Загрузка

Векторы

Серединой отрезка $$AB$$, если $$A(5; 8; 1)$$ и $$B(3; 2; 5)$$, является точка с координатами:

Если точки $$A(a_{1}; a_{2}; a_{3})$$ и $$B(b_{1}; b_{2}; b_{3})$$ $$-$$ концы отрезка, а точка $$M$$ $$-$$ его середина, то точка $$M$$ будет иметь координаты:

$$M\left(\frac{a_{1}+b_{1}}{2}; \frac{a_{2}+b_{2}}{2}; \frac{a_{3}+b_{3}}{2}\right)$$.

Точка $$M$$, являющаяся серединой отрезка $$AB$$, будет иметь координаты:

$$M\left(\frac{5+3}{2}; \frac{8+2}{2}; \frac{1+5}{2}\right)$$ или $$M(4; 5; 3)$$.

Если точки $$A(a_1; a_2; a_3)$$ и $$B(b_1; b_2; b_3)$$ $$-$$ концы вектора $$\overline{AB}$$, а точка $$M$$ $$-$$ его середина, то точка $$M$$ будет иметь координаты:

$$M\left(\frac{a_1+b_1}{2}; \frac{a_2+b_2}{2}; \frac{a_3+b_3}{2}\right)$$.

Выберите один из вариантов

Длина вектора $$\bar{b}(5;4;7)$$ равна:

Если известны координаты вектора $$\bar{a}(a_{1}; a_{2}; a_{3})$$, то длину вектора $$\bar{a}$$ находят по формуле:

$$\left | \bar{a} \right |=\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}$$.

$$\left | \bar{b} \right |=\sqrt{25+16+49}=\sqrt{90}=3\sqrt{10}$$.

Длину вектора $$\overline{AB}$$ записывают $$\left | \overline{AB} \right |$$ и читают: модуль вектора или длина вектора $$\overline{AB}$$.

Выберите один из вариантов

Длина вектора $$\overline{BC}$$, если $$B(1;4;0)$$, а $$C(3;5;1)$$, равна:

Если известны координаты точек $$A(x_{1}; y_{1}; z_{1})$$ и $$B(x_{2}; y_{2}; z_{2})$$, то длину вектора $$\overline{AB}$$ находят по формуле:

$$\left | \overline{AB} \right |=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}$$.

$$\left | \overline{BC} \right |=\sqrt{(3-1)^2+(5-4)^2+(1-0)^2}=\sqrt{4+1+1}=\sqrt{6}$$.

Если известны координаты точек $$A(x_{1}; y_{1}; z_{1})$$ и $$B(x_{2}; y_{2}; z_{2})$$, то длину отрезка $$AB$$ находят по формуле:

$$AB=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}$$.

Выберите один из вариантов

Коллинеарными являются векторы $$\bar{a}(a_{1}; a_{2}; a_{3} )$$ и $$\bar{b}(b_{1}; b_{2}; b_{3} )$$:

Векторы $$\bar{a}(a_{1}; a_{2}; a_{3})$$ и $$\bar{b}(b_{1}; b_{2}; b_{3})$$ коллинеарны, если их соответствующие координаты пропорциональны:

$$\frac{a_{1}}{b_{1}}=\frac{a_{2}}{b_{2}}=\frac{a_{3}}{b_{3}}=k$$.

  1. $$\frac{-1}{1}\neq \frac{-1}{2}\neq \frac{2}{3}$$;
  2. $$\frac{0}{1}\neq \frac{1}{4}\neq \frac{2}{3}$$;
  3. $$\frac{2}{4}\neq \frac{-4}{3}\neq \frac{0}{-2}$$;
  4. $$\frac{1}{4}\neq \frac{4}{-1}\neq \frac{3}{-3}$$;
  5. $$\frac{1}{2}= \frac{4}{8}=\frac{-2}{-4}$$.

Коллинеарными называют векторы, лежащие на параллельных прямых (или на одной прямой).

Выберите один из вариантов

Скалярное произведение векторов $$\bar{a}=5\bar{i}+\bar{j}+4\bar{k}$$ и $$\bar{b}=\bar{j}-2\bar{i}+3\bar{k}$$ равно:

Скалярным произведением векторов $$\bar{a}(a_{1}; a_{2}; a_{3})$$ и $$\bar{b}(b_{1}; b_{2}; b_{3})$$ называют число, которое находят по формуле:

$$\bar{a}\cdot \bar{b}=a_{1}\cdot b_{1}+a_{2}\cdot b_{2}+a_{3}\cdot b_{3}$$.

Запишем координаты данных векторов:

$$\bar{a}(5; 1; 4), \bar{b}(-2; 1; 3)$$.

Тогда, $$\bar{a}\cdot \bar{b}=-10+1+12=3$$.

Любой вектор $$\bar{b}$$ пространства можно разложить по ортам:

$$\bar{b}=x\bar{i}+y\bar{j}+z\bar{k}$$.

Говорят, что $$x$$, $$y$$ и $$z$$ – координаты вектора $$\bar{b}$$ и записывают:

$$\bar{b}(x; y; z)$$.

Выберите один из вариантов

Косинус угла между векторами $$\bar{a}(5; 1; -2)$$ и $$\bar{b}(2; 1; 0)$$ равен:

Угол между векторами $$\bar{a}$$ и $$\bar{b}$$ находят по формуле:

$$cos \alpha =\frac{\bar{a}\cdot \bar{b}}{\left | \bar{a} \right |\cdot \left | \bar{b} \right |}$$.

$$cos \alpha =\frac{5\cdot 2+1\cdot 1-2\cdot 0}{\sqrt{25+1+4}\cdot\sqrt{4+1+0}}=\frac{11}{\sqrt{30\cdot 5}}=\frac{11}{5\sqrt{6}}$$.

