Загрузка

Частные производные и дифференциалы

Дифференциал второго порядка функции $$z=x^{2}y-xy$$ имеет вид:
Частные производные второго порядка функции $$z=f(x;y)$$ находят по формулам:
$$z''_{xx}=(z'_{x})_{x}'$$; $$z''_{yy}=(z'_{y})_{y}'$$; $$z''_{xy}=(z'_{x})_{y}'$$.


Дифференциал второго порядка функции $$z=f(x;y)$$ находят по формуле:

$$d^{2}z=z''_{xx}dx^{2}+2z''_{xy}dxdy+z''_{yy}dy^{2}$$ .
1. Найдем частные производные первого порядка:
1) $$z'_{x}=(x^{2}y)'_{x}-(xy)'_{x}$$, $$z'_{x}=y(x^{2})'_{x}-y(x)'_{x}$$, $$z'_{x}=2xy-y$$;
2) $$z'_{y}=(x^{2}y)'_{y}-(xy)'_{y}$$, $$z'_{y}=x^{2}(y)'_{y}-x(y)'_{y}$$, $$z'_{y}=x^{2}-x$$.
2. Найдем частные производные второго порядка:
$$z''_{xx}=(2xy)'_{x}-(y)'_{x}=2y$$;
$$z''_{xy}=(2xy)'_{y}-(y)'_{y}=2x-1$$;
$$z''_{yy}=(x^{2}-x)'_{y}=0$$.
3. Запишем дифференциал второго порядка:
$$d^{2}z=2ydx^{2}+2(2x-1)dxdy+0dy^{2}$$,
$$d^{2}z=2ydx^{2}+(4x-2)dxdy$$.
Частные производные второго порядка функции $$z=f(x;y)$$ записывают и так:
$$\frac{\partial ^{2}z}{\partial x^{2}}=\frac{\partial }{\partial x}\left ( \frac{\partial z}{\partial y} \right )$$;

$$\frac{\partial ^{2}z}{\partial y^{2}}=\frac{\partial }{\partial y}\left ( \frac{\partial z}{\partial y} \right )$$;

$$\frac{\partial ^{2}z}{\partial x \partial y}=\frac{\partial }{\partial x}\left ( \frac{\partial z}{\partial y} \right )$$.


Выберите один из вариантов
Если функция задана формулой $$5xyz=2x+3y+4z$$, то модуль разности ее частных производных $$z'_{x}$$ и $$z'_{y}$$ в точке $$M(-1;0;3)$$ равен:
Частные производные неявной функции $$F(x;y;z)=0$$ находят по формулам:
$$z'_{x}=-\frac{F'_{x}}{F'_{z}}$$, $$z'_{y}=-\frac{F'_{y}}{F'_{z}}$$ .
Запишем функцию в виде:
$$5xyz-2x-3y-4z=0$$
.

Тогда, $$F=5xyz-2x-3y-4z$$.

Найдем частные производные:

1) $$F'_{x}=(5xyz)'_{x}-(2x)'_{x}-(3y)'_{x}-(4z)'_{x}$$, $$F'_{x}=5yz-2$$; 

2) $$F'_{y}=(5xyz)'_{y}-(2x)'_{y}-(3y)'_{y}-(4z)'_{y}$$, $$F'_{y}=5xz-3$$;

3) $$F'_{z}=(5xyz)'_{z}-(2x)'_{z}-(3y)'_{z}-(4z)'_{z}$$, $$F'_{z}=5xy-4$$.

Запишем:

 $$z'_{x}=-\frac{5yz-2}{5xy-4}$$;

 $$z'_{y}=-\frac{5xz-3}{5xy-4}$$.

Найдем модуль разности частных производных $$z'_{x}$$ и $$z'_{y}$$:

$$\begin{vmatrix} z'_{x}-z'_{y} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} \frac{-5yz+5xz-1}{5xy-4} \end{vmatrix}$$.

Зная, что $$x=-1$$, $$y=0$$ , а $$z=3$$ , получим:

$$\begin{vmatrix} \frac{-15-1}{-4} \end{vmatrix}=4$$ .

Модуль числа – величина неотрицательная.
Введите ответ в поле
Произведение частных производных функции $$u=5z^{4}+\frac{x}{y}$$ равно:
 Частные производные первого порядка функции $$u=f(x;y;z)$$ записывают:
$$u'_{x}$$ или $$\frac{\partial u}{\partial x}$$; $$u'_{y}$$ или $$\frac{\partial u}{\partial y}$$; $$u'_{z}$$ или $$\frac{\partial u}{\partial z}$$.
1. Найдем частную производную по $$x$$:
$${u}'_{x}={(5z^{4})}'_{x}+{\left ( \frac{x}{y} \right )}'_{x}$$,
$${u}'_{x}=0+\frac{1}{y}{(x)}'_{x}=\frac{1}{y}$$.
2. Найдем частную производную по $$y$$
$${u}'_{y}={(5z^{4})}'_{y}+{\left ( \frac{x}{y} \right )}'_{y}$$,
 $${u}'_{y}=0+x{\left ( \frac{1}{y} \right )}'_{y}=-\frac{x}{y^{2}}$$.
3. Найдем частную производную по $$z$$:
$${u}'_{z}={(5z^{4})}'_{z}+{\left ( \frac{x}{y} \right )}'_{z}$$,
$${u}'_{z}=5\cdot 4z^{3}+0=20z^{3}$$.
4. Найдем произведение частных производных:
$$-\frac{1}{y}\cdot \frac{x}{y^{2}}\cdot 20z^{3}=-\frac{20xz^{3}}{y^{3}}$$ .
Находя производную функции $$u=f(x;y;z)$$ по $$x$$ , считаем $$y$$ и $$z$$ константами,

