $$y=\frac{10}{5}=2$$; $$z=\frac{0}{5}=0$$.
Найдем сумму значений переменных:
$$1+2+0=3$$.
$$|A|=\begin{vmatrix} 2 &-3 & 1\\1& 1 & -2\\3 & -1 & -1\end{vmatrix}=-2+18-1-3-3-4=5$$;
$$|A_1|=\begin{vmatrix} -4 &-3 &\ 1\\3 & 1 &\ -2\\1& -1 & -1\end{vmatrix}=5$$;
$$|A_2|=\begin{vmatrix} 2 &-4 & 1\\1& 3 & -2\\3& 1 & -1\end{vmatrix}=10$$;
$$|A_3|=\begin{vmatrix} 2 &-3 & -4\\1& 1 & 3\\3& -1 & 1\end{vmatrix}=0$$.
Найдем значения переменных:
$$x=\frac{5}{5}=1$$; $$y=\frac{10}{5}=2$$; $$z=\frac{0}{5}=0$$.
Найдем сумму значений переменных:
$$1+2+0=3$$.
Выберите несколько вариантов ответов
Квадрат суммы чисел, которые образуют решение системы уравнений $$\left\{\begin{array}{lr} x_1-x_2-x_3+x_4=0,\\2x_1-x_2+6x_4=4,\\ 3x_1+x_2+x_3-6x_4=4,\\ 4x_1-4x_2+5x_4=12, \end{array}\right.$$ равен:
Выполним элементарные преобразования расширенной матрицы системы:
$$\left (\begin{array}{rrrr|r} 1 & -1 &-1 &1 & 0\\2 & -1 &0&6 &4\\3&1 &1 &-6&4\\4&-4 &0 &5 & 12\end{array} \right)$$; $$\left (\begin{array}{rrrr|r}1 & -1 &-1 &1 & 0\\0 & 1 &2&4 &4\\0& 4 & 4 &-9&4\\0&0 &4 &1 & 12\end{array}\right)$$;
$$\left(\begin{array}{rrrr|r}1 & -1 &-1 &1 & 0\\0 & 1 &2&4 &4\\0&0& 4 &25&12\\ 0 & 0 &4 & 1 & 12\end{array}\right)$$; $$\left (\begin{array}{rrrr|r}1 & -1 &-1 &1 & 0\\0 & 1 &2&4 &4\\0& 0& 4 &25&12\\0& 0 &0 &24 &0\end{array}\right)$$.
Решим систему уравнений:
$$\left\{\begin{array}{lr} x_1-x_2-x_3+x_4=0,\\ x_2+2x_3+4x_4=4,\\ 4x_3+25x_4=12,\\x_4=0.\end{array}\right.$$
Значения переменных:
$$x_4=0$$; $$x_3=3$$; $$x_2=-2$$; $$x_1=1$$.
Найдем квадрат суммы значений переменных:
$$(1-2+3+0)^2=4$$.
$$\left (\begin{array}{rrrr|r} 1 & -1 &-1 &1 & 0\\2 & -1 &0&6 &4\\3&1 &1 &-6&4\\4&-4 &0 &5 & 12\end{array} \right)$$; $$\left (\begin{array}{rrrr|r}1 & -1 &-1 &1 & 0\\0 & 1 &2&4 &4\\0& 4 & 4 &-9&4\\0&0 &4 &1 & 12\end{array}\right)$$;
$$\left(\begin{array}{rrrr|r}1 & -1 &-1 &1 & 0\\0 & 1 &2&4 &4\\0&0& 4 &25&12\\ 0 & 0 &4 & 1 & 12\end{array}\right)$$; $$\left (\begin{array}{rrrr|r}1 & -1 &-1 &1 & 0\\0 & 1 &2&4 &4\\0& 0& 4 &25&12\\0& 0 &0 &24 &0\end{array}\right)$$.
Решим систему уравнений:
$$\left\{\begin{array}{lr} x_1-x_2-x_3+x_4=0,\\ x_2+2x_3+4x_4=4,\\ 4x_3+25x_4=12,\\x_4=0.\end{array}\right.$$
Значения переменных:
$$x_4=0$$; $$x_3=3$$; $$x_2=-2$$; $$x_1=1$$.