Скалярное произведение векторов $$\bar{a}(a_{1}; a_{2}; a_{3})$$ и $$\bar{b}(b_{1}; b_{2}; b_{3})$$ находят по формуле: 

$$\bar{a}\cdot \bar{b}=a_{1}\cdot b_{1}+a_{2}\cdot b_{2}+a_{3}\cdot b_{3}$$.

Длину вектора $$\bar{a}(a_1; a_2; a_3)$$ находят по формуле:

$$\left | \bar{a} \right | = \sqrt{{a_{1}}^2+{a_{2}}^2+{a_{3}}^2}$$.

Выберите один из вариантов

Если векторы $$\bar{a}(1; 3; 3), \bar{b}(2; 2; 0)$$ и $$\bar{c}(x; 5; x)$$ компланарны, то значение переменной $$x$$ равно:

Векторы $$\bar{a} \left (a_{1}, a_{2}, a_{3} \right )$$ , $$\bar{b} \left (b_{1}, b_{2}, b_{3} \right )$$ и $$\bar{c} \left (c_{1}, c_{2}, c_{3} \right )$$ компланарны, если определитель, составленный из координат этих векторов, равен нулю:

$$\begin{vmatrix} a_{1} & b_{1} & c_{1}\\ a_{2} & b_{2} & c_{2}\\ a_{3} & b_{3} & c_{3} \end{vmatrix}=0$$.

Решим уравнение:

$$\begin{vmatrix} 1 & 2 & x\\ 3 & 2 & 5\\ 3 & 0 & x \end{vmatrix}=0$$,

$$2x+30+0-6x-6x-0=0$$,

$$10x=30$$,

$$x=3$$.

Векторы, лежащие в параллельных плоскостях (или в одной плоскости), называют компланарными.

Введите ответ в поле

Если векторы $$\bar{a}(5;-4;1)$$ и $$\bar{b}(1;n;-5)$$ перпендикулярны, то значение $$n$$ равно:

Векторы перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю. 

Найдем скалярное произведение данных векторов:

$$\bar{a}\cdot \bar{b}=5-4n-5=-4n$$ . 

Решим уравнение:

$$\bar{a}\cdot \bar{b}=0$$ , откуда $$n=0$$.

Скалярное произведение векторов $$\bar{a} \left (a_{1}, a_{2}, a_{3} \right )$$ и $$\bar{b} \left (b_{1}, b_{2}, b_{3} \right )$$ находят по формуле: 

$$\bar{a}\cdot \bar{b}= a_{1}\cdot b_{1}+a_{2}\cdot b_{2}+a_{3}\cdot b_{3}$$.

Введите ответ в поле

Площадь треугольника с вершинами в точках $$A(1; 2; 3)$$, $$B(3; 1; 4)$$ и $$C(2; 3; 4)$$ равна:

Площадь треугольника, построенного на векторах $$\bar{a}$$ и $$\bar{b}$$ , находят по формуле:

$$S=\frac{1}{2} \left |\bar{a}\times \bar{b} \right |$$.

Векторное произведение векторов $$\bar{a}$$ и $$\bar{b}$$ находят по формуле:

$$\bar{d}=\bar{a}\times \bar{b}=\begin{vmatrix} \bar{i} & \bar{j} & \bar{k}\\ a_{1} & a_{2} & a_{3}\\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \end{vmatrix}$$.

  1. Найдем координаты векторов $$\bar{a}=\overline{AB}$$ и $$\bar{b}=\overline{AC}$$:

    $$\bar{a}(2; -1; 1)$$; $$\bar{b}(1; 1; 1)$$.

  2. Найдем векторное произведение векторов $$\bar{a}$$ и $$\bar{b}$$$$: $$ $$\bar{d}=\begin{vmatrix} \bar{i} & \bar{j} & \bar{k}\\ 2 & -1 & 1\\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}$$$$=-i+j+2k+k-2j-i=-\bar{2i}-\bar{j}+\bar{3k}$$.
  3. Запишем координаты вектора $$\bar{d}$$:

    $$\bar{d} \left (-2; -1; 3 \right )$$.

  4. Найдем модуль вектора $$\bar{d}$$:

    $$\left |\bar{d} \right |=\sqrt{4+1+9}=\sqrt{14}$$.

  5. Найдем площадь треугольника: $$S=0, 5\sqrt{14}$$.

Чтобы найти координаты вектора, необходимо из координат конца вектора вычесть соответствующие координаты его начала.

Выберите один из вариантов

Объем параллелепипеда, построенного на векторах $$\bar{a}(2; 3; -1)$$, $$\bar{b}(1; 4; 2)$$ и $$\bar{c}(1; -2; 0)$$, равен:

Объем параллелепипеда, построенного на векторах $$\bar{a}, \bar{b}$$ и $$\bar{c}$$ , находят по формуле:

$$V= |(\bar{c}, \bar{a}\times \bar{b} ) |$$.

  1. Найдем смешанное произведение данных векторов: $$\left (\bar{c}, \bar{a}\times \bar{b} \right )$$$$=\begin{vmatrix} 2 & 3 & -1 \\ 1 & 4 & 2\\ 1 & -2 & 0 \end{vmatrix}=0+6+2+4-0+8=20$$.
  2. Получим: $$V=20$$.

Смешанное произведение векторов $$\bar{a}, \bar{b}$$ и $$\bar{c}$$ находят по формуле: 

$$\left (\bar{c}, \bar{a}\times \bar{b} \right )$$$$=\begin{vmatrix} c_1 & c_2 & c_3 \\ a_1 & a_2 & a_3\\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix}$$.

Введите ответ в поле