Дифференциальные уравнения второго порядка ИТ 2
Общее решение уравнения $$y''-5y'+4y=3e^x$$ имеет вид:
1. Чтобы найти общее решение уравнения $$y''+py'+qy=f(x)$$, необходимо:
1) найти общее решение $$y_{0}$$ соответствующего ему однородного уравнения $$y''+py'+qy=0$$;
2) найти частное решение уравнения $$\widetilde{y}_{k}$$ с определенными коэффициентами;
3) найти общее решение уравнения $$y=y_{0}+\widetilde{y}_{k}$$.
2. Если $$f(x)=ae^{mx}$$ и $$m=k_{1}$$, то $$\widetilde{y}=Axe^{mx}$$, где $$A$$ – неопределенный коэффициент.
1. Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения $$y’’-5y’+4y=0$$.
Так как $$k^{2}-5k+4=0$$, то $$k_{1}=1$$, $$k_{2}=4$$ и $$y_{0}=C_{1}e^{x}+C_{2}e^{4x}$$.
2. Найдем частное решение данного неоднородного уравнения.
Так как $$f(x)=3e^{x}$$ и $$k=m=1$$, то:
$$ \widetilde{y}=Axe^{x}$$;
$$ \widetilde{y}’=Ae^{x}+Axe^{x}$$;
$$ \widetilde{y}’'=Ae^{x}+Ae^{x}+Axe^{x}$$,
$$ \widetilde{y}’’=2Ae^{x}+Axe^{x}$$.
Подставляя эти выражения в уравнение $$y’’-5y’+4y=3e^{x}$$, получим:
$$2Ae{x}+Axe^{x}-5Ae^{x}-5Axe^{x}+4Axe^{3}=3e^{x}$$,
$$2A+Ax-5A-5Ax+4Ax=3$$, $$-3A=3$$, $$A=-1$$.
Запишем частное решение:
$$\widetilde{y}_{k}=-xe^{x}$$.
3. Найдем общее решение данного неоднородного уравнения:
$$y=y_{0}+ \widetilde{y}_{k}$$,
$$y=C_{1}e^{x}+C_{2}e^{4x}-xe^{x}$$.
1. Правило дифференцирования:
$$(uv)’=u’v+uv’$$.2. Производные элементарных функций:
$$(e^{x})’=e^{x}$$; $$x’=1$$.
Выберите один из вариантов
Решением уравнения $$y''-5y'=5x-3$$ является семейство интегральных кривых:
Имеем неоднородное линейное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами:
$$y''+py'+qy=f(x)$$.
Так как $$f(x)=P_n(x)$$ и $$q=0$$, а $$p ≠ 0$$, то частное решение данного неоднородного уравнения находят в виде $$\widetilde{y}=xQ_n(x)$$, где $$Q_n(x)$$ – многочлен с неопределенными коэффициентами.
$$y''+py'+qy=f(x)$$.
Так как $$f(x)=P_n(x)$$ и $$q=0$$, а $$p ≠ 0$$, то частное решение данного неоднородного уравнения находят в виде $$\widetilde{y}=xQ_n(x)$$, где $$Q_n(x)$$ – многочлен с неопределенными коэффициентами.
1. Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения $$y''-5y'=0$$.
Так как $$k^2-5k=0$$, то $$k_1=0$$ и $$k_2=5$$, а $$y_0=C_1+C_2e^{5x}$$.
2. Найдем частное решение данного неоднородного уравнения $$y''-5y'=5x-3$$.
Так как $$f(x)=P_1(x)=5x-3$$ и $$q=0$$, а $$p≠0$$, то
$$\widetilde{y}=Ax^2+Bx$$, а $$\widetilde{y'}=2Ax+B$$, $$\widetilde{y''}=2A$$.
Подставляя эти выражения в уравнение $$y''-5y'=5x-3$$ получим:
$$2A-10Ax-5B=5x-3$$ или $$-10Ax+2A-5B=5x-3$$.
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях переменных, запишем:
$$-10A=5$$ и $$2A-5B=-3$$, откуда $$A=-0,5$$, $$B=0,4$$.
Получим частное решение: $$\widetilde{y}=-0,5x^2+0,4x$$.
3. Найдем общее решение данного неоднородного уравнения:
$$y=C_1+C_2e^{5x}-0,5x^{2}+0,4x$$.