Найдем квадрат суммы значений переменных:
$$(1-2+3+0)^2=4$$.
Введите ответ в поле
Система линейных уравнений $$\left\{\begin{array}{lr} x+2y-z=0,\\ 5x+y-5z=0 ,\\ 3x-y-3z=0 \end{array}\right.$$ является:
Выполним элементарные преобразования расширенной матрицы системы:
$$\left[\begin{array}{rrr|r} 1 & 2 &-1 &0 \\ 5 & 1 &-5 &0 \\ 3 &-1 & -3 & 0\end{array} \right]$$; $$\left[\begin{array}{rrr|r} 1& 2& -1 & 0\\ 0& 9& 0 &0\\0 & 7 & 0 &0 \end{array}\right]$$; $$\left[\begin{array}{rrr|r} 1& 2& -1 & 0\\ 0& 9& 0 &0 \\ 0 & 0 & 0 &0 \end{array}\right]$$.
Так как число переменных системы $$n=3$$, а $$r_{A}=r_{\tilde{A}}=2\neq n$$, то система совместная неопределенная.
$$\left[\begin{array}{rrr|r} 1 & 2 &-1 &0 \\ 5 & 1 &-5 &0 \\ 3 &-1 & -3 & 0\end{array} \right]$$; $$\left[\begin{array}{rrr|r} 1& 2& -1 & 0\\ 0& 9& 0 &0\\0 & 7 & 0 &0 \end{array}\right]$$; $$\left[\begin{array}{rrr|r} 1& 2& -1 & 0\\ 0& 9& 0 &0 \\ 0 & 0 & 0 &0 \end{array}\right]$$.
Так как число переменных системы $$n=3$$, а $$r_{A}=r_{\tilde{A}}=2\neq n$$, то система совместная неопределенная.
Выберите несколько вариантов ответов
Решение системы уравнений $$\left\{\begin{array}{lr} x-y-2z=2, \\2x-2y+z=0,\\ 3x-3y+2z=5\end{array}\right.$$ имеет вид:
Выполним элементарные преобразования расширенной матрицы системы:
$$\left[\begin{array}{rrr|r} 1 & -1 &-2 &2 \\2 & -2 &1 &0\\3 & -3 & 2 &5 \end{array}\right]$$; $$\left[\begin{array}{rrr|r} 1 & -1 &-2 &2 \\ 0 & 0 &5 &-4 \\ 0 & 0 & -8 &1\end{array}\right]$$; $$\left[\begin{array}{rrr|r} 1 & -1 &-2 &2 \\ 0 & 0 &5 &-4 \\ 0 & 0 & 0 &27\end{array}\right]$$.
Так как ранг основной матрицы системы равен $$2$$, а ранг расширенной матрицы равен $$3$$, то система несовместная.
$$\left[\begin{array}{rrr|r} 1 & -1 &-2 &2 \\2 & -2 &1 &0\\3 & -3 & 2 &5 \end{array}\right]$$; $$\left[\begin{array}{rrr|r} 1 & -1 &-2 &2 \\ 0 & 0 &5 &-4 \\ 0 & 0 & -8 &1\end{array}\right]$$; $$\left[\begin{array}{rrr|r} 1 & -1 &-2 &2 \\ 0 & 0 &5 &-4 \\ 0 & 0 & 0 &27\end{array}\right]$$.
Так как ранг основной матрицы системы равен $$2$$, а ранг расширенной матрицы равен $$3$$, то система несовместная.
Выберите один из вариантов
Система уравнений $$\left\{\begin{array}{lr} x+2y-z=5,\\ 2x-y+z=5,\\ 5x+10y-5z=1\end{array}\right.$$ является:
Запишем расширенную матрицу системы:
$$\left(\begin{array}{rrr|r} 1 & 2 &-1 &5 \\2 & -1 &1 &5\\5 & 10 & -5 &1 \end{array}\right)$$.
С помощью элементарных преобразований приведем ее к трапециевидному виду:
$$\left(\begin{array}{rrr|r} 1 & 2 &-1 &5 \\ 0 & 5 &-3 &5 \\ 0 & 0 & 0 &24\end{array}\right)$$.
