$$\int f(x)dx=\int \frac{f(x)dg(x)}{g'(x)}$$.

1. Запишем уравнение в виде:
   $$\frac{dy}{dx}x\ln x=1$$. 
2. Разделим переменные:
   $$dyx\ln x=dx$$; $$dy=\frac{dx}{x\ln x}$$. 
3. Интегрируя последнее равенство, получим:
   $$\int dy=\int \frac{dx}{x\ln x}$$; $$y=\int \frac{d(\ln x)}{x\ln x\cdot \frac{1}{x}}$$; $$y=\int \frac{d(\ln x)}{\ln x}$$;
   $$y=\ln (\ln x)+\ln C$$; $$y=\ln (C\ln x)$$.

1. Формула изменения формы дифференциала:
   $$\int f(x)dx=\int \frac{f(x)dg(x)}{g‘(x)}$$. 
2. Табличный интеграл:
   $$\int \frac{du}{u^2-a^2}=\frac{1}{2a}\ln\left|\frac{u-a}{u+a}\right|+C$$.

1. Разделим переменные:
   $$\frac{xdx}{x^2+x-2}=dy$$. 
2. Разложим квадратный трехчлен на линейные множители:
   $$x^2+x-2=(x+2)(x-1)$$. 
3. Представим подынтегральную функцию в виде суммы простейших дробей:
   $$\frac{x}{(x+2)(x-1)}=\frac{A}{x+2}+\frac{B}{x-1}$$, 
   откуда $$ x=Ax-A+Bx+2B$$, $$x+0=(A+B)x+(-A+2B)$$.
   Приравнивая коэффициенты многочленов при одинаковых степенях переменных, получим:
   $$\left\{\begin{array}{lr} A+B=1, \\ -A+2B=0; \end{array}\right.$$ $$\left\{\begin{array}{lr} A=\frac{2}{3}, \\ B=\frac{1}{3}. \end{array}\right.$$ 
4. Решим уравнение:
   $$\int dy=\frac{2}{3} \int \frac{d(x+2)}{x+2}+\frac{1}{3} \int \frac{d(x-1)}{x-1}$$,
   $$y=\frac{2}{3}\ln |x+2|+\frac{1}{3}\ln |x-1|+\ln C$$.

1. Свойства логарифмов:
   $$n\textrm{log}_a b=\textrm{log}_a b^n$$;
   $$\textrm{log}_a b+\textrm{log}_a c=\textrm{log}_a bc$$. 
2. Преобразование ответа:
   $$3y=2\ln |x+2|+\ln |x-1|+3\ln C$$;
   $$3y=\ln |x+2|^2+\ln |x-1|+\ln C^3$$;
   $$3y=\ln \left(C^3(x+2)^2(x-1)\right)$$.

1. Дифференциальное уравнение с разделенными переменными имеет вид:
   $$f(y)dy=f(x)dx$$. 
2. Чтобы решить это уравнение, необходимо проинтегрировать его обе части.

$$\int 5dy=\int (2x+5)dx$$,
$$5y=x^2+5x+5C$$,
$$y=0,2x^2+x+C$$.

$$\int dx=x+C$$;
$$\int x^ndx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$$.

1. Уравнение с разделяющимися переменными:
   $$f(x)dy=f(y)dx$$. 
2. Уравнение с разделенными переменными:
   $$\frac{dy}{f(y)}=\frac{dx}{f(x)}$$.

1. Запишем уравнение в виде:
   $$\frac{x^2}{x^2-1} \cdot \frac{dy}{dx}=1$$; $$\frac{x^2}{x^2-1} \cdot dy=dx$$.
2. Разделим переменные:
   $$dy=\frac{x^2-1}{x^2}dx$$; $$dy= \left (1-\frac{1}{x^2} \right) dx$$. 
3. Проинтегрируем полученное равенство:
   $$\int dy=\int dx- \int \frac{dx}{x^2}$$; $$y=x+\frac{1}{x}+C$$.
4. Зная, что $$x_0=1$$, а $$y_0=2$$, найдем значение произвольной постоянной:
   $$2=1+1+C$$, откуда $$C=0$$. 
5. Запишем частное решение: $$y=x+\frac{1}{x}$$.

1. Уравнение с разделяющимися переменными имеет вид: 
   $$f(x)dy=f(y)dx$$. 
2. Разделим переменные:
   $$\frac{dy}{f(y)}=\frac{dx}{f(x)}$$.

