Дифференциальные уравнения первого порядка ИТ 1
Общий интеграл уравнения $$cosxsinydy=cosysinxdx$$ имеет вид:
Формула преобразования дифференциала:
$$\int f(x)dx=\int \frac{f(x)dg(x)}{g'(x)}$$.Разделим переменные и проинтегрируем полученное равенство:
$$\frac{sinydy}{cosy}=\frac{sinxdx}{cosx}$$, $$\int \frac{sinyd(cosy)}{cosy(cosy)'}=\int \frac{sinxd(cosx)}{cosx(cosx)'}$$, $$\int \frac{sinyd(cosy)}{cosy(-siny)}=\int \frac{sinxd(cosx)}{cosx(-sinx)}$$, $$-\int \frac{d(cosy)}{cosy}=-\int \frac{d(cosx)}{cosx}$$, $$lncosy=lncosx+lnC$$, $$lncosy=lnCcosx$$, $$cosy=Ccosx$$.Если общее решение уравнения получено в неявном виде $$\Phi (x;y;C)=0$$, то его называют общим интегралом.
Выберите один из вариантов
Общее решение уравнения $$xy'=tgy$$ имеет вид:
Формула изменения дифференциала:
$$\int f(x)dx= \int \frac{f(x)d(g(x))}{g‘(x)}$$.
Свойства логарифмов:
$$ln a+ln b=ln (a \cdot b)$$.
$$\int f(x)dx= \int \frac{f(x)d(g(x))}{g‘(x)}$$.
Свойства логарифмов:
$$ln a+ln b=ln (a \cdot b)$$.
Запишем уравнение в виде:
$$\frac{xdy}{dx}=tgy$$; $$xdy=tgydx$$.
Разделим переменные:
$$\frac{xdy}{x \cdot tgy}=\frac {tgydx}{x \cdot tgy}$$; $$\frac{dy}{tgy}=\frac{dx}{x}$$; $$\frac{cosydy}{siny}=\frac{dx}{x}$$.
Проинтегрируем полученное равенство:
$$\int\frac{cosy \cdot d(sin y)}{siny \cdot cosy}=\int \frac{dx}{x}$$; $$\int \frac{d(siny)}{siny}=\int \frac{dx}{x}$$;
$$ln sin y=ln x+lnC$$; $$ln sin y=ln Cx$$; $$siny=Cx$$.
$$\frac{xdy}{dx}=tgy$$; $$xdy=tgydx$$.
Разделим переменные:
$$\frac{xdy}{x \cdot tgy}=\frac {tgydx}{x \cdot tgy}$$; $$\frac{dy}{tgy}=\frac{dx}{x}$$; $$\frac{cosydy}{siny}=\frac{dx}{x}$$.
Проинтегрируем полученное равенство:
$$\int\frac{cosy \cdot d(sin y)}{siny \cdot cosy}=\int \frac{dx}{x}$$; $$\int \frac{d(siny)}{siny}=\int \frac{dx}{x}$$;
$$ln sin y=ln x+lnC$$; $$ln sin y=ln Cx$$; $$siny=Cx$$.
Тригонометрическое тождество: $$tgy=\frac{siny}{cosy}$$.
Выберите один из вариантов
Решение уравнения $$ydx=(x^2+x-2)dy$$ имеет вид:
1. Формула изменения формы дифференциала:
$$\int f(x)dx=\int \frac{f(x)dg(x)}{g‘(x)}$$.
2. Табличный интеграл:
$$\int \frac{du}{u^2-a^2}=\frac{1}{2a}ln|\frac{u-a}{u+a}|+C$$.
$$\int f(x)dx=\int \frac{f(x)dg(x)}{g‘(x)}$$.
2. Табличный интеграл:
$$\int \frac{du}{u^2-a^2}=\frac{1}{2a}ln|\frac{u-a}{u+a}|+C$$.
1. Разделим переменные:
$$\frac{dx}{x^2+x-2}=\frac{dy}{y}$$.