Составим систему уравнений:
$$\left\{\begin{array}{lr} x+2y-z=5,\\ 5y-3z=5,\\ 0=24.\end{array}\right.$$
Так как получили неверное числовое равенство $$0=24$$, то система несовместная.
$$\left(\begin{array}{rrr|r} 1 & 2 &-1 &5 \\2 & -1 &1 &5\\5 & 10 & -5 &1 \end{array}\right)$$.
С помощью элементарных преобразований приведем ее к трапециевидному виду:
$$\left(\begin{array}{rrr|r} 1 & 2 &-1 &5 \\ 0 & 5 &-3 &5 \\ 0 & 0 & 0 &24\end{array}\right)$$.
Составим систему уравнений:
$$\left\{\begin{array}{lr} x+2y-z=5,\\ 5y-3z=5,\\ 0=24.\end{array}\right.$$
Так как получили неверное числовое равенство $$0=24$$, то система несовместная.
Выберите несколько вариантов ответов
Решение системы уравнений $$\left\{\begin{array}{lr} x+2y-z=0,\\5x+y-5z=0,\\3x+y-3z=0\end{array}\right.$$ имеет вид:
Выполним элементарные преобразования расширенной матрицы системы:
$$\left [\begin{array}{rrr|r} 1 & 2 &-1 &0\\5 & 1 &-5 &0 \\ 3 & 1 & -3 &0\end{array} \right]$$; $$\left [\begin{array}{rrr|r} 1 & 2 &-1 &0\\0 & 9 &0 &0\\0 & 5 & 0 &0\end{array} \right]$$; $$\left[\begin{array}{rrr|r} 1 & 2 &-1 &0 \\ 0 & 9 &0 &0 \\ 0 & 0 & 0 &0 \end{array} \right]$$.
Так как число переменных системы $$n=3$$, а $$r_{A}=r_{\tilde{A}}=2\neq n$$, то система cовместная неопределенная.
Найдем решение данной системы:
$$\left\{\begin{array}{lr} x-y-2z=0,\\ 9y=0.\end{array}\right.$$
Получим: $$x=a$$, $$y=0$$, $$z=a$$, где $$a\in R$$.
$$\left [\begin{array}{rrr|r} 1 & 2 &-1 &0\\5 & 1 &-5 &0 \\ 3 & 1 & -3 &0\end{array} \right]$$; $$\left [\begin{array}{rrr|r} 1 & 2 &-1 &0\\0 & 9 &0 &0\\0 & 5 & 0 &0\end{array} \right]$$; $$\left[\begin{array}{rrr|r} 1 & 2 &-1 &0 \\ 0 & 9 &0 &0 \\ 0 & 0 & 0 &0 \end{array} \right]$$.
Так как число переменных системы $$n=3$$, а $$r_{A}=r_{\tilde{A}}=2\neq n$$, то система cовместная неопределенная.
Найдем решение данной системы:
$$\left\{\begin{array}{lr} x-y-2z=0,\\ 9y=0.\end{array}\right.$$
Получим: $$x=a$$, $$y=0$$, $$z=a$$, где $$a\in R$$.
Выберите один из вариантов
Среднее арифметическое чисел, которые образуют решение системы уравнений
$$\left\{\begin{array}{lr} x_1+3x_2-x_3+x_4=4,\\2x_1-x_2+6x_3=-8,\\3x_1+x_2-6x_4=6,\\4x_1-4x_2+x_4=8\end{array}\right.$$ равно:
$$\left\{\begin{array}{lr} x_1+3x_2-x_3+x_4=4,\\2x_1-x_2+6x_3=-8,\\3x_1+x_2-6x_4=6,\\4x_1-4x_2+x_4=8\end{array}\right.$$ равно:
Выполним элементарные преобразования расширенной матрицы системы:
$$\left (\begin{array}{rrrr|r} 1 & 3 &-1 &1 &4 \\ 2 & -1 &6 &0 &-8 \\ 3 &1 & 0 & -6 &6 \\ 4& -4 &0 &1 &8 \end{array} \right)$$; $$\left (\begin{array}{rrrr|r} 1 & 3 &-1 &1 &4 \\ 0 & 7 &-8 &2 &16 \\ 0 &8 & -3 & 9 &6 \\ 0& 16 &-4 &3 &8\end{array} \right)$$;
$$\left (\begin{array}{rrrr|r} 1 & 3 &-1 &1 &4 \\ 0 & 8 &-3 &9 &6 \\ 0 &0 & 43 & 47 &-86 \\ 0& 0 &-2 &15 &4\end{array}\right)$$; $$\left (\begin{array}{rrrr|r} 1 & 3 &-1 &1 &4 \\ 0 & 8 &-3 &9 &6 \\ 0 &0 & 43 & 47 &-86 \\ 0& 0 &0 &1 &0\end{array} \right)$$.
