Загрузка

Определенный интеграл

Вычислите $$\int_{-1}^{14}\frac{dx}{\sqrt[4]{(x+2)^3}}$$:

Формула преобразования дифференциала:

$$\int f(x)dx=\int \frac{f(x)dg(x)}{g{}'\left (x \right )}.$$

Табличный интеграл:

$$\int x^n dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C.$$

Формула Ньютона-Лейбница:

$$\int_{a}^{b} f(x)dx=F(x)\left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right|_{a}^{b}=F(b)-F(a).$$

$$\int_{-1}^{14}\frac{dx}{(x+2)^{\frac{3}{4}}}=\int_{-1}^{14} (x+2)^{-\frac{3}{4}}d(x+2)=4(x+2)^{\frac{1}{4}}\left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right|_{-1}^{14}=$$$$4(2-1)=4.$$

$$\int (kx+b)^n dx=\frac{1}{k} \frac{\left (kx+b \right )^{n+1}}{n+1}+C$$.

Выберите один из вариантов

Вычислите $$\int_{2}^{6}\frac{dx}{\sqrt{x+2}+\sqrt{x-2}}$$:

Формула преобразования дифференциала:

$$\int f(x)dx=\int \frac{f(x)dg(x)}{g{}'\left (x \right )}.$$
Формула Ньютона-Лейбница:

$$\int_{a}^{b} f(x)dx=F(x)\left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right|_{a}^{b}=F(b)-F(a).$$

Преобразуем подынтегральную функцию:
$$\frac{1}{\sqrt{x+2}-\sqrt{x-2}}=\frac{\sqrt{x+2}+\sqrt{x-2}}{(x+2)-(x-2)}= \frac{1}{4} \left (\sqrt{x+2}+\sqrt{x-2} \right ) .$$
Найдем сумму интегралов, изменив форму дифференциалов:
$$I=\frac{1}{4}\int_{2}^{6}(x+2)^{\frac{1}{2}}d(x+2)+\frac{1}{4}\int_{2}^{6}(x-2)^{\frac{1}{2}}d(x-2) =$$

$$=\frac{1}{6} \left ((x+2)^{\frac{3}{2}}+(x-2)^{\frac{3}{2}} \right )\left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right|_{2}^{6} =$$
$$=\frac{1}{6}\left ( 8^{1,5}+8-8-0 \right )=\frac{2^{4,5}}{6}=\frac{16\sqrt{2}}{6}=\frac{8\sqrt{2}}{3}.$$

$$\int_{a}^{b} (kx+b) dx=\frac{1}{k} F (kx+b)\left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right|_{a}^{b}$$

Выберите один из вариантов

Вычислите $$\int_{0}^{1}x^4e ^{x^{5}}dx$$:

Формула преобразования дифференциала:

$$\int f(x)dx=\int \frac{f(x)dg(x)}{g{}'\left (x \right )}.$$

Формула Ньютона-Лейбница:

 $$\int_{a}^{b} f(x)dx=F(x)\left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right|_{a}^{b}=F(b)-F(a).$$

$$\int_{0}^{1}\frac{x^{4}e^{x^{5}}dx^5}{\left (x^5 \right ){}'} =$$$$\int_{0}^{1}\frac{x^{4}e^{x^{5}}dx^5}{5x^4} =$$$$\frac{1}{5} \int_{0}^{1} e^{x^{5}}dx^5=\frac{1}{5} e^{x^{5}}\left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right|_{0}^{1}=\frac{1}{5} e-\frac{1}{5}.$$

$$\int e^x dx=e^x+C,$$
$$e^0=1.$$

Выберите один из вариантов

Вычислите $$\int_{0}^{0,125}8xe^{8x}dx$$:

Формула интегрирования по частям:

$$\int udv=uv-\int vdu.$$

Формула преобразования дифференциала:

$$\int f(x)dx=\int \frac{f(x)dg(x)}{g{}'\left (x \right )}.$$

Полагая $$x=u,$$ а $$e^{8x}dx=dv,$$ получим:

  1. $$dx=du;$$
  2. $$\int e^{8x}dx=\int dv,$$ $$\frac{1}{8}e^{8x}=v.$$
Применим формулу интегрирования по частям:
$$8 \int_{0}^{0,125}xe^{8x}dx=xe^{8x}\left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right|_{0}^{0,125}-\int_{0}^{0,125}e^{8x} dx =$$$$xe^{8x}-\frac{1}{8}e^{8x}\left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right|_{0}^{0,125}=$$
$$=0,125e-0,125e-0+0,125= 0,125.$$

$$\int e^{kx}dx=\frac{1}{k}e^{kx}+C$$.