находя производную этой функции по $$y$$, считаем $$x$$ и $$z$$ константами,

а находя производную по $$z$$, считаем $$x$$ и $$y$$ константами.

Выберите один из вариантов
Если $$x^{2}+y^{2}=\sqrt{xy}$$, то значение $$y^{'}_{x}$$ в точке $$(1;4)$$ равно:
Если функция $$y=y(x)$$ непрерывна и задана уравнением $$F(x;y)=0$$, то производную этой функции находят по формуле:
$$y^{'}_{x}=-\frac{F'_{x}}{F'_{y}}$$.
Имеем неявную функцию:
$$F(x;y)=x^{2}+y^{2}-\sqrt{xy}$$.
Найдем ее частные производные:
$$F'_{x}=2x-\frac{\sqrt{y}}{2\sqrt{x}}$$;
$$F'_{y}=2y-\frac{\sqrt{x}}{2\sqrt{y}}$$.
Найдем значения частных производных в точке $$(1;4)$$:
$$F'_{x}(1;4)=2-\frac{2}{2}=1$$;
$$F'_{y}(1;4)=8-\frac{1}{4}=\frac{31}{4}$$.
Найдем значение $$y'_{x}$$ в точке $$(1;4)$$:
$$y'_{x}(1;4)=-\frac{4}{31}$$.
Формулу $$y'_{x}=-\frac{F'_{x}}{F'_{y}}$$ можно записать иначе:

$$\frac{dy}{dx}=-\frac{\partial F}{\partial x}:\frac{\partial F}{\partial y} $$.
Выберите один из вариантов
Полный дифференциал третьего порядка функции $$z=6x^{2}+2xy^{3}+3y$$ имеет вид:
Полный дифференциал третьего порядка функции $$z=f(x;y)$$ находят по формуле:
$$d^{3}z=z^{'''}_{xxx}dx^{3}+3z^{'''}_{xxy}dx^{2}dy+3z^{'''}_{xyy}dxdy^{2}+z^{'''}_{yyy}dy^{3}$$.
1. Найдем частные производные первого порядка:
$$z^{'}_{x}=12x+2y^{3}$$;
$$z^{'}_{y}=6xy^{2}$$.
2. Найдем частные производные второго порядка:
$$z^{''}_{xx}=12$$;
$$z^{''}_{yy}=12xy$$;
$$z^{''}_{xy}=6y^{2}$$.
3. Найдем частные производные третьего порядка:
$$z^{'''}_{xxx}=0$$;
$$z^{'''}_{yyy}=12x$$;
$$z^{'''}_{xyx}=0$$;
$$z^{'''}_{xyy}=12y$$.
4. Найдем полный дифференциал третьего порядка:
$$d^{3}z=0dx^{3}+0dx^{2}dy+12ydxdy^{2}+12xdy^{3}$$,
$$d^{3}z=12ydxdy^{2}+12xdy^{3}$$.
$$z^{''}_{xy}=z^{''}_{yx}$$.
$$z^{'''}_{xyx}=z^{'''}_{xxy}=z^{'''}_{yxx}$$.
$$z^{'''}_{xyy}=z^{'''}_{yxy}=z^{'''}_{yyx}$$.
Выберите один из вариантов
Если $$z=2xsin3y$$, то произведение $$z^{'''}_{yyy}$$ и $$z^{'''}_{yyx}$$ равно:
Частная производная третьего порядка функции $$z=f(x;y)$$ находится как частная производная от ее частной производной второго порядка.
1. Найдем частную производную первого порядка:
$$z^{'}_{y}=6xcos3y$$.
2. Найдем частную производную второго порядка:
$$z^{''}_{yy}=-18xsin3y$$.
3. Найдем частные производные третьего порядка:
$$z^{'''}_{yyy}=-54xcos3y$$;
$$z^{'''}_{yyx}=-18sin3y$$.
4. Найдем произведение частных производных третьего порядка:
$$z^{'''}_{yyy} \cdot z^{'''}_{yyx}=486sin6y$$.
Частная производная $$n$$-го порядка функции $$z=f(x;y)$$ находится как частная производная от ее частной производной $$(n-1)$$-го порядка.
Выберите один из вариантов
Полный дифференциал функции $$u=e^{2x+3y+4z}$$ в точке $$M(2;0;-1)$$ равен:
Полный дифференциал функции $$u=f(x;y;z)$$ находят по формуле:
$$du=u'_{x}dx+u'_{y}dy+u'_{z}dz$$ .

