Загрузка

Исследование функции с помощью производной

Функция $$y=2x^2+5x-4$$  не возрастает на промежутке:
Достаточное условие возрастания (убывания) функции: 
а) если на заданном промежутке $$f{}'(x)>0$$  , то функция $$y=f(x)$$  возрастает на этом промежутке;
б) если $$f{}'(x)<0$$ , то функция $$y=f(x)$$ убывает на этом промежутке.
Найдем производную функции:

 $$y{}'=4x+5$$.

Чтобы найти промежутки не возрастания функции, необходимо решить неравенство:
$$4x+5\leq 0$$ , откуда $$x\leq -1,25$$ .
Функция  $$y=f(x)$$ не возрастает, если $$f{}'(x)\leq 0$$  и не убывает, если $$f{}'(x)\geq 0$$ .
Выберите один из вариантов
Количество критических точек функции $$f(x)= \frac{2x}{5-x}$$ равно:
Критическими точками функции называют те значения аргумента, при которых производная функции равна нулю или не существует.
Критические точки функции находят, решая уравнение:

 $${f}'(x)=0$$.

Найдем производную функции:
$${f}'(x)=\frac{{(2x)}'(5-x)-(2x){(5-x)}'}{(5-x)^2}=$$
$$\frac{2\cdot (5-x)-2x(-1)}{(5-x)^2}=$$
$$=\frac{10-2x+2x}{(5-x)^2}$$$$=\frac{10}{(5-x)^{2}}$$.
Решим уравнение:

 $$\frac{10}{(5-x)^2}=0$$,

откуда  $$x\neq 5$$

Следовательно, $$x=5$$ – критическая точка функции.

$$\left (\frac{u}{v} \right ){}'=\frac{u{}'v-uv{}'}{v^2}$$,

где $$u=f_{1}(x)$$ , $$v=f_{2}(x)$$ .

Введите ответ в поле
Значение функции $$y=15x^3+9x^2-12$$ в точке минимума равно:
Максимумом (минимумом) функции  $$y=f(x)$$ называют такое ее значение, которое больше (меньше) всех ее других значений в окрестности рассматриваемой точки. 
Максимум и минимум функции называют экстремумом функции
Значение аргумента, при котором достигается экстремум, называют точкой экстремума
Алгоритм нахождения точек экстремума функции $$y=f(x)$$:
1) находим область определения функции;
2) находим производную функции;
3) находим критические точки функции, решая уравнение $$f{}'(x)=0$$;
4) наносим критические точки на область определения функции;
5) определяем знак производной функции на полученных промежутках;
6) определяем точки экстремума функции по правилу: 
если при переходе через критическую точку производная изменяет знак c «+» на «–», то имеем точку максимума, а если с «–» на «+», то имеем точку минимума.
1. Запишем область определения данной функции:

 $$x \in R$$.

2. Найдем производную функции:

 $$y{}'=45x^2+18x$$.

3. Найдем критические точки функции:

 $$45x^2+18x=0$$,

 $$x(45x+18)=0$$, 

откуда $$x=0$$ или $$x=-0,4$$

4. Нанесем числа 0 и –0,4 на координатную прямую и установим знаки производной функции на полученных промежутках.
Согласно рисунку 4.1, запишем:

 $$x_{max}=-0,4$$$$x_{min}=0.$$

5. Найдем значение функции в точке минимума:

 $$f(0)=-12$$  .

1. Точки экстремума функции необходимо искать среди ее критических точек. 
Но не каждая критическая точка может быть точкой экстремума. 
2. Находя точки экстремума, мы определяем на промежутках знаки производной функции, а не самой функции.
Выберите один из вариантов
Произведение наибольшего и наименьшего значений функции $$y=x\cdot ln x$$  на отрезке $$[1;e^2]$$  равно:
Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $$y=f(x)$$ на заданном отрезке: 
  1. находим производную функции;
  2. находим критические точки функции, решая уравнение $$f{}'(x)=0$$ ;
  3. находим значение функции на концах отрезка и в критических точках, принадлежащих данному отрезку;
  4. определяем наибольшее и наименьшее значение функции. 
1. Найдем производную данной функции:

 $$y{}'=x{}'\cdot ln x+x\cdot (lnx){}'=1\cdot lnx+x\cdot \frac{1}{x}=lnx+1.$$ 

2. Найдем критические точки функции, решая уравнение:

 $$lnx+1=0$$,

 $$lnx=-1$$,

 $$x=e^{-1}=\frac{1}{e}$$.

