Загрузка

Функция многих переменных

Сумма  частных  производных  функции $$f(x;y)=4xy+2x-2y$$  равна:
Частные производные первого порядка функции $$z=f(x;y)$$ записывают:
$$z'_{x}$$ или $$\frac{\partial z}{\partial x}$$ и $$z'_{y}$$ или $$\frac{\partial z}{\partial y}$$ .

Находя производную функции $$z=f(x;y)$$  по $$x$$, считаем $$y$$ константой, а находя производную этой функции по $$y$$, считаем $$x$$ константой.
1. Найдем производную этой функции по $$x$$, считая $$y$$ константой:

$$f'_{x}=(4xy)'_{x}+(2x)'_{x}-(2y)'_{x}=4y(x)'_{x}+2(x)'_{x}-0=4y+2$$.
2. Найдем производную этой функции по $$y$$, считая $$x$$ константой:

$$f'_{y}=(4xy)'_{y}+(2x)'_{y}-(2y)'_{y}=4x(y)'_{y}+0-2(y)'_{y}=4x-2$$.
3. Найдем сумму частных производных:

$$4y+2+4x-2=4x+4y$$.

1. Постоянный множитель мы выносим за знак производной.
2. Производная константы равна нулю.
Выберите один из вариантов
Произведение частных производных функции $$u=5z^{4}+\frac{x}{y}$$ равно:
 Частные производные первого порядка функции $$u=f(x;y;z)$$ записывают:
$$u'_{x}$$ или $$\frac{\partial u}{\partial x}$$; $$u'_{y}$$ или $$\frac{\partial u}{\partial y}$$; $$u'_{z}$$ или $$\frac{\partial u}{\partial z}$$.
1. Найдем частную производную по $$x$$:
$${u}'_{x}={(5z^{4})}'_{x}+{\left ( \frac{x}{y} \right )}'_{x}=0+\frac{1}{y}{(x)}'_{x}=\frac{1}{y}$$.
2. Найдем частную производную по $$y$$
$${u}'_{y}={(5z^{4})}'_{y}+{\left ( \frac{x}{y} \right )}'_{y}=0+x{\left ( \frac{1}{y} \right )}'_{y}=-\frac{x}{y^{2}}$$
3. Найдем частную производную по $$z$$:
$${u}'_{z}={(5z^{4})}'_{z}+{\left ( \frac{x}{y} \right )}'_{z}=5\cdot 4z^{3}+0=20z^{3}$$.
4. Найдем произведение частных производных:
$$-\frac{1}{y}\cdot \frac{x}{y^{2}}\cdot 20z^{3}=-\frac{20xz^{3}}{y^{3}}$$ .
Находя производную функции $$u=f(x;y;z)$$ по $$x$$ , считаем $$y$$ и $$z$$ константами,

находя производную этой функции по $$y$$, считаем $$x$$ и $$z$$ константами,

а находя производную по $$z$$, считаем $$x$$ и $$y$$ константами.

Выберите один из вариантов
Полный дифференциал функции $$z=3\sqrt{xy}$$ имеет вид:
Полный дифференциал функции $$z=f(x;y)$$ находят по формуле:
$$dz=z'_{x}dx+z'_{y}dy$$.
1. Найдем частные производные функции:
$$z'_{x}=3\sqrt{y}(\sqrt{x})'_{x}=\frac{3\sqrt{y}}{2\sqrt{x}}$$;
$${z}'_{y}=3\sqrt{x}({\sqrt{y}})'_{y}=\frac{3\sqrt{x}}{2\sqrt{y}}$$.
2. Запишем полный дифференциал функции:
$$dz=\frac{3\sqrt{y}}{2\sqrt{x}}dx+\frac{3\sqrt{x}}{2\sqrt{y}}dy$$.
Находя производную функции $$z=f(x;y)$$ по $$x$$, считаем $$y$$ константой,

а находя производную этой функции по $$y$$, считаем $$x$$ константой.

Выберите один из вариантов
Полный дифференциал функции $$u=e^{2x+3y+4z}$$ в точке $$M(2;0;-1)$$ равен:
Полный дифференциал функции $$u=f(x;y;z)$$ находят по формуле:
$$du=u'_{x}dx+u'_{y}dy+u'_{z}dz$$ .

1. Найдем частные производные функции:

$$u'_{x}=e^{2x+3y+4z}\cdot (2x+3y+4z)'_{x}=e^{2x+3y+4z}\cdot (2+0+0)$$$$=2e^{2x+3y+4z}$$

$$u'_{y}=e^{2x+3y+4z}\cdot (2x+3y+4z)'_{y}=e^{2x+3y+4z}\cdot (0+3+0)$$$$=3e^{2x+3y+4z}$$;

$$u'_{z}=e^{2x+3y+4z}\cdot (2x+3y+4z)'_{z}=e^{2x+3y+4z}\cdot (0+0+4)$$$$=4e^{2x+3y+4z}$$.

