Загрузка

Приложения производной в экономике

Если объем продукции, произведенной предприятием за время $$t$$, задан функцией $$u(t)=5t^2+2t-4$$, то производительность труда в момент времени $$t_0=10$$ равна:
Если $$u(t)$$– объем продукции, выпущенной предприятием за время $$t$$,
$$v(t)$$
– производительность труда в момент времени $$t$$, то $$v(t)=u'(t)$$.

Так как $$u'(t)=(5t^2+2t-4)'=10t+2$$,

то $$v(10)=100+2=102$$.

Формула $$v(t)=u'(t)$$ выражает экономический смысл производной. 

Введите ответ в поле
Если функция $$W(x)=\sqrt{x^2+10}$$ описывает выручку от реализации $$x$$ единиц товара, то предельная выручка от реализации 10 единиц товара составит:
Если функция $$W(x)$$ описывает выручку от реализации $$x$$ единиц товара, то функция $$W'(x)$$ описывает предельную выручку.

Найдем функцию предельной выручки:
$$W'(x)=\frac{1\cdot (x^2+10)'}{2\sqrt{x^2+10}}=\frac{2x}{2\sqrt{x^2+10}}=\frac{x}{\sqrt{x^2+10}}$$.
При $$x=10$$ получим:
$$W'(10)=\frac{10}{\sqrt{100+10}}=\frac{10}{\sqrt{110}}$$ (ден. ед).
$$(\sqrt{g(x)})'=\frac{1}{2\sqrt{g(x)}}\cdot g'(x)$$
Выберите один из вариантов
Если функция $$I(x)=\frac{2x^2}{x+2}$$ описывает зависимость издержек производства от количества $$x$$ выпускаемой продукции, то предельные издержки при выпуске $$8$$ единиц продукции составят:
Если функция $$I(x)$$ описывает зависимость издержек производства от количества $$x$$ выпускаемой продукции, то функция $$I'(x)$$ описывает предельные издержки производства.
Найдем функцию предельных издержек:
$${I}'(x)=\frac{({2x^{2})}'(x+2)-2x^{2}{(x+2)}'}{(x+2)^{2}}=\frac{4x(x+2)-2x^{2}}{(x+2)^{2}}=$$
$$=\frac{4x^2+8x-2x^2}{(x+2)^2}=\frac{2x^2+8x}{(x+2)^2}$$.

При $$x=8$$ получим:
$$I'(8)=\frac{128+64}{100}=1,92$$ (ден. ед).
$$\left ( {\frac{u}{v}}\right )'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$$, где $$u=f_1(x)$$, $$v=f_2(x)$$.

Выберите один из вариантов
Эластичность функции $$y=2^{3-2x^2}$$ имеет вид:
Эластичность функции $$y=f(x)$$ находят по формуле:
$$E_x(y)=\frac{x}{f(x)}\cdot f'(x)$$
 1. Найдем производную данной функции:
$$f'(x)=2^{3-2x^2}\cdot ln2\cdot (3-2x^2)'=2^{3-2x^2}\cdot ln2\cdot (-4x)$$.
2. Запишем функцию эластичности:
$$E_x(y)=\frac{x\cdot 2^{3-2x^2}\cdot ln2\cdot (-4x)}{2^{3-2x^2}}=-4x^2ln2$$.

$$(a^{g(x)})'=a^{g(x)}\cdot lna \cdot g'(x)$$
Выберите один из вариантов
Если аргумент функции $$f(x)=\frac{3}{5-x}$$ увеличить на $$1$$ %, то ее значение в точке $$x=4$$ увеличится:
Эластичность функции показывает процент прироста зависимой переменной $$y$$, соответствующий приращению независимой переменной $$x$$ на $$1$$%. 
Эластичность функции $$y=f(x)$$ находят по формуле:
$$E_x(y)=\frac{x}{f(x)}\cdot f'(x)$$

1. Найдем производную данной функции:
$$f'(x)=-\frac{3}{(5-x)^2}\cdot (5-x)'=\frac{3}{(5-x)^2}$$.
2. Запишем эластичность данной функции:
$$E_x(y)=\frac{x(5-x)}{3}\cdot \frac{3}{(5-x)^2}=\frac{x}{5-x}$$.
3. Подставим в полученную формулу значение $$x=4$$:
$$E_4(y)=\frac{4}{5-4}=4$$.

$$\left ( \frac{1}{g(x)} \right )'=-\frac{1}{g^2(x)}\cdot g'(x)$$
Выберите один из вариантов
Если функция издержек производства имеет вид $$C(x)=\frac{2x^3}{3}-50x^2+10x$$, а цена продукции равна $$10$$ ден. ед, то объем производства составляет:
Если $$x$$ – объем выпускаемой продукции, $$p$$ – цена продукции, а $$C(x)$$ – функция издержек производства, то $$C'(x)=p$$.
1. Найдем функцию предельных издержек производства:
$$C'(x)= \left ( \frac{2x^3}{3}-50x^2+10x \right )'=2x^2-100x+10$$.
2. Решим уравнение:
$$2x^2-100x+10=10$$,
$$x^2-50x=0$$,
$$x=50$$.