Решим систему уравнений:
$$\left\{\begin{array}{lr} x_1+3x_2-x_3+x_4=4, \\ 8x_2-3x_3+9x_4=6,\\ 43x_3-47x_4=-86, \\x_4=0.\end{array}\right.$$.
Получим: $$x_4=0$$; $$x_3=-2$$; $$x_2=0$$; $$x_1=2$$.
Найдем среднее арифметическое полученных значений переменных:
$$(2+0-2+0):4=0$$.
$$\left (\begin{array}{rrrr|r} 1 & 3 &-1 &1 &4 \\ 2 & -1 &6 &0 &-8 \\ 3 &1 & 0 & -6 &6 \\ 4& -4 &0 &1 &8 \end{array} \right)$$; $$\left (\begin{array}{rrrr|r} 1 & 3 &-1 &1 &4 \\ 0 & 7 &-8 &2 &16 \\ 0 &8 & -3 & 9 &6 \\ 0& 16 &-4 &3 &8\end{array} \right)$$;
$$\left (\begin{array}{rrrr|r} 1 & 3 &-1 &1 &4 \\ 0 & 8 &-3 &9 &6 \\ 0 &0 & 43 & 47 &-86 \\ 0& 0 &-2 &15 &4\end{array}\right)$$; $$\left (\begin{array}{rrrr|r} 1 & 3 &-1 &1 &4 \\ 0 & 8 &-3 &9 &6 \\ 0 &0 & 43 & 47 &-86 \\ 0& 0 &0 &1 &0\end{array} \right)$$.
Решим систему уравнений:
$$\left\{\begin{array}{lr} x_1+3x_2-x_3+x_4=4, \\ 8x_2-3x_3+9x_4=6,\\ 43x_3-47x_4=-86, \\x_4=0.\end{array}\right.$$.
Получим: $$x_4=0$$; $$x_3=-2$$; $$x_2=0$$; $$x_1=2$$.
Найдем среднее арифметическое полученных значений переменных:
$$(2+0-2+0):4=0$$.
Введите ответ в поле
Если $$|A|$$ - определитель основной матрицы системы уравнений $$\left\{\begin{array}{lr} x+2y-z=0,\\ 5x+y-2z=0 ,\\ 3x-y+z=0, \end{array}\right.$$
а $$(x_{0};y_{0};z_{0})$$ – ее решение, то значение выражения $$\frac{|A|} {x_{0}+y_{0}+z_{0}}$$ равно:
Найдем определитель основной матрицы системы:
$$|A|=\begin{vmatrix} 1 & 2 &-1 \\ 5 & 1 &-2 \\ 3 & -1 &1 \end{vmatrix}=-15$$.
Имеем однородную систему линейных уравнений. Так как $$r_{A}=r_{\tilde{A}}=3$$, то система совместная определенная, следовательно, имеет единственное решение:
$$x_{0}=0$$, $$y_{0}=0$$, $$z_{0}=0$$.
$$|A|=\begin{vmatrix} 1 & 2 &-1 \\ 5 & 1 &-2 \\ 3 & -1 &1 \end{vmatrix}=-15$$.
Имеем однородную систему линейных уравнений. Так как $$r_{A}=r_{\tilde{A}}=3$$, то система совместная определенная, следовательно, имеет единственное решение:
$$x_{0}=0$$, $$y_{0}=0$$, $$z_{0}=0$$.