2. Запишем полный дифференциал функции:
$$du=2e^{2x+3y+4z}dx+3e^{2x+3y+4z}dy+4e^{2x+3y+4z}dz$$,

$$du=e^{2x+3y+4z}(2dx+3dy+4dz)$$.

3. Найдем значение полного дифференциала функции в точке $$M(2;0;-1)$$:
$$du(2;0;-1)=e^{4+0-4}(2dx+3dy+4dz)=$$$$2dx+3dy+4dz$$.
$$(e^{g(x)})'=e^{g(x)}\cdot g'(x)$$
Выберите один из вариантов
Дифференциал второго порядка функции $$z=x^{2}y-xy$$ имеет вид:
Частные производные второго порядка функции $$z=f(x;y)$$ находят по формулам:
$$z''_{xx}=(z'_{x})_{x}'$$; $$z''_{yy}=(z'_{y})_{y}'$$; $$z''_{xy}=(z'_{x})_{y}'$$.


Дифференциал второго порядка функции $$z=f(x;y)$$ находят по формуле:

$$d^{2}z=z''_{xx}dx^{2}+2z''_{xy}dxdy+z''_{yy}dy^{2}$$ .
1. Найдем частные производные первого порядка:
$$z'_{x}=(x^{2}y)'_{x}-(xy)'_{x}=y(x^{2})'_{x}-y(x)'_{x}=2xy-y$$.
$$z'_{y}=(x^{2}y)'_{y}-(xy)'_{y}=x^{2}(y)'_{y}-x(y)'_{y}=x^{2}-x$$.
2. Найдем частные производные второго порядка:
$$z''_{xx}=(2xy)'_{x}-(y)'_{x}=2y$$;
$$z''_{xy}=(2xy)'_{y}-(y)'_{y}=2x-1$$;
$$z''_{yy}=(x^{2}-x)'_{y}=0$$.
3. Запишем дифференциал второго порядка:
$$d^{2}z=2ydx^{2}+2\cdot (2x-1)dxdy+0\cdot dy^{2}$$,
$$d^{2}z=2ydx^{2}+(4x-2)dxdy$$.
Частные производные второго порядка функции $$z=f(x;y)$$ записывают и так:
$$\frac{\partial ^{2}z}{\partial x^{2}}=\frac{\partial }{\partial x}\left ( \frac{\partial z}{\partial y} \right )$$;

$$\frac{\partial ^{2}z}{\partial y^{2}}=\frac{\partial }{\partial y}\left ( \frac{\partial z}{\partial y} \right )$$;

$$\frac{\partial ^{2}z}{\partial x \partial y}=\frac{\partial }{\partial x}\left ( \frac{\partial z}{\partial y} \right )$$.


Выберите один из вариантов
Если функция имеет вид $$z=5arcsinx+x^{2}cosy$$, то значение выражения $$3z''_{xy}-2z''_{yx}$$ равно:
Частные производные второго порядка функции $$z=f(x;y)$$ находят по формулам:

$$z''_{xx}=(z'_{x})_{x}'$$; $$z''_{yy}=(z'_{y})_{y}'$$; $$z''_{xy}=(z'_{x})_{y}'$$.

Смешанные производные функции $$z=f(x;y)$$ равны:

$$z''_{xy}=z''_{yx}$$.

1. Так как $$z''_{xy}=z''_{yx}$$, то $$3z''_{xy}-2z''_{yx}=z''_{yx}$$.
2. Найдем частные производные:
$$z'_{y}=(5arcsinx)'_{y}+(x^{2}cosy)'_{y}=0+x^{2}(cosy)'_{y}=-x^{2}siny$$
$$z''_{yx}=(-x^{2}siny)'_{x}=-siny(x^{2})'_{x}=-2xsiny$$.
В нашем случае проще найти $$z''_{yx}$$, чем $$z''_{xy}$$.
Выберите один из вариантов
Если функция задана формулой $$5xyz=2x+3y+4z$$, то модуль разности ее частных производных $$z'_{x}$$ и $$z'_{y}$$ в точке $$M(-1;0;3)$$ равен:
Частные производные неявной функции $$F(x;y;z)=0$$ находят по формулам:
$$z'_{x}=-\frac{F'_{x}}{F'_{z}}$$, $$z'_{y}=-\frac{F'_{y}}{F'_{z}}$$ .
Запишем функцию в виде:
$$5xyz-2x-3y-4z=0$$
.