Так как $$k^2-5k=0$$, то $$k_1=0$$ и $$k_2=5$$, а $$y_0=C_1+C_2e^{5x}$$.
2. Найдем частное решение данного неоднородного уравнения $$y''-5y'=5x-3$$.
Так как $$f(x)=P_1(x)=5x-3$$ и $$q=0$$, а $$p≠0$$, то
$$\widetilde{y}=Ax^2+Bx$$, а $$\widetilde{y'}=2Ax+B$$, $$\widetilde{y''}=2A$$.
Подставляя эти выражения в уравнение $$y''-5y'=5x-3$$ получим:
$$2A-10Ax-5B=5x-3$$ или $$-10Ax+2A-5B=5x-3$$.
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях переменных, запишем:
$$-10A=5$$ и $$2A-5B=-3$$, откуда $$A=-0,5$$, $$B=0,4$$.
Получим частное решение: $$\widetilde{y}=-0,5x^2+0,4x$$.
3. Найдем общее решение данного неоднородного уравнения:
$$y=C_1+C_2e^{5x}-0,5x^{2}+0,4x$$.
Если $$f(x)=P_n(x)$$ и $$q≠0$$, то $$\widetilde{y}=Q_n(x)$$, где $$Q_n(x)$$ - многочлен с неопределенными коэффициентами.
Выберите один из вариантов
Общее решение уравнения $$y''-8y'+16y=-e^{4x}$$ имеет вид:
1. Чтобы найти общее решение уравнения $$y’’+py’+qy=f(x)$$, необходимо:
1) найти общее решение $$y_{0}$$ соответствующего ему однородного уравнения $$y’’+py’+qy=0$$;
2) найти частное решение уравнения $$\widetilde{y}_{k}$$ с определенными коэффициентами;
3) найти общее решение уравнения $$y=y_{0}+ \widetilde{y}_{k}$$.
Так как $$f(x)=ae^{mx}$$ и $$m=k_1=k_2$$, то частное решение данного неоднородного уравнения находят в виде $$\widetilde{y}=Ax^2e^{mx}$$, где $$A$$ - неопределенный коэффициент.
Так как $$f(x)=ae^{mx}$$ и $$m=k_1=k_2$$, то частное решение данного неоднородного уравнения находят в виде $$\widetilde{y}=Ax^2e^{mx}$$, где $$A$$ - неопределенный коэффициент.
1. Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения $$y''-8y'+16y=0$$
Так как $$k^2-8k+16=0$$, то $$k_1=k_2=4$$ и $$y_0=C_1e^{4x}+C_2xe^{4x}$$ или $$y_0=e^{4x}(C_1+C_2x)$$.
2. Найдем частное решение данного неоднородного уравнения $$y''-8y'+16y=-e^{4x}$$.
Так как $$f(x)=-e^{4x}$$ и $$m=k_1=k_2=4$$, то:
1) $$\widetilde{y}=Ax^2e^{4x}$$;
2) $$\widetilde{y'}=2Axe^{4x}+4Ax^2e^{4x}$$ или $$\widetilde{y'}=e^{4x}(2Ax+4Ax^2)$$;
3) $$\widetilde{y''}=4e^{4x}(2Ax+4Ax^2)+e^{4x}(2A+8Ax)$$ или $$\widetilde{y''}=e^{4x}(16Ax^2+16Ax+2A)$$.
Подставляя эти выражения в уравнение $$y''-8y'+16y=-e^{4x}$$, получим:
$$e^{4x}(16Ax^2+16Ax+2A-16Ax-32Ax^2+16Ax^2)=-e^{4x}$$,
$$2A=-1$$, откуда $$A=-0,5$$.
Запишем частное решение: $$\widetilde{y}_k=-0,5x^2e^{4x}$$.
3. Найдем общее решение данного неоднородного уравнения:
$$y=y_0+\widetilde{y}_k$$,
$$y=e^{4x}(C_1+C_2x-0,5x^2)$$.
Так как $$k^2-8k+16=0$$, то $$k_1=k_2=4$$ и $$y_0=C_1e^{4x}+C_2xe^{4x}$$ или $$y_0=e^{4x}(C_1+C_2x)$$.
2. Найдем частное решение данного неоднородного уравнения $$y''-8y'+16y=-e^{4x}$$.