2. Преобразуем квадратный трехчлен:
$$f(x)=x^2+x-2$$; $$f(x)= \left (x^2+2 \cdot \frac{1}{2} \cdot x + \frac{1}{4} \right)-\frac{1}{4}-2$$; $$f(x)=\left (x+\frac{1}{2}\right)^2-\frac{9}{4}$$; $$f(x)=(x+0,5)^2-1,5^2$$.
3. Решим уравнение:
$$\int \frac{d(x+0,5)}{(x+0,5)^2-1,5^2}=\int \frac{dy}{y}$$; $$ln y+ln C=\frac{1}{3}ln\frac{x-1}{x+2}$$;
$$\frac{dx}{x^2+x-2}=\frac{dy}{y}$$.
2. Преобразуем квадратный трехчлен:
$$f(x)=x^2+x-2$$; $$f(x)= \left (x^2+2 \cdot \frac{1}{2} \cdot x + \frac{1}{4} \right)-\frac{1}{4}-2$$; $$f(x)=\left (x+\frac{1}{2}\right)^2-\frac{9}{4}$$; $$f(x)=(x+0,5)^2-1,5^2$$.
3. Решим уравнение:
$$\int \frac{d(x+0,5)}{(x+0,5)^2-1,5^2}=\int \frac{dy}{y}$$; $$ln y+ln C=\frac{1}{3}ln\frac{x-1}{x+2}$$;
$$3lnCy=ln\frac{x-1}{x+2}$$; $$ln(Cy)^3=ln\frac{x-1}{x+2}$$; $$(Cy)^3=\frac{x-1}{x+2}$$.
$$u=x+0,5$$; $$a=1,5$$; $$(x+0,5)'=1$$.
Выберите один из вариантов
Решение уравнения $$y'x=2y$$ при условии, что $$x_0=-2$$, а $$y_0=10$$, имеет вид:
Уравнение с разделяющимися переменными имеет вид:
$$f(x)dy=f(y)dx$$.
Разделим переменные:
$$\frac{dy}{f(y)}=\frac{dx}{f(x)}$$.
Запишем уравнение в виде:
$$\frac{dy}{dx}x=2y$$, $$dyx=2ydx$$.Разделим переменные:
$$\frac{dy}{y}=\frac{2dx}{x}$$.
Проинтегрируем полученное равенство:
$$\int \frac{dy}{y}=\int \frac{2x}{x}$$,
$$lny=2lnx+lnC$$,
$$lny=lnx^2+lnC$$,
$$lny=lnCx^2$$,
$$y=Cx^2$$ – общее решение уравнения.
Подставляя в общее решение значения $$x_0=-2$$ и $$y_0=10$$ найдем произвольную постоянную:
$$10=4C$$, откуда $$C=2,5$$.
Подставляя значение $$C=2,5$$ в общее решение, найдем частное решение:
$$y=2,5x^2$$.
Различайте общее решение $$y=\phi (x;C)$$ и частное решение $$y=\phi (x)$$ дифференциального уравнения первого порядка.
Выберите один из вариантов
Решение дифференциального уравнения $$\frac{x^2y'}{x^2-1}=1$$, удовлетворяющее начальным условиям $$y(1)=2$$, имеет вид:
Уравнение с разделяющимися переменными имеет вид:
$$f(x)dy=f(y)dx$$.
Разделим переменные:
$$\frac{dy}{f(y)}=\frac{dx}{f(x)}$$.
$$f(x)dy=f(y)dx$$.
Разделим переменные:
$$\frac{dy}{f(y)}=\frac{dx}{f(x)}$$.
Запишем уравнение в виде:
$$\frac{x^2}{x^2-1} \cdot \frac{dy}{dx}=1$$; $$\frac{x^2}{x^2-1} \cdot dy=dx$$.
Разделим переменные:
$$dy=\frac{x^2-1}{x^2}dx$$; $$dy= \left (1-\frac{1}{x^2} \right) dx$$.
Проинтегрируем полученное равенство:
$$\int dy=\int dx- \int \frac{dx}{x^2}$$; $$y=x+\frac{1}{x}+C$$.
Зная, что $$x_0=1$$, а $$y_0=2$$, найдем значение произвольной постоянной:
$$2=1+1+C$$, откуда $$C=0$$.
