1) если на заданном промежутке $$f{}'(x)>0$$ , то функция $$y=f(x)$$ возрастает на этом промежутке; 

2) если $$f{}'(x)<0$$ , то функция $$y=f(x)$$ убывает на этом промежутке.

1. Найдем производную функции:
   $$y'=(2x^2+5x-4)'$$, $$y{}'=4x+5$$. 
2. Чтобы найти промежутки не возрастания функции, необходимо решить неравенство:
   $$4x+5\leq 0$$, откуда $$x\leq -1,25$$.

1. Критическими точками функции называют те значения аргумента, при которых производная функции равна нулю или не существует. 
2. Функция возрастает на промежутке $$(a;b)$$, если $$f^{'}(x)>0$$ $$\forall x \in (a;b)$$.

1. Запишем область определения данной функции: 
   $$x \in [ 0; +\infty)$$. 
2. Найдем производную функции: 
   $$y^{'}=-\sqrt{x}+\frac{6-x}{2\sqrt{x}}$$, 
   $$y^{'}=\frac{-3x+6}{2\sqrt{x}}$$. 
3. Найдем критические точки функции: 
   $$\frac{-3x+6}{2\sqrt{x}}=0$$, откуда $$x=2$$ и $$x \neq 0$$. 
4. Нанесем критические точки на область определения функции и установим знаки производной функции на полученных промежутках (рис. 3). 
5. Функция возрастает на промежутке $$(0;2)$$. 
6.  Тогда, $$k+m=2+1=3$$.

1. Запишем область определения данной функции:
   $$x \in \textrm{R}/x \neq 2$$. 
2. Найдем производную функции:
   $$y^{'}=\frac{(2x+1)^{'}(x-2)-(2x+1)(x-2)^{'}}{(x-2)^{2}}$$,
   $$y^{'}=\frac{2 \cdot (x-2)-1 \cdot (2x+1)}{(x-2)^{2}}$$,
   $$y^{'}=\frac{-5}{(x-2)^{2}}$$. 
3. Чтобы найти промежутки убывания функции, необходимо решить неравенство:
   $$\frac{-5}{(x-2)^{2}}<0$$. 
4. Так как неравенство справедливо на всей области определения данной функции, то
   $$x \in (- \infty ;2) \cup (2; + \infty)$$.

где $$u=f_{1}(x)$$ , $$v=f_{2}(x)$$ .

1. Критическими точками функции называют те значения аргумента, при которых производная функции равна нулю или не существует. 
2. Критические точки функции находят, решая уравнение:
    $${f}'(x)=0$$.

1. Найдем производную функции:
   $${f}'(x)=\frac{{(2x)}'(5-x)-(2x){(5-x)}'}{(5-x)^2}$$,
   $${f}'(x)=\frac{2\cdot (5-x)-2x(-1)}{(5-x)^2}$$,
   $${f}'(x)=\frac{10}{(5-x)^{2}}$$. 
2. Решим уравнение:
   $$\frac{10}{(5-x)^2}=0$$, откуда $$x\neq 5$$. 
3. Следовательно, $$x=5$$ – критическая точка функции.

где $$u=f_{1}(x)$$ , $$v=f_{2}(x)$$.

1) находим производную функции; 
2) находим критические точки функции, решая уравнение $$f{}'(x)=0$$; 
3) находим значение функции на концах отрезка и в критических точках, принадлежащих данному отрезку; 
4) определяем наибольшее и наименьшее значение функции.

1. Найдем производную данной функции:
   $$y{}'=x{}'\cdot \textrm{ln} x+x\cdot (\textrm{ln}x){}'$$,
   $$y{}'=1\cdot \textrm{ln}x+x\cdot \frac{1}{x}$$,
   $$y{}'=\textrm{ln}x+1$$. 
2. Найдем критические точки функции, решая уравнение:
   $$\textrm{ln}x+1=0$$, $$\textrm{ln}x=-1$$, $$x=e^{-1}=\frac{1}{e}$$. 
3. Найдем значение функции только на концах отрезка $$[1;e^2]$$ , так как критическая точка не принадлежит данному отрезку:
   $$f(1)=1\cdot \textrm{ln}1=0$$,
   $$f(e^2)=e^2\textrm{ln}e^2=2e^2$$. 
4. Наибольшее значение функции на заданном отрезке равно $$2e^2$$, наименьшее – равно $$0$$, а их произведение равно $$0$$.

1. Правило дифференцирования:
   $$(u \cdot v){}'={u{}'v+uv{}'}$$, где $$u=f_{1}(x) , v=f_{2}(x) $$. 
2. Если основание логарифма равно $$e\approx 2,7$$, то записывают:
   $$\textrm{log}_{e}b=\textrm{ln}b$$.
   Читают: натуральный логарифм числа $$b$$. 
3. Справедливы равенства:
   $$\textrm{ln}1=0$$;
   $$\textrm{ln}e=1$$;
   $$\textrm{ln}e^{2}=2$$;
   $$\textrm{ln}e^{-1}=-1$$.

1. Критическими точками второго рода функции $$y=f(x)$$ называют те значения аргумента, при которых вторая производная этой функции равна нулю или не существует. 
2. Критические точки второго рода функции $$y=f(x)$$ находят, решая уравнение: $$f{}''(x)=0$$. 
3. Если при переходе через критическую точку второго рода вторая производная функции меняет знак, то имеем точку перегиба.