Так как $$f(x)=-e^{4x}$$ и $$m=k_1=k_2=4$$, то:
1) $$\widetilde{y}=Ax^2e^{4x}$$;
2) $$\widetilde{y'}=2Axe^{4x}+4Ax^2e^{4x}$$ или $$\widetilde{y'}=e^{4x}(2Ax+4Ax^2)$$;
3) $$\widetilde{y''}=4e^{4x}(2Ax+4Ax^2)+e^{4x}(2A+8Ax)$$ или $$\widetilde{y''}=e^{4x}(16Ax^2+16Ax+2A)$$.
Подставляя эти выражения в уравнение $$y''-8y'+16y=-e^{4x}$$, получим:
$$e^{4x}(16Ax^2+16Ax+2A-16Ax-32Ax^2+16Ax^2)=-e^{4x}$$,
$$2A=-1$$, откуда $$A=-0,5$$.
Запишем частное решение: $$\widetilde{y}_k=-0,5x^2e^{4x}$$.
3. Найдем общее решение данного неоднородного уравнения:
$$y=y_0+\widetilde{y}_k$$,
$$y=e^{4x}(C_1+C_2x-0,5x^2)$$.
Правило дифференцирования:
$$(u \cdot v)'=u' \cdot v+u \cdot v'$$.
$$(u \cdot v)'=u' \cdot v+u \cdot v'$$.
Выберите один из вариантов
Общее решение уравнения $$y''+4y'-5y=14e^{2x}$$ имеет вид:
1. Чтобы найти общее решение уравнения $$y’’+py’+qy=f(x)$$, необходимо:
1) найти общее решение $$y_{0}$$ соответствующего ему однородного уравнения $$y’’+py’+qy=0$$;
2) найти частное решение уравнения $$\widetilde{y}_{k}$$ с определенными коэффициентами;
3) найти общее решение уравнения $$y=y_{0}+ \widetilde{y}_{k}$$.
2. Чтобы найти частное решение $$\widetilde{y}_{k}$$ с определенными коэффициентами, необходимо:
1) найти выражения $$\widetilde{y}'$$ и $$ \widetilde{y}''$$;
2) подставить значения $$ \widetilde{y}$$, $$\widetilde{y}'$$ и $$\widetilde{y}''$$ в уравнение $$y’’+py’+qy=f(x)$$ и найти значения неопределенных коэффициентов;
3) записать решение $$\widetilde{y}_{k}$$ с определенными коэффициентами.
3. Если $$f(x)=ae^{mx}$$ и $$m\neq k_{1} \neq k_{2}$$, то
$$\widetilde{y}=Ae^{mx}$$, где $$A$$ –неопределенный коэффициент.
1. Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения $$y’’+4y’-5y=0$$.
Так как $$k^{2}+4k-5=0$$, то $$k_{1}=-5$$, $$k_{2}=1$$ и $$y_{0}=C_{1}e^{-5x}+C_{2}e^{x}$$.
2. Найдем частное решение данного неоднородного уравнения.
Так как $$f(x)=14e^{2x}$$ и $$k \neq 2$$, то $$\widetilde{y}=Ae^{2x}$$, откуда
$$ \widetilde{y}’=2Ae^{2x}$$, $$\widetilde{y}’’=4Ae^{2x}$$.
Подставляя эти выражения в уравнение $$y’’+4y’-5y=14e^{2x}$$, получим:
$$4Ae^{2x}+8Ae^{2x}-5Ae^{2x}=14e^{2x}$$, $$7Ae^{2x}=14e^{3x}$$, $$A=2$$.
Запишем частное решение:
$$\widetilde{y}_{k}=2e^{2x}$$.
3. Найдем общее решение данного неоднородного уравнения:
$$y=y_{0}+\widetilde{y}_{k}$$,
$$y=C_{1}e^{-5x}+C_2e^{x}+2e^{2x}$$.
Производная сложной функции:
$$(e^{kx})'=ke^{kx}$$.
Выберите один из вариантов
Решением уравнения $$y''+4y=\textrm{cos}2x$$ является семейство интегральных кривых:
1. Если $$k_{1,2}=a \pm ib \in C $$, то общее решение уравнения $$y’’+py’+qy=0$$ имеет вид:
$$y=e^{ax}(C_1\textrm{cos} bx+C_{2}\textrm{sin} bx)$$,
где $$k_{1}$$ и $$k_{2}$$ корни характеристического уравнения $$k^{2}+pk+q=0$$.