3. Найдем значение функции на концах отрезка $$[1;e^2]$$ и в критической точке $$x=e^{-1}$$, поскольку она принадлежит данному отрезку:

 $$f(1)=1\cdot ln1=0,$$

 $$f(e^{-1})=e^{-1}lne^{-1}=-\frac{1}{e}$$,

 $$f(e^2)=e^2ine^2=2e^2$$.

4. Наибольшее значение функции на заданном отрезке равно $$2e^2$$, наименьшее – равно $$-\frac{1}{e}$$, а их произведение равно  $$-2e$$.
1. Правило дифференцирования:

 $$(u \cdot v){}'={u{}'v+uv{}'}$$,

 где $$u=f_{1}(x) , v=f_{2}(x) .$$

2. Если основание логарифма равно $$e\approx 2,7$$ , то записывают:

 $$log_{e}b=lnb$$

Читают: натуральный логарифм числа $$b$$
3. Справедливы равенства:

 $$ln1=0$$;

 $$lne=1$$;

 $$lne^{2}=2$$;

 $$lne^{-1}=-1$$.

Выберите один из вариантов

Уравнение касательной к графику функции $$y=\frac{2x^2}{x-1}$$ в точке с абсциссой $$x_{0}=-1$$ имеет вид:

Уравнение касательной, проведенной к графику функции $$y=f(x)$$ в точке $$(x_{0};f(x_{0}))$$, имеет вид:

$$y=f(x_0)+{f}'(x_0)(x-x_0)$$.

1. Найдем значение функции в точке $$x_{0}=-1$$:
$$f(-1)=\frac{2}{-2}=-1$$.
2. Найдем производную функции:
 $$y{}'=\frac{(2x^2){}'(x-1)-2x^2(x-1){}'}{(x-1)^2}=\frac{4x(x-1)-2x^2(-1)}{(x-1)^2}=$$
$$=\frac{4x^2-4x+2x^2}{(x-1)^2}=\frac{6x^2-4x}{(x-1)^2}$$
.

3. Найдем значение производной в точке $$x_0=-1$$:
$$f{}'(-1)=\frac{6+4}{(-2)^2}=2,5$$.
4. Запишем искомое уравнение касательной:
$$y=-1+2,5(x+1)$$,
$$y=2,5x+1,5$$
.

Угловой коэффициент касательной $$y=kx+b$$ к графику функции $$y=f(x)$$ в точке $$x_{0}$$ находят по формуле:
$$k=f{}'(x_{0})$$.
Выберите один из вариантов
Нормаль к графику функции  $$y=e^{2x}$$ в точке $$x_{0}=2$$  имеет вид:
Уравнение нормали, проведенной к графику функции $$y=f(x)$$ в точке $$(x_{0};f(x_{0}))$$, имеет вид:
$$y=f(x_{0})-\frac{1}{f{}'(x_{0})}(x-x_{0})$$.
1. Найдем значение функции в точке  $$x_{0}=2$$:

 $$f(2)=e^4$$.

2. Найдем производную функции:

 $$y{}'=e^{2x}(2x){}'=2e^{2x}$$.

3. Найдем значение производной функции в точке $$x_{0}=2$$:

 $$f{}'(2)=2e^4$$.

4. Запишем уравнение нормали:

 $$y=e^{4}-\frac{1}{2e^{4}}(x-2)$$,

 $$y=-0,5e^{-4}x+e^{4}+e^{-4}$$.

