1. Формулы понижения степени:
   $$\sin^2x=\frac{1}{2}(1-\cos 2x)$$;

   $$\cos^2x=\frac{1}{2}(1+\cos 2x)$$.

2. $$\int \cos{kx}dx=\frac{1}{k}\sin{kx}+C$$.

1. Преобразуем подынтегральную функцию: 
   $$f(x)=\sin^4x=(\sin^2x)^2$$, $$f(x)=\left (\frac{1}{2} \right )^2(1-\cos 2x)^2$$, 
   $$f(x)=\frac{1}{4}(1-2\cos 2x+\cos^22x)$$, 
   $$f(x)=\frac{1}{4}(1-2\cos2x+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cos4x)$$, 
   $$f(x)=\frac{3}{8}-\frac{1}{2}\cos2x+\frac{1}{8}\cos4x$$. 
2. Найдем сумму интегралов: 
   $$\int_{-0,5\pi }^{0,25\pi }\frac{3dx}{8}-\int_{-0,5\pi }^{0,25\pi }\frac{\cos 2xdx}{2}+\int_{-0,5\pi }^{0,25\pi }\frac{\cos 4xdx}{8}$$, 
   $$I=\frac{3}{8}x-\frac{1}{4}\sin2x+\frac{1}{32}\sin4x$$$$\left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right|_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{4}}$$, 
   $$I=\frac{3\pi }{32}-\frac{1}{4}+0+\frac{3\pi }{16}-0+0=\frac{9\pi -8}{32}$$.

1. $$\sin 0=0$$; 
2. $$\sin \pi =0$$; 
3. $$\sin \frac{\pi }{2}=1$$.

1. Формула преобразования дифференциала: 
   $$\int f(x)dx=\int \frac{f(x)dg(x)}{g{}'\left (x \right )}$$.  
2. Табличный интеграл: 
   $$\int \frac{dx}{x}= \textrm{ln}|x|+C$$. 
3. Формула Ньютона-Лейбница: 
   $$\int_{a}^{b} f(x)dx=F(x)\left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right|_{a}^{b}=F(b)-F(a)$$.

1. Представим подынтегральную функцию в виде суммы простейших дробей: 
   $$\frac{A}{x}+\frac{B}{x+5}=\frac{Ax+5A+Bx}{x(x+5)}$$, откуда $$(A+B)x+5A=x-5$$. 
2. Приравнивая коэффициенты многочленов при одинаковых степенях переменных,  получим: 
   $$\left\{\begin{matrix} A+B=1, \\ 5A=-5; \end{matrix}\right.$$ $$\left\{\begin{matrix} B=2, \\ A=-1. \end{matrix}\right.$$  
3. Найдем сумму интегралов: 
   $$I=-\int_{-1}^{1}\frac{dx}{x}+\int_{-1}^{1}\frac{2d(x+5)}{x+5}$$, 
   $$I=(-\textrm{ln}|x|+2\textrm{ln}|x+5|) \left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right|_{-1}^{1}$$, 
   $$I=\textrm{ln}\frac{|x+5|^{2}}{|x|} \left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right|_{-1}^{1}$$, 
   $$I=\textrm{ln}36-\textrm{ln}16=2\textrm{ln}1,5$$.

1. $$n\textrm{log}_{a}b=\textrm{log}_{a}b^{n}$$; 
2. $$\textrm{log}_{a}b-\textrm{log}_{a}c=\textrm{log}_{a}\frac{b}{c}$$; 
3. $$\textrm{log}_{a}1=0$$.

1. Формула преобразования дифференциала: 
   $$\int f(x)dx=\int \frac{f(x)dg(x)}{g{}'\left (x \right )}$$. 
2. Формула Ньютона-Лейбница:  
   $$\int_{a}^{b} f(x)dx=F(x)\left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right|_{a}^{b}=F(b)-F(a)$$.

1. $$\int e^x dx=e^x+C$$. 
2. $$e^0=1$$.

1. Формула интегрирования по частям: 
   $$\int udv=uv-\int vdu$$. 
2. Формула преобразования дифференциала
   $$\int f(x)dx=\int \frac{f(x)dg(x)}{g{}'\left (x \right )}$$.