Выберите один из вариантов

Вычислите $$\int_{-0,5\pi }^{0,25\pi}sin^4xdx$$:

  1. Формулы понижения степени:
    $$sin^2x=\frac{1}{2}(1-cos2x);$$

    $$cos^2x=\frac{1}{2}(1+cos2x).$$

  2. $$\int coskxdx=\frac{1}{k}sinkx+C.$$

Преобразуем подынтегральную функцию:

$$sin^4x=(sin^2x)^2=\left (\frac{1}{2} \right )^2(1-cos2x)^2=\frac{1}{4}(1-2cos2x+cos^22x)=$$

$$=\frac{1}{4}(1-2cos2x+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}cos4x)=$$$$\frac{3}{8}-\frac{1}{2}cos2x+\frac{1}{8}cos4x.$$

Найдем сумму интегралов:

$$\frac{3}{8}\int_{-0,5\pi }^{0,25\pi }dx-\frac{1}{2}\int_{-0,5\pi }^{0,25\pi }cos2xdx+\frac{1}{8}\int_{-0,5\pi }^{0,25\pi }cos4xdx=$$
$$=\frac{3}{8}x-\frac{1}{4}sin2x+\frac{1}{32}sin4x$$$$\left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right|_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{4}}=$$
$$=\frac{3\pi }{32}-\frac{1}{4}+0+\frac{3\pi }{16}-0+0=\frac{9\pi -8}{32}.$$

$$sin 0=0,$$ $$sin \pi =0,$$ $$sin \frac{\pi }{2}=1.$$

Выберите один из вариантов

Вычислите $$\int_{0}^{\pi }sin2x sin 5xdx$$:

$$sin \alpha x$$$$\cdot sin\beta x=\frac{1}{2}(cos(\alpha x-\beta y)-cos(\alpha x+\beta y)),$$

$$\int cos kxdx= \frac{1}{k}sinkx+C,$$

$$\int sin kxdx= -\frac{1}{k}coskx+C.$$

$$I=\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi }(cos3x-cos7x)dx=\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi } cos3xdx-\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi } cos7xdx =$$
$$=\frac{1}{6}sin3x-\frac{1}{14}sin7x$$$$\left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right|_{0}^{\pi}=0.$$

$$sin n \pi=0,$$ где $$n\in Z$$.

Выберите один из вариантов

Вычислите несобственный интеграл $$\int_{-\infty }^{0}0,3^{2x-1}dx$$ или установите его расходимость:

Несобственным интегралом называют:

  1. определенный интеграл, у которого хотя бы один из его пределов бесконечен
  2. определенный интеграл от неограниченной функции.
Несобственный интеграл сходится, если существует конечный предел соответствующего ему собственного интеграла.
Несобственный интеграл расходится, если предел соответствующего ему собственного интеграла не существует или равен бесконечности.
Интеграл с бесконечным нижним пределом можем найти по формуле: $$\int_{-\infty }^{b}f(x)dx=\lim_{a\rightarrow -\infty }\int_{a }^{b} f(x)dx.$$
Табличный интеграл:
$$\int a^xdx=\frac{a^x}{ln a}+C.$$