1. Найдем частные производные функции:

1) $$u'_{x}=e^{2x+3y+4z}\cdot (2x+3y+4z)'_{x}$$, $$u'_{x}=e^{2x+3y+4z}\cdot (2+0+0)$$, $$u'_{x}=2e^{2x+3y+4z}$$; 

2) $$u'_{y}=e^{2x+3y+4z}\cdot (2x+3y+4z)'_{y}$$, $$u'_{y}=e^{2x+3y+4z}\cdot (0+3+0)$$, $$u'_{y}=3e^{2x+3y+4z}$$;

3) $$u'_{z}=e^{2x+3y+4z}\cdot (2x+3y+4z)'_{z}$$, $$u'_{z}=e^{2x+3y+4z}\cdot (0+0+4)$$, $$u'_{z}=4e^{2x+3y+4z}$$.

2. Запишем полный дифференциал функции:
$$du=2e^{2x+3y+4z}dx+3e^{2x+3y+4z}dy+4e^{2x+3y+4z}dz$$,

$$du=e^{2x+3y+4z}(2dx+3dy+4dz)$$.

3. Найдем значение полного дифференциала функции в точке $$M(2;0;-1)$$:
$$du(2;0;-1)=e^{0}(2dx+3dy+4dz)$$,
$$du(2;0;-1)=2dx+3dy+4dz$$.
$$(e^{g(x)})'=e^{g(x)}\cdot g'(x)$$.
Выберите один из вариантов
Полный дифференциал функции $$z=3\sqrt{xy}$$ имеет вид:
Полный дифференциал функции $$z=f(x;y)$$ находят по формуле:
$$dz=z'_{x}dx+z'_{y}dy$$.
1. Найдем частные производные функции:
$$z'_{x}=3\sqrt{y}(\sqrt{x})'_{x}=\frac{3\sqrt{y}}{2\sqrt{x}}$$;
$${z}'_{y}=3\sqrt{x}({\sqrt{y}})'_{y}=\frac{3\sqrt{x}}{2\sqrt{y}}$$.
2. Запишем полный дифференциал функции:
$$dz=\frac{3\sqrt{y}}{2\sqrt{x}}dx+\frac{3\sqrt{x}}{2\sqrt{y}}dy$$.
Находя производную функции $$z=f(x;y)$$ по $$x$$, считаем $$y$$ константой,

а находя производную этой функции по $$y$$, считаем $$x$$ константой.

Выберите один из вариантов
Сумма  частных  производных  функции $$f(x;y)=4xy+2x-2y$$  равна:
Частные производные первого порядка функции $$z=f(x;y)$$ записывают:
$$z'_{x}$$ или $$\frac{\partial z}{\partial x}$$ и $$z'_{y}$$ или $$\frac{\partial z}{\partial y}$$ .

Находя производную функции $$z=f(x;y)$$  по $$x$$, считаем $$y$$ константой, а находя производную этой функции по $$y$$, считаем $$x$$ константой.
1. Найдем производную функции по $$x$$, считая $$y$$ константой:

$$f'_{x}=(4xy)'_{x}+(2x)'_{x}-(2y)'_{x}$$,

$$f'_{x}=4y(x)'_{x}+2(x)'_{x}-0$$,

$$f'_{x}=4y+2$$.

2. Найдем производную функции по $$y$$, считая $$x$$ константой:

$$f'_{y}=(4xy)'_{y}+(2x)'_{y}-(2y)'_{y}$$,

$$f'_{y}=4x(y)'_{y}+0-2(y)'_{y}$$,

$$f'_{y}=4x-2$$.

3. Найдем сумму частных производных:

$$4y+2+4x-2=4x+4y$$.

1. Постоянный множитель мы выносим за знак производной.
2. Производная константы равна нулю.
Выберите один из вариантов
Если функция имеет вид $$z=5arcsinx+x^{2}cosy$$, то значение выражения $$3z''_{xy}-2z''_{yx}$$ равно:
Частные производные второго порядка функции $$z=f(x;y)$$ находят по формулам:

$$z''_{xx}=(z'_{x})_{x}'$$; $$z''_{yy}=(z'_{y})_{y}'$$; $$z''_{xy}=(z'_{x})_{y}'$$.

Смешанные производные функции $$z=f(x;y)$$ равны:

$$z''_{xy}=z''_{yx}$$.

1. Так как $$z''_{xy}=z''_{yx}$$, то $$3z''_{xy}-2z''_{yx}=z''_{yx}$$.
2. Найдем частные производные:
1) $$z'_{y}=(5arcsinx)'_{y}+(x^{2}cosy)'_{y}$$, $$z'_{y}=0+x^{2}(cosy)'_{y}$$, $$z'_{y}=-x^{2}siny$$; 
2) $$z''_{yx}=(-x^{2}siny)'_{x}$$, $$z''_{yx}=-siny(x^{2})'_{x}$$, $$z''_{yx}=-2xsiny$$.
В нашем случае проще найти $$z''_{yx}$$, чем $$z''_{xy}$$.
Выберите один из вариантов