Угловой коэффициент нормали $$y=kx+b$$ к графику функции $$y=f(x)$$ в точке $$x_{0}$$ находят по формуле:
$$k=-\frac{1}{f{}'(x_{0})}.$$
Выберите один из вариантов
Наибольшее целое значение, принадлежащее промежутку, на котором функция $$y=\frac{x^3}{3}-9x^2+\frac{x}{4}-9$$ выпукла, равно:
Если на некотором промежутке выполняется неравенство $$f{}''(x)>0$$ , то функция $$y=f(x)$$ вогнута на этом промежутке, а если $$f{}''(x)<0$$ , то функция выпукла на этом промежутке.
1. Найдем первую производную функции:
$$y{}'=\left (\frac{1}{3}x^3 \right ){}'-\left (9x^2 \right ){}'+\left (\frac{1}{4}x \right ){}'-9{}'=x^2-18x+\frac{1}{4}$$.
2. Найдем вторую производную функции:

 $$y{}''=(x^2-18x+0,25){}'=2x-18$$.

3. Решим неравенство:

 $$2x-18<0$$,

 $$x<9$$.

4. Запишем:

 $$x=8$$.

Находя промежутки выпуклости и вогнутости  функции, мы определяем на промежутках знаки ее второй производной.
Введите ответ в поле
Количество точек перегиба графика функции $$y=\frac{x^5}{20}-\frac{x^4}{12}+240x-480$$ равно:
Критическими точками второго рода функции $$y=f(x)$$ называют те значения аргумента, при которых вторая производная этой функции равна нулю или не существует.
Критические точки второго рода функции $$y=f(x)$$ находят, решая уравнение:

 $$f{}''(x)=0$$.

Если при переходе через критическую точку второго рода вторая производная функции меняет знак, то имеем точку перегиба
1. Найдем первую производную функции:

$$y{}'=\frac{5x^4}{20}-\frac{4x^3}{12}+240-0=\frac{x^4}{4}-\frac{x^3}{3}+240$$.

2. Найдем вторую производную функции:

$$y{}''=$$$$\frac{4x^3}{4}-\frac{3x^2}{3}+0=x^3-x^2$$.

3. Найдем критические точки второго рода:

$$x^{3}-x^{2}=0$$,

$$x^{2}(x-1)=0$$,

откуда $$x=0$$ (двукратный корень) или $$x=1$$.

4. Нанесем точки 0 и 1 на область определения данной функции и установим знаки ее второй производной на полученных промежутках (рис. 4.2). 
Следовательно, $$x=1$$ – точка перегиба. 

Точки перегиба необходимо искать среди критических точек второго рода. 
Но не всякая такая точка может быть точкой перегиба.

Введите ответ в поле
Значение выражения $$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{ln(1-x)}{2x}$$ равно:
Правило Лопиталя-Бернулли:

если функции $$f(x)$$ и $$g(x)$$ определены, дифференцируемы и являются бесконечно малыми в некоторой окрестности точки $$x_{0}$$, то справедливо равенство:

$$\lim_{x \to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x \to x_0}\frac{{f}'(x)}{{g}'(x)}$$.
Имеем неопределенность вида $$\frac{0}{0}$$
Применим правило Лопиталя:
$$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{(ln(1-x)){}'}{(2x){}'}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{-1}{2(1-x)}=\frac{-1}{2 \cdot 1}=-0,5$$.

$$(ln(1-x)){}'=\frac{1}{1-x}\cdot (1-x){}'=\frac{-1}{1-x}$$.
Выберите один из вариантов
Приближенное значение выражения $$arcsin$$$$0,01$$ равно:
Приближенное значение функции $$y=f(x)$$  в точке $$x=x_{0}+\bigtriangleup x$$  находят по формуле:

$$f(x_{0}+\bigtriangleup x)\approx f(x_{0})+f{}'(x_{0})\cdot \bigtriangleup x$$.
1. Имеем функцию:

 $$f(x)=arcsinx$$

2. Найдем ее производную:

 $$f{}'(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$

3. Запишем:

 $$f(0+0,01)\approx f(0)+f{}'(0)\cdot 0,01$$

4. Получим:

 $$arcsin0,01\approx arcsin0+\frac{1}{\sqrt{1-0}}\cdot 0,01=0+0,01=0,01$$.

Сравните:
 $$arcsin0,01$$ и  $$arcsin0,49=arcsin(0,5-0,01)\approx$$
 $$\approx arcsin0,5+\frac{1}{\sqrt{1-0,25}}\cdot (-0,01)=$$

 $$=\frac{\pi }{6}-\frac{1}{50\sqrt{3}}$$
.
Выберите один из вариантов