Частные производные и дифференциалы ИТ
$$z'_{x}=-\frac{F'_{x}}{F'_{z}}$$, $$z'_{y}=-\frac{F'_{y}}{F'_{z}}$$ .
$$5xyz-2x-3y-4z=0$$.
Тогда, $$F(x;y;z)=5xyz-2x-3y-4z$$.
Найдем частные производные функции $$F(x;y;z)$$:
1) $$F'_{x}=(5xyz)'_{x}-(2x)'_{x}-(3y)'_{x}-(4z)'_{x}$$, $$F'_{x}=5yz-2$$;
2) $$F'_{y}=(5xyz)'_{y}-(2x)'_{y}-(3y)'_{y}-(4z)'_{y}$$, $$F'_{y}=5xz-3$$;
3) $$F'_{z}=(5xyz)'_{z}-(2x)'_{z}-(3y)'_{z}-(4z)'_{z}$$, $$F'_{z}=5xy-4$$.
Найдем частные производные $$z'_x$$ и $$z'_y$$:
$$z'_{x}=-\frac{5yz-2}{5xy-4}$$;
$$z'_{y}=-\frac{5xz-3}{5xy-4}$$.
Найдем модуль разности частных производных $$z'_{x}$$ и $$z'_{y}$$:
$$\begin{vmatrix} z'_{x}-z'_{y} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} \frac{-5yz+5xz-1}{5xy-4} \end{vmatrix}$$.
$$\begin{vmatrix} \frac{-15-1}{-4} \end{vmatrix}=4$$ .
$$f'_{x}=(4xy)'_{x}+(2x)'_{x}-(2y)'_{x}$$,
$$f'_{x}=4y(x)'_{x}+2(x)'_{x}-0$$,
$$f'_{x}=4y+2$$.
2. Найдем производную функции по $$y$$, считая $$x$$ константой:
$$f'_{y}=(4xy)'_{y}+(2x)'_{y}-(2y)'_{y}$$,
$$f'_{y}=4x(y)'_{y}+0-2(y)'_{y}$$,
$$f'_{y}=4x-2$$.
3. Найдем сумму частных производных:
$$4y+2+4x-2=4x+4y$$.
2. Производная константы равна нулю.
$$z''_{xx}=(z'_{x})_{x}'$$; $$z''_{yy}=(z'_{y})_{y}'$$; $$z''_{xy}=(z'_{x})_{y}'$$.
Дифференциал второго порядка функции $$z=f(x;y)$$ находят по формуле:
$$z''_{xx}=(2xy)'_{x}-(y)'_{x}=2y$$;
3. Запишем дифференциал второго порядка:
$$d^{2}z=2ydx^{2}+2(2x-1)dxdy+0dy^{2}$$,
$$\frac{\partial ^{2}z}{\partial y^{2}}=\frac{\partial }{\partial y}\left ( \frac{\partial z}{\partial y} \right )$$;
$$\frac{\partial ^{2}z}{\partial x \partial y}=\frac{\partial }{\partial x}\left ( \frac{\partial z}{\partial y} \right )$$.
$$z''_{xx}=(z'_{x})_{x}'$$; $$z''_{yy}=(z'_{y})_{y}'$$; $$z''_{xy}=(z'_{x})_{y}'$$.
Смешанные производные функции $$z=f(x;y)$$ равны:
$$z''_{xy}=z''_{yx}$$.
2. Найдем частные производные:
а находя производную этой функции по $$y$$, считаем $$x$$ константой.
находя производную этой функции по $$y$$, считаем $$x$$ и $$z$$ константами,
а находя производную по $$z$$, считаем $$x$$ и $$y$$ константами.