Выберите один из вариантов
Произведение всех значений переменных, которые образуют решение системы уравнений $$\left\{\begin{array}{lr} x+2y-z=20,\\5x+2z=15,\\ 3x-y+z=5,\end{array}\right.$$ равно:
Решим систему методом Крамера.
$$\Delta=\begin{vmatrix} 1 & 2 & -1\\ 5 & 0 & 2\\ 3& -1& 1 \end{vmatrix}=12+5-10+2=9$$;
$$\Delta_x=\begin{vmatrix} 20 & 2 & -1\\ 15 & 0 & 2\\ 5& -1& 1 \end{vmatrix}=45$$;
$$\Delta_y=\begin{vmatrix} 1 & 20 & -1\\ 5 & 15 & 2\\ 3& 5& 1 \end{vmatrix} = 45$$;
$$\Delta_z=\begin{vmatrix} 1 & 2 & 20\\ 5 & 0 & 15\\ 3& -1& 5 \end{vmatrix}=-45$$.
Найдем значения переменных:
$$x=\frac {45}{9}=5$$; $$y=\frac {45}{9}=5$$; $$z=\frac {-45}{9}=-5$$.
Найдем произведение всех значений переменных:
$$5 \cdot 5 \cdot (-5) =-125$$.
$$\Delta=\begin{vmatrix} 1 & 2 & -1\\ 5 & 0 & 2\\ 3& -1& 1 \end{vmatrix}=12+5-10+2=9$$;
$$\Delta_x=\begin{vmatrix} 20 & 2 & -1\\ 15 & 0 & 2\\ 5& -1& 1 \end{vmatrix}=45$$;
$$\Delta_y=\begin{vmatrix} 1 & 20 & -1\\ 5 & 15 & 2\\ 3& 5& 1 \end{vmatrix} = 45$$;
$$\Delta_z=\begin{vmatrix} 1 & 2 & 20\\ 5 & 0 & 15\\ 3& -1& 5 \end{vmatrix}=-45$$.
Найдем значения переменных:
$$x=\frac {45}{9}=5$$; $$y=\frac {45}{9}=5$$; $$z=\frac {-45}{9}=-5$$.
Найдем произведение всех значений переменных:
$$5 \cdot 5 \cdot (-5) =-125$$.
Введите ответ в поле
Произведение чисел, которые образуют решение системы уравнений (если система совместная определенная) $$\left\{\begin{array}{lr} x+2y+3z=5,\\ 2x-y+z=5 ,\\ 5x+y+3z=10, \end{array}\right.$$ равно:
Запишем расширенную матрицу системы:
$$\left (\begin{array}{rrr|r} 1 & 2 &3 &5 \\ 2 & -1 &1&5 \\ 5 &1 & 3&10\\ \end{array} \right)$$.
С помощью элементарных преобразований приведем матрицу к трапециевидному виду:
$$\left (\begin{array}{rrr|r} 1 & 2 &3 &5 \\0 & 5 &5&5 \\ 0 &9 & 12&15 \end{array} \right)$$; $$\left (\begin{array}{rrr|r} 1 & 2 &3 &5 \\ 0 & 1 &1&1\\ 0 &3 & 4&5 \end{array} \right)$$; $$\left (\begin{array}{rrr|r} 1 & 2 &3 &5 \\ 0 & 1 &1&1 \\ 0 &0 & 1&2\end{array} \right )$$.
$$\left (\begin{array}{rrr|r} 1 & 2 &3 &5 \\ 2 & -1 &1&5 \\ 5 &1 & 3&10\\ \end{array} \right)$$.
С помощью элементарных преобразований приведем матрицу к трапециевидному виду:
$$\left (\begin{array}{rrr|r} 1 & 2 &3 &5 \\0 & 5 &5&5 \\ 0 &9 & 12&15 \end{array} \right)$$; $$\left (\begin{array}{rrr|r} 1 & 2 &3 &5 \\ 0 & 1 &1&1\\ 0 &3 & 4&5 \end{array} \right)$$; $$\left (\begin{array}{rrr|r} 1 & 2 &3 &5 \\ 0 & 1 &1&1 \\ 0 &0 & 1&2\end{array} \right )$$.
Решим систему уравнений:
$$\left\{\begin{array}{lr} x+2y+3z=5,\\ y+z=1 ,\\ z=2; \end{array}\right.$$ $$\left\{\begin{array}{lr} x=1,\\ y=-1 ,\\ z=2.\end{array}\right.$$
Найдем произведение чисел, которые образуют решение системы уравнений:
$$1\cdot(-1)\cdot2=-2$$.
Выберите несколько вариантов ответов