Загрузка

Приложения определенного интеграла

Площадь фигуры, ограниченной линиями  $$y=\sqrt[3]{x},$$ $$y=2$$  и $$x=0,$$ равна:
Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной функции $$x=f(y),$$ отрезками прямых $$y=c,$$ $$y=d$$  и осью $$Oy,$$ можно вычислить по формуле:

 $$S=\int_{c}^{d} f(y)dy.$$

Имеем криволинейную трапецию, ограниченную графиком функции $$x=y^3,$$ отрезками прямых $$y=0,$$ $$y=2$$   и осью $$Oy.$$ 
Найдем ее площадь:

 $$S=\int_{0}^{2} y^3dy=\frac{y^4}{4}\left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right|_{0}^{2}=4.$$

Криволинейной трапецией называют плоскую фигуру, ограниченную графиком непрерывной функции $$y=f(x)$$ $$(f(x)\geq 0 ),$$ отрезками прямых $$x=a$$$$, y=b$$ и осью $$Ox.$$ 
Площадь криволинейной трапеции можно вычислить по формуле:

 $$S=\int_{a}^{b} f(x)dx.$$

Выберите один из вариантов
Площадь фигуры, ограниченной графиками функций  $$y=2x-x^2$$ и $$y=-x+2,$$ равна:
Площадь плоской фигуры, ограниченной графиками неотрицательных функций $$y=f_{1}(x)$$  и  $$y=f_{2}(x)$$, можно вычислить по формуле $$S=\left |\int_{a}^{b}(f_{1}(x)-f_{2}(x))dx \right |,$$
следуя алгоритму: 
  1. найти абсциссы $$x_{1}$$  и $$x_{2}$$  точек пересечения графиков функций  $$y=f_{1}(x)$$ и $$y=f_{2}(x),$$ решая уравнение $$f_{1}(x)=f_{2}(x);$$
  2. записать пределы интегрирования $$a=x_{1}$$  и  $$b=x_{2};$$
  3. составить подынтегральную функцию  $$f(x)= f_{1}(x)-f_{2}(x);$$
  4. вычислить интеграл  $$\int_{a}^{b} f(x)dx=A;$$ 
  5. записать $$S=\left |A \right |.$$
1. Найдем абсциссы  $$x_{1}$$ и $$x_{2}$$  точек пересечения графиков функций  $$y=2x-x^2$$ и $$y=-x+2,$$ решая уравнение:
$$2x-x^2 =-x+2,$$
$$x^2-3x+2=0,$$
$$x_{1}=1,$$ $$x_{2} =2.$$
2. Запишем пределы интегрирования:
$$a=1, b=2.$$
3. Составим подынтегральную функцию:
$$f(x)=(-x^2+2x)-(-x+2)=-x^2+3x-2.$$
4. Вычислим интеграл: 
 $$\int_{1}^{2}(-x^2+3x-2)dx=-\frac{x^3}{3}+\frac{3x^2}{2}-2x\left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right|_{1}^{2}=$$
$$=-\frac{8}{3}+6-4+\frac{1}{3}-\frac{3}{2}+2=\frac{1}{6}.$$
5. Тогда, $$S=\frac{1}{6}.$$
На отрезке $$\left [ 1;2 \right ]$$  функции $$y=2x-x^2$$  и $$y=-x+2$$  неотрицательные.

Выберите один из вариантов
Объем тела, образованного вращением вокруг оси $$Ox$$ фигуры, ограниченной линиями $$y=2\sqrt{x},$$ $$x=1$$  и  $$x=4,$$ равен:
Объем тела вращения, образованного вращением вокруг оси $$Ox$$ криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной функции $$y=f(x),$$ отрезками прямых $$y=0,$$ $$x=a$$ и $$x=b$$, можно вычислить по формуле:

 $$V=\pi \int_{a}^{b} f^2(x)dx.$$

$$V=\pi \int_{1}^{4} 4xdx=2\pi x^2\left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right|_{1}^{4} =32\pi -2\pi =30\pi .$$
Функция $$y=2\sqrt{x}$$ неотрицательна на всей ее области определения.
Выберите один из вариантов
Объем тела, образованного вращением вокруг оси $$Oy$$ фигуры, ограниченной линиями  $$y=2x+1,$$ $$y=1,$$ $$y=5$$ и $$x=0,$$ равен:
Объем тела, полученного в результате вращения вокруг оси $$Oy$$ криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной функции $$x=f(y),$$ отрезками прямых $$y=c$$ и $$y=d$$  можно вычислить по формуле:

 $$V=\pi \int_{c}^{d} f^2(y)dy.$$

Имеем криволинейную трапецию, ограниченную графиком функции $$x=\frac{1}{2}(y-1),$$ отрезками прямых $$y=1,$$ $$y=5$$  и осью $$Oy.$$ 
Найдем объем тела вращения:

 $$V=\frac{\pi }{4}\int_{1}^{5}(y-1)^2dy=\frac{\pi (y-1)^3}{12} \left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right|_{1}^{5}=$$$$\frac{16\pi }{3}.$$

$$\int (kx+b)^ndx=\frac{1}{k}\cdot \frac{\left (kx+b \right )^{n+1}}{n+1}+C$$
Выберите один из вариантов
Длина дуги кривой $$f(x)=\frac{2}{3}x^{1,5}+\frac{3}{2},$$ ограниченной прямыми $$x=0$$ и $$x=8,$$ равна:
Длину дуги кривой $$y=f(x), $$где $$a\leq x\leq b,$$ находят по формуле:

 $$l=\int_{a}^{b}\sqrt{1+(f{}'(x))^2}dx .$$

Составим подынтегральную функцию: 
  1. $$f{}'(x)=x^{0,5};$$
  2. $$\sqrt{1+(f{}'(x))^2}=\sqrt{1+x}=(1+x)^{\frac{1}{2}}.$$
Получим:

$$l=\int_{0}^{8}(1+x)^{\frac{1}{2}}dx=\frac{2}{3}(1+x)^{\frac{3}{2}}$$$$\left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right|_{0}^{8}=\frac{2}{3}(27-1)=\frac{52}{3}.$$

$$\int (kx+b)^n dx=\frac{1}{k}\cdot \frac{\left (kx+b \right )^{n+1}}{n+1}+C$$
Выберите один из вариантов
Объем продукции, произведенной рабочим за четвертый час рабочего дня, если производительность труда задается функцией $$f(x)=\frac{12}{t^2}+5,$$ равен:
Если производительность труда в момент времени $$t$$ задается функцией $$y=f(t),$$ то объем продукции, выпущенной производителем за промежуток времени $$\left [ 0;T \right ]$$  находят по формуле:
$$V= \int_{0}^{T} f(t)dt.$$
$$V=\int_{3}^{4} \left (\frac{12}{t^2}+5 \right )dt=-\frac{12}{t}+5t\left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right|_{3}^{4}=-3+20+4-15=6.$$
Сравните: объем продукции, произведенной рабочим за четыре часа работы, равен
$$V=\int_{0}^{4}\left (\frac{12}{t^2}+5 \right )dt=-\frac{12}{t}+5t| _{0}^{4}=-3+20+0-0=17.$$
Выберите один из вариантов
Если функция Кобба-Дугласа имеет вид $$g(t)=(t+5)e^{2t},$$ то объем продукции, произведенной предприятием за 4 года, равен:
Если функция Кобба-Дугласа имеет вид $$g(t)=(\alpha t+\beta )e^{\gamma t},$$ то объем продукции, выпущенной производителем за $$t$$ лет, находят по формуле:
$$V=\int_{0}^{t}(\alpha t+\beta )e^{yt}dt.$$
Формула интегрирования по частям:
$$\int udv=uv-\int vdu,$$

где $$u=f_{1}(x),$$ а $$v=f_{2}(x).$$

Вычислим интеграл $$V=\int_{0}^{4}(t+5 )e^{2t}dt,$$ применяя формулу интегрирования по частям. 
Положим $$t+5=u,$$ а $$e^{2t}dt=dv.$$ 
Тогда, $$dt=du, \int e^{2t}dt=\int vdv,$$ откуда  $$\frac{1}{2}e^{2t}=v.$$ 
Получим:
$$\int_{0}^{4}(t+5)e^{2t}dt=\frac{1}{2}(t+5)e^{2t} \left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right|_{0}^{4}$$$$-\frac{1}{2}\int_{0}^{4}e^{2t} dt= \frac{1}{2}(t+5)e^{2t}$$$$-\frac{1}{4}e^{2t} \left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right| _{0}^{4} =$$
$$=(0,5t+2,25)e^{2t}\left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right| _{0}^{4}=4,25e^8-2,25.$$
Производственная функция Кобба-Дугласа имеет вид:
$$y=a_{0}x_{1}^{a_{1}}x_{2}^{a_{2}} ,$$
где $$y$$ – величина общественного продукта, $$x_{1}$$   – затраты труда, $$x_{2}$$  – объем производственных фондов.
Если затраты труда линейно зависят от времени, а затраты капитала неизменны, то функцию Кобба-Дугласа можно представить в виде:

 $$g(t)=(\alpha t+\beta )e^{\gamma t}.$$

Выберите один из вариантов
Если в период выпуска изделий от $$4$$ до $$25$$ единиц функция изменения затрат времени на изготовление этих изделий имеет вид $$t(x)=21x^{-1,5},$$ то среднее время (в часах), затраченное на изготовление одного изделия, равно:
Если функция  $$t(x)$$ выражает время, затраченное на изготовление продукции, то среднее время, затраченное на изготовление единицы продукции, в период освоения изделий от $$x_{1}$$ до $$x_{2}$$  находят по формуле:

 $$t_{cp.}=\frac{1}{x_{2}-x_{1}} \int_{x_{1}}^{x_{2}} t(x)dx.$$

$$t_{cp.}=\frac{1}{25-4} \int_{4}^{25}21x^{-1,5}dx=-2x^{-0,5}\left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right|_{4}^{25}=$$
$$=-\frac{2}{\sqrt{x}}\left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right|_{4}^{25} =$$
$$-\frac{2}{5}+1=0,6$$ (ч)$$.$$
Функция затрат времени на изготовление продукции часто представляется в виде:
$$t(x)=Ax^{-B}$$,
где $$A$$ – затраты времени на первое изделие,
$$B$$ – показатель производственного процесса.
Выберите один из вариантов
Если функция предельных издержек задана формулой $$MC=\frac{10}{\sqrt{5q+50}},$$ а издержки при производстве первой единицы продукции составляют $$50$$ ден. ед., то при производстве $$10$$ единиц продукции издержки составят:
Если $$q$$ – объем выпуска продукции, а  $$MC=C{}'(q)$$ – функция предельных издержек (издержки на производство дополнительной единицы продукции), то функцию издержек $$C(q)$$ находят по формуле: 
$$C(q)=\int MC dq=F(q)+C_{0}$$ , 
где $$C_{0}=C(1)$$ – издержки при производстве первой единицы продукции.
Найдем функцию издержек:
 $$C(q)=\int \frac{10dq}{\sqrt{5q+50}}=\int \frac{10d(5q+50)}{5\sqrt{5q+50}}=4\sqrt{5q+50}+C_{0} .$$
С учетом  $$C_{0}=50,$$ получим:

 $$C(q)=4\sqrt{5q+50}+50.$$

Тогда, $$C(10)=4\cdot 10+50= 90$$  (ден. ед.).
$$\int \frac{du}{\sqrt{u}}=2\sqrt{u} +C$$
Выберите один из вариантов
Если первоначальные капиталовложения при процентной ставке $$50%$$% составляют
$$100$$
 тыс. ден. ед. и планируется ежегодное увеличение капиталовложения на $$1$$ тыс. ден. ед., то дисконтированный доход за $$2$$ года составит:
Если функция  $$f(t)$$ показывает поступление дохода за время $$t,$$ а  $$i=\frac{p}{100}$$ – удельная норма непрерывно начисляемого процента, то дисконтированный доход $$K$$ за время $$T$$ равен:
$$K=\int_{0}^{T} f(t)e^{it}dt.$$
В нашем случае капиталовложения задаются формулой:

 $$f(t)=100+t.$$

Тогда: $$K=\int_{0}^{2} (100+t)e^{-0,5t}dt.$$
Применим формулу интегрирования по частям.
Положим $$100+t=u,$$ а $$e^{-0,4t}dt=dv.$$
Тогда: $$dt=du, -2\int$$$$e^{-0,5t}d(-0,5t)=\int vdv,$$

откуда $$-2e^{-0,5t}=v.$$ 

Получим:

$$K=-2 (100+t)e^{-0,5t} \left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right|_{0}^{2} +2 \int_{0}^{2}e^{-0,5t}dt= -2 (100+t)e^{-0,5t}-4e ^{-0,5t}\left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right|_{0}^{2} =$$

$$= -(204+2t)e^{-0,5t}\left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right|_{0}^{2} =204-208e^{-1}$$ (тыс. ден. ед.).

Дисконтированием называют определение начальной суммы по ее величине, полученной через $$t$$ лет, при годовом проценте (процентной ставке) $$p.$$

Выберите один из вариантов