Приложение теоремы Ферма в экономике:

если $$x$$ – объем выпускаемой продукции, $$p$$ – цена продукции, $$x_0$$ – точка, в которой функция прибыли $$P(x)$$ достигает своего максимума, а $$C(x)$$ – функция издержек производства, то  $$p=C'(x_0)$$.


Выберите один из вариантов
Если функция издержек задана формулой $$C(x)=6-10x+2x^2$$, то функция предложения имеет вид:
Если $$x$$ – объем выпускаемой продукции, $$p$$ – цена продукции, $$C(x)$$ – функция издержек производства, $$S(p)$$ – функция предложения, то $$p=C'(x_0)$$, а $$x_0=S(p)$$, т. е. функция $$S(p)$$ обратная к функции $$C'(x)$$.

Найдем функцию предельных издержек производства:

$$C'(x)=-10+4x$$.

Следовательно, $$4x-10=p$$.

Так как функция $$S(p)$$ обратная к функции $$C'(x)$$, то выразим явно переменную $$x$$.

Получим:

$$4x=p+10$$,

$$x=\frac{p+10}{4}$$,

$$x=0,25p+2,5$$.

Тогда, $$S(p)=0,25p+2,5$$.

Приложение теоремы Ферма в экономике:

если $$x$$ – объем выпускаемой продукции, $$p$$ – цена продукции, $$x_0$$ – точка, в которой функция прибыли $$P(x)$$ достигает своего максимума, $$C(x)$$ – функция издержек производства, $$S(p)$$ – функция предложения, то $$p=C'(x_0)$$, а$$x_0=S(p)$$.


Выберите один из вариантов
Если величина вклада определяется функцией $$K(t)=5e^{arctg2t}$$, то величина ставки банковского процента в момент времени $$t=2$$ будет равна:

Если функция $$K(t)$$ выражает величину вклада в момент времени $$t$$, то ставку банковского процента $$r$$ можно найти по формуле:

$$r=(lnK(t))'$$.


Запишем:
$$r=(ln5e^{arctg2t})'=(ln5+lne^{arctg2t})'=(ln5)'+(arctg2t)'=$$

=$$0+\frac{1\cdot (2t)'}{1+4t^2}=\frac{2}{1+4t^2}$$.

При $$t=2$$ получим:
$$r=\frac{2}{1+16}=\frac{2}{17}$$

или в процентах $$11\frac{13}{17}$$ %.

1. Свойства логарифмов:
$$log_abc=log_ab+log_ac$$;

$$log_ab^n=nlog_ab$$;

$$lne=1$$.

2. Производная сложной функции:
$$(arctg u(x))'=\frac{1}{1+u^2(x)}\cdot u'(x)$$.

Выберите один из вариантов
Если стоимость актива $$A$$ определяется функцией $$A(t)=t^2+21$$, а доходность от вложения денег в другие активы составляет $$20$$ % в год, то актив выгодно купить через:
 Если $$A(t)$$ – стоимость некоторого актива $$A$$ в момент времени $$t$$, $$r$$ – доходность от вложения денег в другие активы, то, чтобы найти промежуток времени, в течение которого доходность актива $$A$$ будет больше $$r$$, необходимо решить неравенство:

$$(lnA(t))'>r$$.

Если временной промежуток задается интервалом $$(t_1;t_2)$$, то актив $$A$$ следует купить в момент времени $$t_1$$, а продать в момент времени $$t_2$$.

$$(ln(t^2+21))'>\frac{20}{100}$$,

 $$\frac{2t}{t^2+21}-\frac{1}{5}>0$$,

 $$\frac{10t-t^{2}-21}{5(t^{2}+21)}>0$$,

откуда $$t^2-10t+21<0$$, $$t \in (3;7)$$.

Следовательно, актив выгодно купить через $$3$$ года.
$$(lng(x))'=\frac{1}{g(x)}\cdot g'(x)$$
Выберите один из вариантов
Если стоимость актива $$A$$ определяется функцией $$A(t)=e^{\frac{t^3}{3}-1,5t^2+2,25t}$$, а доходность от вложения денег в другие активы составляет $$25$$ % в год, то актив выгодно продать через:

Если $$A(t)$$ – стоимость некоторого актива $$A$$ в момент времени $$t$$, $$r$$ – доходность от вложения денег в другие активы, то, чтобы найти промежуток времени, в течение которого доходность актива $$A$$ будет больше $$r$$, необходимо решить неравенство:

$$(lnA(t))'>r$$.

Если временной промежуток задается интервалом $$(- \infty ;t_1) \cup (t_2; +\infty)$$, то актив $$A$$ следует продать в момент времени $$t_1$$ и купить в момент времени $$t_2$$.

Так как $$lne^{\frac{t^3}{3}-1,5t^2+2,25t}=\frac{t^3}{3}-1,5t^2+2,25t$$,

то $$\left ( \frac{t^3}{3}-1,5t^2+2,25t \right )'>0,25$$,

$$t^2-3t+2,25-0,25>0$$,

$$t^2-3t+2>0$$,

откуда $$t\in (-\infty ;1)\cup (2;+\infty )$$.
Следовательно, актив выгодно продать через $$1$$ год.
Свойства логарифмов:
$$log_ab^n=nlog_ab$$;

$$lne=1$$.

Выберите один из вариантов