1. Полагая $$x=u$$, а $$e^{8x}dx=dv$$, получим:
    $$dx=du$$, $$\int e^{8x}dx=\int dv$$, $$\frac{1}{8}e^{8x}=v$$. 
2. Применим формулу интегрирования по частям:
   $$I=xe^{8x}\left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right|_{0}^{0,125}-\int_{0}^{0,125}e^{8x} dx$$,
   $$I=xe^{8x}-\frac{1}{8}e^{8x}\left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right|_{0}^{0,125}$$,
   $$I=0,125e-0,125e-0+0,125=0,125$$.

$$\int e^{kx}dx=\frac{1}{k}e^{kx}+C$$.

1. Формулы тригонометрии: 
   $$\cos^{2}x=0,5(1+\cos 2x)$$, 
   $$\sin{x}=\frac{2\textrm{tg}0,5x}{1+\textrm{tg}^{2}0,5x}$$, 
   $$\cos{x}=\frac{1-\textrm{tg}^{2}0,5x}{1+\textrm{tg}^{2}0,5x}$$. 
2. Табличный интеграл:
   $$\int\frac{dx}{x^{2}-1}=\frac{1}{2}\textrm{ln}\left|\frac{x-1}{x+1}\right|+C$$. 
3. Формула Ньютона-Лейбница: 
   $$\int_{a}^{b} f(x)dx=F(x)\left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right|_{a}^{b}=F(b)-F(a)$$.

1. Положим: $$\textrm{tg}\frac{x}{2}=t$$, $$\sin{x}=\frac{2t}{1+t^{2}}$$, $$\cos{x}=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}$$. 
   Дифференцируя равенство $$\textrm{tg}\frac{x}{2}=t$$, получим: 
   $$\frac{dx}{2\cos^{2}0,5x}=dt$$, $$dx=(1+\cos{x})dt$$, $$dx=\left(1+\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}\right)dt$$, $$dx=\frac{2dt}{1+t^{2}}$$. 
2. Найдем пределы интегрирования: 
   1) если $$x=0$$, то $$t=\textrm{tg}0=0$$; 
   2) если $$x=\frac{\pi}{3}$$, то $$t=\textrm{tg}\frac{\pi}{6}=\frac{1}{\sqrt{3}}$$. 
3. Найдем интеграл: 
   $$I=\int_{0}^{\frac{1}{\sqrt{3}}}\frac{2dt(1+t^{2})}{2(1+t^{2})(1-t^{2})}$$, $$I=-\int_{0}^{\frac{1}{\sqrt{3}}}\frac{dt}{t^{2}-1}$$,
   $$I=-\frac{1}{2}\textrm{ln}\left|\frac{t-1}{t+1}\right| \left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right|_{0}^{\frac{1}{\sqrt{3}}}$$, $$I=-\frac{1}{2}\textrm{ln}\left|\frac{1-\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}}\right|+\frac{1}{2}\textrm{ln}1$$, $$I=-\frac{1}{2}\textrm{ln}\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}$$.

1. Формула преобразования дифференциала: 
   $$\int f(x)dx=\int \frac{f(x)dg(x)}{g{}'\left (x \right )}$$. 
2. Формула Ньютона-Лейбница: 
   $$\int_{a}^{b} f(x)dx=F(x)\left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right|_{a}^{b}=F(b)-F(a)$$.

1. Преобразуем подынтегральную функцию: 
   $$f(x)=\frac{1}{\sqrt{x+2}+\sqrt{x-2}}$$, 
   $$f(x)=\frac{\sqrt{x+2}-\sqrt{x-2}}{(x+2)-(x-2)}$$, 
   $$f(x)= \frac{1}{4} \left (\sqrt{x+2}-\sqrt{x-2} \right )$$. 
2. Найдем сумму интегралов, изменив форму дифференциалов: 
   $$I=\frac{1}{4}\int_{2}^{6}(x+2)^{\frac{1}{2}}d(x+2)-\frac{1}{4}\int_{2}^{6}(x-2)^{\frac{1}{2}}d(x-2)$$, 
   $$I=\frac{1}{6} \left ((x+2)^{\frac{3}{2}}-(x-2)^{\frac{3}{2}} \right )\left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right|_{2}^{6} $$, 
   $$I=\frac{1}{6}\left ( 8^{1,5}+4^{1,5}-4^{1,5}-0 \right )=\frac{8\sqrt{2}}{3}$$.

$$\int_{a}^{b} (kx+b) dx=\frac{1}{k} F (kx+b)\left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right|_{a}^{b}$$.