2. Если $$f(x)=a \textrm{sin} mx+b \textrm{cos} mx$$ и $$p=0$$, $$q=m^{2}$$, то
$$\widetilde{y}=x(A\textrm{sin} mx + B\textrm{cos} mx)$$,
где $$A$$ и $$B$$ – неопределенные коэффициенты.
1. Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения $$y''+4y=0$$.
Так как $$k^{2}+4=0$$, то:
$$ k^{2}=-4$$, $$k_{1,2}= \pm 2i $$,
откуда $$a=0$$, $$b=2$$.
Получим общее решение:
$$ y_{0}=e^{0}(C_{1}\textrm{cos} 2x+C_{2}\textrm{sin} 2x)$$ или $$y_{0}=C_{1}\textrm{cos} 2x+C_{2}\textrm{sin} 2x$$.
2. Найдем частное решение неоднородного уравнения.
Так как $$f(x)=\textrm{cos}2x+0\textrm{sin2x}$$ и $$q=4=m^{2}$$, то:
1) $$\widetilde{y}=Ax \textrm{cos} 2x+Bx \textrm{sin} 2x$$;
2) $$\widetilde{y}’= A\textrm{cos} 2x-2Ax \textrm{sin} 2x + B \textrm{sin} 2x +2Bx \textrm{cos}2x $$,
$$\widetilde{y}’= (A+2Bx) \textrm{cos} 2x+(-2Ax+B)\textrm{sin} 2x$$;
3) $$\widetilde{y}’’= (-4A-4Bx)\textrm{sin} 2x+(4B-4Ax)\textrm{cos} 2x$$.
Подставляя эти выражения в уравнение $$y’’+4y=cos 2x$$, получим:
$$(-4A)\textrm{sin} 2x+(4B)\textrm{cos} 2x =\textrm{cos} 2x $$,
откуда $$-4A=0$$, $$4B=1$$.
Тогда, $$A=0$$, а $$B=0,25$$.
Запишем частное решение неоднородного уравнения:
$$\widetilde{y}_{k} =0,25x \textrm{sin} 2x$$.
3. Найдем общее решение неоднородного уравнения:
$$y=C_{1}\textrm{cos} 2x+C_{2}\textrm{sin} 2x+0,25x \textrm{sin} 2x$$.
1. Правило дифференцирования:
$$(uv)’=u’v+uv’$$.
2. Производные функций:
$$(cos kx)'=-k sin kx$$;
$$(sin kx)'=k cos kx$$.
Выберите один из вариантов
Решением уравнения $$y''+2y'-3y=5x^2+2x-3$$ является семейство интегральных кривых:
Имеем неоднородное линейное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами:
$$y''+py'+qy=f(x)$$.
Так как $$f(x)=P_{n}(x)$$ и $$q\neq 0$$, то $$\widetilde{y}=Q_{n}(x)$$, где $$Q_{n}(x)$$– многочлен с неопределенными коэффициентами.
1. Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения $$y’’+2y’-3y=0$$.
Так как $$k^{2}+2k-3=0$$, то $$k_{1}=1$$, $$k_{2}=-3$$ и $$y_{0}=C_{1}e^{x}+C_{2}e^{-3x}$$.
2. Найдем частное решение данного неоднородного уравнения.
Так как $$f(x)=P_{2}(x)=5x^{2}+2x-3$$ и $$q \neq 0$$, то
$$ \widetilde{y}=Ax^{2}+Bx+C$$, а $$ \widetilde{y}’=2Ax+B$$, $$\widetilde{y}’’=2A$$.
Подставляя эти выражения в уравнение $$y’’+2y’-3y=5x^{2}+2x-3$$, получим:
$$2A+4Ax+2B-3Ax^{2}-3Bx-3C=5x^{2}+2x-3$$.
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях переменных, запишем:
$$-3A=5$$ , $$4A-3B=2$$ и $$2A+2B-3C=-3$$, откуда $$A=-\frac{5}{3}$$ , $$B =-\frac{26}{9}$$ и $$C =-\frac{55}{27}$$.
Получим частное решение:
$$\widetilde{y}_{k}=-\frac{5}{3}x^{2}-\frac{26}{9}x-\frac{55}{27}$$ .
3. Найдем общее решение данного неоднородного уравнения:
$$y=C_{1}e^{x}+C_{2}e^{-3x}-\frac{5}{3}x^{2}-\frac{26}{9}x-\frac{55}{27}$$.