Тогда, $$F(x;y;z)=5xyz-2x-3y-4z$$.

Найдем частные производные:

$$F'_{x}=(5xyz)'_{x}-(2x)'_{x}-(3y)'_{x}-(4z)'_{x}=5yz-2$$;
$$F'_{y}=(5xyz)'_{y}-(2x)'_{y}-(3y)'_{y}-(4z)'_{y}=5xz-3$$;
$$F'_{z}=(5xyz)'_{z}-(2x)'_{z}-(3y)'_{z}-(4z)'_{z}=5xy-4$$.

Запишем:

 $$z'_{x}=-\frac{5yz-2}{5xy-4}$$;

 $$z'_{y}=-\frac{5xz-3}{5xy-4}$$.

Найдем модуль разности частных производных $$z'_{x}$$ и $$z'_{y}$$:

$$\begin{vmatrix} z'_{x}-z'_{y} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} \frac{-5yz+2+5xz-3}{5xy-4} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} \frac{-5yz+5xz-1}{5xy-4} \end{vmatrix}$$.

Зная, что $$x=-1$$, $$y=0$$ , а $$z=3$$ , получим:

$$\begin{vmatrix} \frac{-15-1}{-4} \end{vmatrix}=4$$ .

Модуль числа – величина неотрицательная.
Введите ответ в поле
Сумма координат критических точек (или критической точки, если она единственная) функции $$z=x^{2}+xy+y^{2}-2x-y$$ равна:
Чтобы найти критические точки функции $$z=f(x;y)$$ , необходимо:
1) найти частные производные первого порядка функции $$z=f(x;y)$$;
2) решить систему уравнений $$z'_{x}=0$$ и $$z'_{y}=0$$.
1. Найдем частные производные первого порядка:
$$z'_{x}=(x^{2})'_{x}+(xy)'_{x}+(y^{2})'_{x}-(2x)'_{x}-y'_{x}=2x+y-2$$,
$${z}'_{y}={(x^{2})}'_{y}+{(xy)}_{y}'+{(y^{2})}'_{y}-{(2x)}'_{y}-{y}'_{y}=x+2y-1$$.

2. Найдем критические точки функции, решая систему уравнений:

$$\begin{cases} 2x+y=2,\\ x+2y=1; \end{cases}$$$$\begin{cases} 2x+y=2,\\ 2x+4y=2; \end{cases}$$$$\begin{cases} y=0,\\ x=1. \end{cases}$$

Получим: $$M_{0}(1;0)$$ .
Тогда, $$1+0=1$$.
Критическими точками первого порядка функции многих переменных называют точки, в которых все ее частные производные первого порядка равны нулю или не существуют.
Введите ответ в поле
Значение функции $$z=x^{2}+y^{2}-4x+4y+4$$ в точке экстремума (или сумма значений в точках экстремума) равно:
Чтобы найти точки экстремума функции $$z=f(x;y)$$ , необходимо:
1) найти частные производные первого порядка функции $$z=f(x;y)$$;
2) найти критические точки функции, решая систему уравнений $$z'_{x}=0$$ и $$z'_{y}=0$$;
3) найти частные производные второго порядка функции $$z=f(x;y)$$;
4) найти значения вторых производных в критической точке $$M_{0}(x_{0};y_{0})$$:
$$z''_{xx}= | _{M_{0}}=A$$,
$$z''_{xy}= | _{M_{0}}=B$$,
$$z''_{yy}= | _{M_{0}}=C$$;

5) найти определитель: $$\Delta =\begin{vmatrix} A& B\\ B& C \end{vmatrix}$$.
Если $$\Delta > 0$$, то экстремум в точке $$M_{0}(x_{0};y_{0})$$ есть, а если $$\Delta < 0$$, то экстремума в этой точке нет.
Причем, если $$A < 0$$, то имеем точку максимума, а если $$A> 0$$ – минимума.
1. Найдем частные производные первого порядка:
$$z'_{x}=(x^{2})'_{x}+(y^{2})'_{x}-(4x)'_{x}+(4y)'_{x}+4'=2x-4$$,
$$z'_{y}=(x^{2})'_{y}+(y^{2})'_{y}-(4x)'_{y}+(4y)'_{y}+4'=2y+4$$.

2. Найдем критические точки функции, решая систему уравнений:

$$\begin{cases} 2x-4=0,\\ 2y+4=0;\end{cases}$$$$\begin{cases} x=2,\\ y=-2. \end{cases}$$
Получили: $$M_{0}(2;-2)$$ .

3. Найдем частные производные второго порядка:
$$z''_{xx}=(2x-4)'_{x}=2$$;

$$z''_{xy}=(2x-4)'_{y}=0$$;

$${z}''_{yy}={(2y+4)}'_{y}=2$$.