1. Формула преобразования дифференциала: 
   $$\int f(x)dx=\int \frac{f(x)dg(x)}{g{}'\left (x \right )}$$. 
2. Табличный интеграл: 
   $$\int \frac{ dx}{x}=\textrm{ln}|x|+C$$. 
3. Формула Ньютона-Лейбница: 
   $$\int_{a}^{b} f(x)dx=F(x)\left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right|_{a}^{b}=F(b)-F(a)$$.

1. Полагая $$\sqrt[6]{2x}=t$$, получим: 
   $$4x=2t^{6}$$, $$dx=3t^{5}dt$$. 
2. Найдем пределы интегрирования: 
   1) если $$x=0,5$$, то $$t=\sqrt[6]{1}=1$$; 
   2) если $$x=32$$, то $$t=\sqrt[6]{64}=2$$. 
3. Найдем интеграл:
   $$I=\int_{1}^{2}\frac{3t^{5}dt}{2t^{6}-t}$$, $$I=\int_{1}^{2}\frac{3t^{4}dt}{2t^{5}-1}$$,
   $$I=\int_{1}^{2}\frac{3t^{4}d(2t^{5}-1)}{(2t^{5}-1) \cdot 10t^{4}}$$, $$I=0,3 \int_{1}^{2}\frac{d(2t^{5}-1)}{2t^{5}-1}$$,
   $$I=0,3\textrm{ln}|2t^{5}-1| \left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right|_{1}^{2}$$, $$I=0,3(\textrm{ln}63-\textrm{ln}1)=0,3\textrm{ln}63$$.
   
   

Интеграл можно найти иначе, не изменяя пределы интегрирования:

$$I=0,3\textrm{ln}|2t^{5}-1| \left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right|_{t1}^{t2}$$,

$$I=0,3\textrm{ln}|2^{6}\sqrt{(2x)^{5}}-1|\left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right|_{0,5}^{32}$$,

$$I=0,3\textrm{ln}|2\cdot32-1|-0,3ln|2\cdot-1|$$,

$$I=0,3\textrm{ln}63-0,3\textrm{ln}1=0,3\textrm{ln}63$$.

1. $$\sin \alpha\cdot \sin\beta =\frac{1}{2}(\cos(\alpha -\beta )-\cos(\alpha +\beta ))$$; 
2. $$\int \cos kx dx= \frac{1}{k}\sin kx+C$$; 
3. $$\int \sin kx dx= -\frac{1}{k}\cos kx+C$$.

$$\sin n \pi=0$$, где $$n\in\textrm{Z}$$.

1. Табличный интеграл: 
   $$\int x^n dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$$. 
2. Формула Ньютона-Лейбница: 
   $$\int_{a}^{b} f(x)dx=F(x)\left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right|_{a}^{b}=F(b)-F(a)$$.

1. Полагая $$\sqrt{5+x}=t$$, получим: 
   $$5+x=t^{2}$$, $$x=t^{2}-5$$, $$dx=2tdt$$. 
2. Найдем пределы интегрирования: 
   1) если $$x=-4$$, то $$t=\sqrt{5-4}=1$$; 
   2) если $$x=4$$, то $$t=\sqrt{5+4}=3$$. 
3. Найдем интеграл:

   $$I=\int_{1}^{3}\frac{5(t^{2}-5) \cdot 2tdt}{t}$$, $$I=10\int_{1}^{3}(t^{2}-5)dt$$,

   $$I=10(\frac{t^{3}}{3}-5t)\left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right|_{1}^{3}$$,

   $$I=10\left(9-15-\frac{1}{3}+5\right)=-\frac{40}{3}$$.

Интеграл можно найти иначе,  не изменяя пределы интегрирования:

$$I=10(\frac{t^{3}}{3}-5t) \left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right|_{t_{1}}^{t_{2}}$$,

$$I=10(\frac{\sqrt{(5+x)^{3}}}{3}-5\sqrt{5+x})\left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right|_{-4}^{4}$$,

$$I=10\left(9-15-\frac{1}{3}+5\right)=-\frac{40}{3}$$.

1. Формула преобразования дифференциала:
   $$\int f(x)dx=\int \frac{f(x)dg(x)}{g{}'\left (x \right )}$$. 
2. Табличный интеграл:
   $$\int x^n dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$$. 
3. Формула Ньютона-Лейбница:

   $$\int_{a}^{b} f(x)dx=F(x)\left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right|_{a}^{b}=F(b)-F(a)$$.

$$\int (kx+b)^n dx=\frac{1}{k} \frac{\left (kx+b \right )^{n+1}}{n+1}+C$$.