1. Найдем первую производную функции: 
   $$y{}'=\frac{5x^4}{20}-\frac{4x^3}{12}+240$$, 
   $$y{}'=\frac{x^4}{4}-\frac{x^3}{3}+240$$. 
2. Найдем вторую производную функции: 
   $$y{}''=$$$$\frac{4x^3}{4}-\frac{3x^2}{3}$$, 
   $$y{}''=x^3-x^2$$. 
3. Найдем критические точки второго рода: 
   $$x^{3}-x^{2}=0$$, $$x^{2}(x-1)=0$$, откуда $$x=0$$ (двукратный корень) и $$x=1$$. 
4. Нанесем точки $$0$$ и $$1$$ на область определения данной функции и установим знаки ее второй производной на полученных промежутках (рис. 4). 
   Следовательно, $$x=1$$ – точка перегиба.

1. Точки перегиба необходимо искать среди критических точек второго рода. 
2. Не всякая критическая точка второго рода может быть точкой перегиба.

1. Найдем первую производную функции:
   $$y{}'=\left (\frac{1}{3}x^3 \right ){}'-\left (9x^2 \right ){}'+\left (\frac{1}{4}x \right ){}'-9{}'$$,
   $$y{}'=x^2-18x+\frac{1}{4}$$. 
2. Найдем вторую производную функции:
   $$y{}''=(x^2-18x+0,25){}'$$, $$y{}''=2x-18$$. 
3. Решим неравенство:
   $$2x-18<0$$, $$x<9$$. 
4. Запишем искомое значение переменной: $$x=8$$.

1. Максимумом (минимумом) функции $$y=f(x)$$ называют такое ее значение, которое больше (меньше) всех ее других значений в окрестности рассматриваемой точки. 
2. Максимум и минимум функции называют экстремумом функции. 
3. Значение аргумента, при котором достигается экстремум, называют точкой экстремума. 
4. Алгоритм нахождения точек экстремума функции $$y=f(x)$$:
   1) находим область определения функции;
   2) находим производную функции;
   3) находим критические точки функции, решая уравнение $$f{}'(x)=0$$;
   4) наносим критические точки на область определения функции;
   5) определяем знак производной функции на полученных промежутках;
   6) определяем точки экстремума функции по правилу: если при переходе через критическую точку производная изменяет знак c «+» на «–», то имеем точку максимума, а если с «–» на «+», то имеем точку минимума.

1. Запишем область определения данной функции:  
   $$x \in \textrm{R}$$. 
2. Найдем производную функции:  
   $$y{}'=45x^2+18x$$. 
3. Найдем критические точки функции:  
   $$45x^2+18x=0$$, $$x(45x+18)=0$$, откуда $$x=0$$ и $$x=-0,4$$. 
4. Нанесем числа $$0$$ и $$–0,4$$ на координатную прямую и установим знаки производной функции на полученных промежутках. 
   Согласно рисунку 1, запишем:  $$x_{max}=-0,4$$, $$x_{min}=0$$. 
5. Найдем значение функции в точке минимума:  $$f(0)=-12$$.

1. Точки экстремума функции необходимо искать среди ее критических точек. 
2. Не каждая критическая точка может быть точкой экстремума. 
3. Находя точки экстремума, мы определяем на промежутках знаки производной функции, а не самой функции.

1. Запишем область определения данной функции:
   $$x \in [0;+\infty)$$. 
2. Найдем первую производную функции:
   $$y^{'}=-\frac{5(\sqrt{x})^{'}}{1+x}$$,
   $$y^{'}=-\frac{5}{2\sqrt{x}(1+x)}$$. 
3. Найдем вторую производную функции:
   $$y^{''}=\frac{5(\sqrt{x}(1+x))^{'}}{2x(1+x)^{2}}$$,
   $$y^{''}=\frac{5}{2x(1+x)^{2}} \cdot \frac{1+3x}{2\sqrt{x}}$$,
   $$y^{''}=\frac{5(1+3x)}{4x\sqrt{x}(1+x)^{2}}$$. 
4. Решим неравенство:
   $$\frac{5(1+3x)}{4x\sqrt{x}(1+x)^{2}}>0$$. 
5. С учетом области определения функции получим:
   $$x \in (0; +\infty)$$.

1) находим область определения функции; 

2) находим производную функции; 

3) находим критические точки функции, решая уравнение $$f^{'}(x)=0$$; 

4) наносим критические точки на область определения функции; 

5) определяем знак производной функции на полученных промежутках; 

6) определяем точки экстремума функции по правилу: если при переходе через критическую точку производная изменяет знак с $$"+"$$ на $$"-"$$, то имеем точку максимума, если с $$"-"$$ на $$"+"$$, то имеем точку минимума.

1. Запишем область определения данной функции: 
   $$x \in \textrm{R}$$. 
2. Найдем производную функции: 
   $$y^{'}=15x^{4}-60x^{2}$$. 
3. Найдем критические точки функции: 
   $$15x^{4}-60x^{2}=0$$, $$x^{2}(x^{2}-4)=0$$, откуда $$x_{1,2}=0$$, $$x_{3}=-2$$, $$x_{4}=2$$. 
4. Нанесем критические точки на координатную прямую и установим знаки производной функции на полученных промежутках (рис. 2). 
   Точки экстремума: $$x_{max}=-2$$; $$x_{min}=2$$. 
5. Найдем значение функции в точке максимума: 
   $$f(-2)=-96+160+16=80$$.