4. Запишем значения вторых производных в критической точке:
$$z''_{xx} | _{M_{0}}=2=A$$;
$$z''_{xy} | _{M_{0}}=0=B$$;
$$z''_{yy} | _{M_{0}}=2=C$$.

5. Найдем определитель:

$$\Delta =\begin{vmatrix} 2& 0\\ 0 &2 \end{vmatrix}=4$$.

6. Так как $$\Delta > 0$$ и $$A > 0$$, то $$M_{0}(2;-2)$$ – точка минимума данной функции.

Найдем значение функции в этой точке:

$$f(2;-2)=4+4-8-8+4=-4$$ .

В нашем случае значения $$A$$, $$B$$ и $$C$$ не зависят от координат критической точки, так как частные производные второго порядка – константы.
Введите ответ в поле
Значение функции $$f(x;y)=3+4x+2y$$ в точке максимума при условии, что $$x^{2}+y^{2}=5$$, равно:
 Алгоритм отыскания условного экстремума функции $$z=f(x;y)$$ при наличии уравнения связи $$\phi (x;y)=0$$ методом неопределенных множителей Лагранжа:
1) запишем функцию Лагранжа:
$$F(x;y;\lambda )=f(x;y)+\lambda \phi (x;y)$$,
где $$\lambda$$ – неопределенный множитель;
2) найдем частные производные функции Лагранжа:

$$F'_{x}$$ , $$F'_{y}$$ и $$F'_{\lambda }$$;
3) решая систему уравнений $$F'_{x}=0$$ , $$F'_{y }=0$$ и $$F'_{\lambda }=0$$, найдем значения $$\lambda$$, $$x$$ и $$y$$;
4) найдем дифференциал второго порядка $$d^{2}F$$ функции Лагранжа;
5) определим знак $$d^{2}F$$ для системы значений $$\lambda$$, $$x$$ и $$y$$ при условии, что $$\phi '_{x}dx+\phi '_{y}dy=0$$;
6) если $$d^{2}F< 0$$, то функция имеет условный максимум, а если $$d^{2}F> 0$$, то функция имеет условный минимум.

1. Запишем уравнение связи в виде:
$$\phi (x;y)=x^{2}+y^{2}-5=0$$.
Составим функцию Лагранжа:
$$F(x;y;\lambda )=3+4x+2y+\lambda (x^{2}+y^{2}-5)$$.
2. Найдем частные производные функции Лагранжа:
$$F'_{x}=4+2\lambda x$$;
$$F'_{y}=2+2\lambda y$$
;  
$$F'_{\lambda }=x^{2}+y^{2}-5$$
.
3. Решим систему уравнений:

$$\begin{cases} 4+2\lambda x=0, \\ 2+2\lambda y=0, \\ x^{2}+y^{2}=5. \end{cases}$$
Выразим из первых двух уравнений системы переменные $$x$$ и $$y$$:

$$x=-\frac{2}{\lambda }$$ ; $$y=-\frac{1}{\lambda }$$.
Подставим эти значения в третье уравнение системы:
$$\frac{4}{\lambda ^{2}}+\frac{1}{\lambda ^{2}}=5$$; $$\frac{5}{\lambda ^{2}}=5$$; $$\lambda ^{2}=1$$ , откуда $$\lambda = \pm 1$$ .
Тогда:
1) если $$\lambda _{1}=1$$ , то $$x_{1}=-2$$, $$y_{1}=-1$$;
2) если $$\lambda _{2}=-1$$ , то$$x_{2}=2$$ , $$y _{2}=1$$.
4. Найдем частные производные второго порядка:
$$F''_{xx}=2\lambda$$; $$F''_{xy}=0$$ ; $$F''_{yy}=2\lambda$$ .
Запишем дифференциал второго порядка:
$$d^{2}F=2\lambda dx^{2}+2\lambda dy^{2}=2\lambda (dx^{2}+dy^{2})$$ .
5. При $$\lambda _{1}=1$$ получим $$d^{2}F> 0$$, а при $$\lambda _{2}=-1$$ получим $$d^{2}F< 0$$.
Следовательно, в точке $$M_{1}(-2;-1)$$ функция имеет условный минимум, а в точке $$M_{2}(2;1)$$ – условный максимум.
6. Найдем значения функции в точке условного максимума:
$$f(2;1)=3+8+2=13$$ .
Определяя знак $$d^{2}F$$ для системы значений $$\lambda$$, $$x$$ и $$y$$, в нашем случае не было необходимости учитывать условие, что $$\phi '_{x}dx+\phi '_{y}dy=0$$ .

Введите ответ в поле