Запишем частное решение: $$y=x+\frac{1}{x}$$.
$$\frac{x^2}{x^2-1} \cdot \frac{dy}{dx}=1$$; $$\frac{x^2}{x^2-1} \cdot dy=dx$$.
Разделим переменные:
$$dy=\frac{x^2-1}{x^2}dx$$; $$dy= \left (1-\frac{1}{x^2} \right) dx$$.
Проинтегрируем полученное равенство:
$$\int dy=\int dx- \int \frac{dx}{x^2}$$; $$y=x+\frac{1}{x}+C$$.
Зная, что $$x_0=1$$, а $$y_0=2$$, найдем значение произвольной постоянной:
$$2=1+1+C$$, откуда $$C=0$$.
Запишем частное решение: $$y=x+\frac{1}{x}$$.
Различайте общее решение $$y=f(x,C)$$ и частное решение $$y=f(x)$$ дифференциального уравнения первого порядка.
Выберите один из вариантов
Общее решение уравнения $$y'xlnx=1$$ имеет вид:
Формула преобразования дифференциала:
$$\int f(x)dx=\int \frac{f(x)dg(x)}{g'(x)}$$.Запишем уравнение в виде:
$$\frac{dy}{dx}xlnx=1$$.
Разделим переменные:
$$dyxlnx=dx$$; $$dy=\frac{dx}{xlnx}$$.
Интегрируя последнее равенство, получим:
$$\int dy=\int \frac{dx}{xlnx}$$; $$y=\int \frac{d(lnx)}{xlnx\cdot \frac{1}{x}}$$; $$y=\int \frac{d(lnx)}{lnx}$$;
$$y=ln(lnx)+lnC$$; $$y=ln(Clnx)$$.
$$y'=\frac{dy}{dx}$$,
$$\int \frac{dt}{t}=lnt+C$$.
Выберите один из вариантов
Решение уравнения $$xdx=(x^2+x-2)dy$$ имеет вид:
1. Формула изменения формы дифференциала:
$$\int f(x)dx=\int \frac{f(x)dg(x)}{g‘(x)}$$.
2. Табличный интеграл:
$$\int \frac{du}{u^2-a^2}=\frac{1}{2a}ln|\frac{u-a}{u+a}|+C$$.
$$\int f(x)dx=\int \frac{f(x)dg(x)}{g‘(x)}$$.
2. Табличный интеграл:
$$\int \frac{du}{u^2-a^2}=\frac{1}{2a}ln|\frac{u-a}{u+a}|+C$$.
1. Разделим переменные:
$$\frac{xdx}{x^2+x-2}=dy$$.
2. Разложим квадратный трехчлен на линейные множители:
$$x^2+x-2=(x+2)(x-1)$$.
3. Представим подынтегральную функцию в виде суммы простейших дробей:
$$\frac{x}{(x+2)(x-1)}=\frac{A}{x+2}+\frac{B}{x-1}$$, откуда
$$\frac{xdx}{x^2+x-2}=dy$$.
2. Разложим квадратный трехчлен на линейные множители:
$$x^2+x-2=(x+2)(x-1)$$.
3. Представим подынтегральную функцию в виде суммы простейших дробей:
$$\frac{x}{(x+2)(x-1)}=\frac{A}{x+2}+\frac{B}{x-1}$$, откуда
$$
x=Ax-A+Bx+2B$$,
$$x+0=(A+B)x+(-A+2B)$$.
Приравнивая коэффициенты многочленов при одинаковых степенях переменных, получим:
$$\left\{\begin{array}{lr} A+B=1, \\ -A+2B=0; \end{array}\right.$$ $$\left\{\begin{array}{lr} A=\frac{2}{3}, \\ B=\frac{1}{3}. \end{array}\right.$$
4. Решим уравнение:
Приравнивая коэффициенты многочленов при одинаковых степенях переменных, получим:
$$\left\{\begin{array}{lr} A+B=1, \\ -A+2B=0; \end{array}\right.$$ $$\left\{\begin{array}{lr} A=\frac{2}{3}, \\ B=\frac{1}{3}. \end{array}\right.$$
4. Решим уравнение:
$$\int dy=\frac{2}{3} \int \frac{d(x+2)}{x+2}+\frac{1}{3} \int \frac{d(x-1)}{x-1}$$,
$$y=\frac{2}{3}ln|x+2|+\frac{1}{3}ln|x-1|+ln C$$.