Если $$f(x)=P_{n}(x)$$ и $$q=0$$, $$p\neq 0$$ , то $$\widetilde{y}=xQ_{n}(x)$$, где $$Q_{n}(x)$$ – многочлен с неопределенными коэффициентами.
Выберите один из вариантов
Решением уравнения $$y''-5y'+4y=3 \textrm{cos}x+5 \textrm{sin}x$$ является семейство интегральных кривых:
1. Чтобы найти общее решение уравнения $$y’’+py’+qy=f(x)$$, необходимо:
1) найти общее решение $$y_{0}$$ соответствующего ему однородного уравнения $$y’’+py’+qy=0$$;
2) найти частное решение уравнения $$\widetilde{y}_{k}$$ с определенными коэффициентами;
3) найти общее решение уравнения $$y=y_{0}+ \widetilde{y}_{k}$$.
Если $$f(x)=a \textrm{sin} mx+b \textrm{cos} mx$$ и $$p\ne0$$, то
$$\widetilde{y}=A \textrm{sin} mx+B \textrm{cos}mx$$,
где $$A$$ и $$B$$ - неопределенные коэффициенты.
1. Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения $$y''-5y'+4y=0$$.
Так как $$k^2-5k+4=0$$, то $$k_1=1$$ и $$k_2=4$$, а $$y_0=C_1e^x+C_2e^{4x}$$.
2. Найдем частное решение данного неоднородного уравнения $$y''-5y'+4y=3 \textrm{cos} x+5\textrm{sin} x$$.
Так как $$f(x)=2 \textrm{cos}x+5\textrm{sin}x$$ и $$p≠0$$, то:
1) $$\widetilde{y}=A\textrm{cos} x+B \textrm{sin} x$$;
2) $$\widetilde{y'}=-A\textrm{sin} x+B\textrm{cos} x$$;
3) $$\widetilde{y''}=-A\textrm{cos} x-B \textrm{sin} x$$.
Подставляя эти выражения в уравнение $$y''-5y'+4y=3 \textrm{cos} x+5\textrm{sin} x$$, получим:
$$(3A-5B) \textrm{cos} x+(5A+3B) \textrm{sin} x=3 \textrm{cos} x + 5 \textrm{sin} x$$,
откуда $$3A-5B=3$$, а $$5A+3B=5$$.
Тогда, $$A=1$$, а $$B=0$$.
Запишем частное решение:
$$\widetilde{y}_k= \textrm{cos} x$$.
3. Найдем общее решение данного неоднородного уравнения:
$$y=C_1e^x+C_2e^{4x}+\textrm{cos}x$$.
Так как $$k^2-5k+4=0$$, то $$k_1=1$$ и $$k_2=4$$, а $$y_0=C_1e^x+C_2e^{4x}$$.
2. Найдем частное решение данного неоднородного уравнения $$y''-5y'+4y=3 \textrm{cos} x+5\textrm{sin} x$$.
Так как $$f(x)=2 \textrm{cos}x+5\textrm{sin}x$$ и $$p≠0$$, то:
1) $$\widetilde{y}=A\textrm{cos} x+B \textrm{sin} x$$;
2) $$\widetilde{y'}=-A\textrm{sin} x+B\textrm{cos} x$$;
3) $$\widetilde{y''}=-A\textrm{cos} x-B \textrm{sin} x$$.
Подставляя эти выражения в уравнение $$y''-5y'+4y=3 \textrm{cos} x+5\textrm{sin} x$$, получим:
$$(3A-5B) \textrm{cos} x+(5A+3B) \textrm{sin} x=3 \textrm{cos} x + 5 \textrm{sin} x$$,
откуда $$3A-5B=3$$, а $$5A+3B=5$$.
Тогда, $$A=1$$, а $$B=0$$.
Запишем частное решение:
$$\widetilde{y}_k= \textrm{cos} x$$.
3. Найдем общее решение данного неоднородного уравнения:
$$y=C_1e^x+C_2e^{4x}+\textrm{cos}x$$.
Если $$f(x)= a \textrm{sin} mx+b \textrm{cos} mx$$ и $$p=0$$, а $$q=m^2$$, то
$$\widetilde{y}=x(A \textrm{sin} mx + B\textrm{cos} mx)$$,
где $$A$$ и $$B$$ - неопределенные коэффициенты.
$$\widetilde{y}=x(A \textrm{sin} mx + B\textrm{cos} mx)$$,
где $$A$$ и $$B$$ - неопределенные коэффициенты.
Выберите один из вариантов