Преобразуем подынтегральную функцию:

$$0,3 ^{2x-1}=\frac{0,3^{2x}}{0,3}=\frac{10}{3}\cdot 0,09^x.$$

Тогда:

$$I=\frac{10}{3}\int_{-\infty }^{0} 0,09^xdx=\frac{10\cdot 0,09^x}{3ln0,09}\left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right|_{-\infty}^{0}=$$

$$=\frac{10\cdot 0,09^0}{3ln0,09}-\frac{10}{3ln0,09}$$$$\lim_{x\rightarrow -\infty } 0,09^x=$$$$\frac{10}{3ln0,09}-\infty =-\infty .$$

$$\lim_{n\rightarrow \infty }a^n=\infty , \lim_{n\rightarrow -\infty }a^n=0,$$ если $$a>1;$$

$$\lim_{n\rightarrow \infty }a^n=0,$$$$\lim_{n\rightarrow -\infty }a^n=\infty$$, если $$0

Выберите один из вариантов

Вычислите несобственный интеграл $$\int_{1}^{2}\frac{dx}{x-1}$$ или установите его расходимость:

Если функция $$y=f(x)$$ не ограничена в окрестности точки $$a,$$ то:

$$I= \int_{a }^{b}f(x)dx=\lim_{\varepsilon \rightarrow 0}\int_{a+\varepsilon }^{b} f(x)dx.$$

Табличный интеграл:

$$\int \frac{dx}{x}=ln \left |x \right |+C.$$

Поскольку подынтегральная функция не ограничена в окрестности точки $$x=1,$$ то:

 $$\int_{1}^{2}\frac{d(x-1)}{x-1}=ln \left |x-1 \right  |_{1+\varepsilon }^{2}=ln1-\lim_{\varepsilon \rightarrow 0} ln \left |1+\varepsilon -1 \right |=$$$$0-\lim_{\varepsilon \rightarrow 0} ln \left |\varepsilon \right |=\infty .$$

$$\lim_{x\rightarrow \infty }ln x=\infty ,$$

$$\lim_{x\rightarrow 0 }ln x=- \infty.$$

Выберите один из вариантов

Вычислите несобственный интеграл $$\int_{1}^{2}\frac{dx}{(x-2)^2}$$ или установите его расходимость:

Если функция $$y=f(x)$$ не ограничена в окрестности точки $$b,$$ то:

$$I= \int_{a }^{b}f(x)dx=\lim_{\varepsilon \rightarrow 0}\int_{a }^{b-\varepsilon} f(x)dx.$$

Поскольку подынтегральная функция не ограничена в окрестности точки $$x=2,$$ то:

$$\int_{1}^{2}\frac{d(x-2)}{(x-2)^2}=-\frac{1}{(x-2)}\left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right|_{1}^{2-\varepsilon }=$$$$-\lim_{\varepsilon \rightarrow 0}\frac{1}{2-\varepsilon -2}-1=\lim_{\varepsilon \rightarrow 0} \frac{1}{\varepsilon }-1=\infty.$$

Табличный интеграл:

$$\int \frac{dx}{x^2}=-\frac{1}{x}+C.$$

Выберите один из вариантов

Вычислите интеграл $$\int_{0}^{3}dx\int_{0}^{2}(x^2+y)dy$$:

Чтобы вычислить интеграл $$\int_{a}^{b}dx\int_{c}^{d}f(x,y)dy,$$ необходимо сначала найти «внутренний» интеграл $$\int_{c}^{d}f(x,y)dy=g(x),$$ считая $$x$$ константой, а затем найти «внешний» интеграл $$I=\int_{a}^{b}g(x)dx.$$

  1. Вычислим «внутренний» интеграл:

    $$\int_{0}^{2}(x^2+y)dy=x^2y+\frac{y^2}{2}\left.\begin{matrix}&\\& \end{matrix}\right|_{0}^{2}=(2x^2+2)-0=2x^2+2.$$

  2. Вычислим «внешний» интеграл:

    $$\int_{0}^{1} (2x^2+2)dx=\frac{2x^3}{3}+2x\left.\begin{matrix} _{}^{} & \\ &\end{matrix}\right|_{0}^{3}=18+6=24.$$

Тот же результат можно получить, если записать интеграл так:

$$\int_{0}^{3}dy\int_{0}^{2}(x^2+y)dx$$

и выполнить аналогичные действия.

Выберите один из вариантов