1. Свойства логарифмов:
$$nlog_a b=log_a b^n$$;
$$log_a b+log_a c=log_a bc$$.
2. Преобразование ответа:
$$3y=2ln|x+2|+ln|x-1|+3lnC$$;
$$3y=ln|x+2|^2+ln|x-1|+lnC^3$$;
$$3y=ln(C^3(x+2)^2(x-1))$$.
$$nlog_a b=log_a b^n$$;
$$log_a b+log_a c=log_a bc$$.
2. Преобразование ответа:
$$3y=2ln|x+2|+ln|x-1|+3lnC$$;
$$3y=ln|x+2|^2+ln|x-1|+lnC^3$$;
$$3y=ln(C^3(x+2)^2(x-1))$$.
Выберите один из вариантов
В результате решения задачи Коши для дифференциального уравнения $$2y'=\sqrt{5y-1}$$ при $$y(0,2)=1$$ получим:
1. Формула изменения дифференциала:
$$\int f(x)dx=\int \frac{f(x)dg(x)}{g'(x)}$$.
2. Табличный интеграл:
$$\int \frac{dt}{\sqrt{t}}=2\sqrt{t}+C$$.
Запишем уравнение в виде:
$$2\frac{dy}{dx}=\sqrt{5y-1}$$; $$2dy=\sqrt{5y-1}dx$$.Найдем его общее решение:
$$\frac{2dy}{\sqrt{5y-1}}=dx$$; $$2\int \frac{d(5y-1)}{5\sqrt{5y-1}}=\int dx$$; $$0,8 \sqrt{5y-1}=x+C$$. Зная, что $$x_{0}=0,2$$, а $$y_{0}=1,$$ найдем значение произвольной постоянной: $$0,8 \sqrt{5-1}=0,2+C$$,$$1,6=0,2+C$$, откуда $$C=1,4$$.
Запишем частное решение:
$$0,8\sqrt{5y-1}=x+1,4$$.
Решить задачу Коши – значит найти частное решение уравнения, удовлетворяющее начальным условиям $$y(x_0)=y_0$$.
Выберите один из вариантов
Общее решение уравнения $$5dy=(2x+5)dx$$ имеет вид:
Дифференциальное уравнение с разделенными переменными имеет вид:
$$f(y)dy=f(x)dx$$.Чтобы решить это уравнение, необходимо проинтегрировать его обе части.
Найдем общее решение уравнения:
$$\int 5dy=\int (2x+5)dx$$,
$$5y=x^2+5x+5C$$,
$$y=0,2x^2+x+C$$.
Табличные интегралы:
$$\int dx=x+C$$;
$$\int x^ndx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$$.
Выберите один из вариантов
Общее решение уравнения $$(x+1)ydx=(y-1)xdy$$ имеет вид:
Дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными имеет вид:
$$f_1(x)g_1(y)dx=f_2(x)g_2(y)dy$$.Чтобы решить это уравнение, необходимо разделить переменные $$\frac{f_1(x)dx}{f_2(x)}=\frac{g_2(y)dy}{g_1(y)}$$ и проинтегрировать обе части полученного равенства.1. Разделим переменные:
$$\frac{(x+1)ydx}{xy}=\frac{(y-1)xdy}{xy}$$,
$$\frac{(x+1)dx}{x}=\frac{(y-1)dy}{y}$$.
2. Найдем общее решение уравнения:
$$\int \left ( 1+\frac{1}{x} \right )dx=\int\left ( 1-\frac{1}{y} \right )dy$$,
$$x+lnx=y-lny+C$$,
$$lnx+lny=y-x+C$$,
$$lnxy=y-x+C$$.
Свойства логарифмов:
$$log_ax+log_ay=log_axy$$;
$$log_ax-log_ay=log_a\frac{x}{y}$$.
Выберите один из вариантов