Приложения определенного интеграла ИТ
$$C(q)=4\sqrt{5q+50}+50$$.
$$l=\int_{a}^{b}\sqrt{1+(f{}'(x))^2}dx .$$
- $$f{}'(x)=x^{0,5};$$
- $$\sqrt{1+(f{}'(x))^2}=\sqrt{1+x}=(1+x)^{\frac{1}{2}}.$$
$$l=\int_{0}^{8}(1+x)^{\frac{1}{2}}dx$$,
$$l=\frac{2}{3}(1+x)^{\frac{3}{2}}$$$$\left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right|_{0}^{8}$$,
$$l=\frac{2}{3}(27-1)=\frac{52}{3}.$$
$$100$$ тыс. ден. ед. и планируется ежегодное увеличение капиталовложения на $$1$$ тыс. ден. ед., то дисконтированный доход за $$2$$ года составит:
$$K=\int_{0}^{T} f(t)e^{it}dt$$.
$$f(t)=100+t$$.
Положим $$100+t=u,$$ а $$e^{-0,4t}dt=dv$$.
$$K=-2 (100+t)e^{-0,5t} \left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right|_{0}^{2} +2 \int_{0}^{2}e^{-0,5t}dt$$,
$$K=-2 (100+t)e^{-0,5t}-4e ^{-0,5t}\left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right|_{0}^{2}$$,
$$K=-(204+2t)e^{-0,5t}\left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right|_{0}^{2}$$,
$$K=204-208e^{-1}$$ (тыс. ден. ед.).
$$V= \int_{0}^{T} f(t)dt$$.
$$V=\pi \int_{c}^{d} f^2(y)dy.$$
$$V=\frac{\pi }{4}\int_{1}^{5}(y-1)^2dy$$,
$$V=\frac{\pi (y-1)^3}{12} \left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right|_{1}^{5}=$$$$\frac{16\pi }{3}.$$
следуя алгоритму:
- найти абсциссы $$x_{1}$$ и $$x_{2}$$ точек пересечения графиков функций $$y=f_{1}(x)$$ и $$y=f_{2}(x),$$ решая уравнение $$f_{1}(x)=f_{2}(x);$$
- записать пределы интегрирования $$a=x_{1}$$ и $$b=x_{2};$$
- составить подынтегральную функцию $$f(x)= f_{1}(x)-f_{2}(x);$$
- вычислить интеграл $$\int_{a}^{b} f(x)dx=A;$$
- записать $$S=\left |A \right |.$$
$$2x-x^2 =-x+2,$$
$$x^2-3x+2=0,$$
$$x_{1}=1,$$ $$x_{2} =2.$$
$$a=1, b=2.$$
$$f(x)=-x^2+2x+x-2=-x^2+3x-2.$$
$$S=\int_{c}^{d} f(y)dy.$$
$$S=\int_{0}^{2} y^3dy=\frac{y^4}{4}\left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right|_{0}^{2}=4.$$
$$S=\int_{a}^{b} f(x)dx.$$
$$t_{cp.}=\frac{1}{x_{2}-x_{1}} \int_{x_{1}}^{x_{2}} t(x)dx$$.
$$t(x)=Ax^{-B}$$,
где $$A$$ – затраты времени на первое изделие,
$$B$$ – показатель производственного процесса.
$$V=\int_{0}^{t}(\alpha t+\beta )e^{yt}dt$$.
$$\int udv=uv-\int vdu$$,
где $$u=f_{1}(x),$$ а $$v=f_{2}(x)$$.
$$V=\int_{0}^{4}(t+5)e^{2t}dt$$,
$$y=a_{0}x_{1}^{a_{1}}x_{2}^{a_{2}}$$,
где $$y$$ – величина общественного продукта, $$x_{1}$$ – затраты труда, $$x_{2}$$ – объем производственных фондов.
Если затраты труда линейно зависят от времени, а затраты капитала неизменны, то функцию Кобба-Дугласа можно представить в виде:
$$g(t)=(\alpha t+\beta )e^{\gamma t}$$.
$$V=\pi \int_{a}^{b} f^2(x)dx.$$