1. Запишем уравнение в виде: 
   $$\frac{dy}{dx}x=2y$$, $$dyx=2ydx$$.
   Разделим переменные:
   $$\frac{dy}{y}=\frac{2dx}{x}$$. 
2. Проинтегрируем полученное равенство:
   $$\int \frac{dy}{y}=\int \frac{2x}{x}$$, $$\ln y=2\ln x+\ln C$$, $$\ln y=\ln x^2+\ln C$$, $$\ln y=\ln Cx^2$$,
   $$y=Cx^2$$ – общее решение уравнения. 
3. Подставляя в общее решение значения $$x_0=-2$$ и $$y_0=10$$ найдем произвольную постоянную:
   $$10=4C$$, откуда $$C=2,5$$. 
4. Подставляя значение $$C=2,5$$ в общее решение, найдем частное решение:
   $$y=2,5x^2$$.

Различайте общее решение $$y=\phi (x;C)$$ и частное решение $$y=\phi (x)$$ дифференциального уравнения первого порядка.

1. Формула изменения дифференциала:
   $$\int f(x)dx=\int \frac{f(x)dg(x)}{g'(x)}$$. 
2. Табличный интеграл:
   $$\int \frac{dt}{\sqrt{t}}=2\sqrt{t}+C$$.

1. Запишем уравнение в виде:
   $$2\frac{dy}{dx}=\sqrt{5y-1}$$; $$2dy=\sqrt{5y-1}dx$$. 
2. Найдем его общее решение:
   $$\frac{2dy}{\sqrt{5y-1}}=dx$$;
   $$2\int \frac{d(5y-1)}{5\sqrt{5y-1}}=\int dx$$;
   $$0,8 \sqrt{5y-1}=x+C$$. 
3. Зная, что $$x_{0}=0,2$$, а $$y_{0}=1,$$ найдем значение произвольной постоянной:
   $$0,8 \sqrt{5-1}=0,2+C$$, $$1,6=0,2+C$$, откуда $$C=1,4$$. 
4. Запишем частное решение:
   $$0,8\sqrt{5y-1}=x+1,4$$.

Решить задачу Коши – значит найти частное решение уравнения, удовлетворяющее начальным условиям $$y(x_0)=y_0$$.

$$\int f(x)dx=\int \frac{f(x)dg(x)}{g'(x)}$$.

1. Разделим переменные:
   $$\frac{\sin ydy}{\cos y}=\frac{\sin xdx}{\cos x}$$. 
2. Проинтегрируем полученное равенство:
   $$\int \frac{\sin yd(\cos y)}{\cos y(\cos y)'}=\int \frac{\sin xd(\cos x)}{\cos x(\cos x)'}$$,
   $$\int \frac{\sin y d(\cos y)}{\cos y(-\sin y)}=\int \frac{\sin xd(\cos x)}{\cos x (-\sin x)}$$,
   $$-\int \frac{d(\cos y)}{\cos y}=-\int \frac{d(\cos x)}{\cos x}$$,
   $$\ln \cos y=\ln \cos x+\ln C$$.
3. Выполним преобразования:
   $$\ln \cos y=\ln \left(C\cos x\right)$$, $$\cos y=C\cos x$$.

Если общее решение уравнения получено в неявном виде $$\Phi (x;y;C)=0$$, то его называют общим интегралом.

1. Дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными имеет вид:
   $$f_1(x)g_1(y)dx=f_2(x)g_2(y)dy$$. 
2. Чтобы решить это уравнение, необходимо разделить переменные $$\frac{f_1(x)dx}{f_2(x)}=\frac{g_2(y)dy}{g_1(y)}$$ и проинтегрировать обе части полученного равенства.

1. Разделим переменные:
   $$\frac{(x+1)ydx}{xy}=\frac{(y-1)xdy}{xy}$$,
   $$\frac{(x+1)dx}{x}=\frac{(y-1)dy}{y}$$. 
2. Найдем общее решение уравнения:
   $$\int \left(1+\frac{1}{x} \right )dx=\int\left ( 1-\frac{1}{y} \right )dy$$,
   $$x+\ln x=y-\ln y+C$$,
   $$\ln x+\ln y=y-x+C$$,
   $$\ln xy=y-x+C$$.

$$\textrm{log}_ax+\textrm{log}_ay=\textrm{log}_axy$$;
$$\textrm{log}_ax-\textrm{log}_ay=\textrm{log}_a\frac{x}{y}$$.

1. Формула изменения дифференциала:
   $$\int f(x)dx= \int \frac{f(x)d(g(x))}{g‘(x)}$$. 
2. Свойство логарифмов:
   $$\ln a+\ln b=\ln (a \cdot b)$$.

1. Запишем уравнение в виде:
   $$\frac{xdy}{dx}=\textrm{tg} y$$; $$xdy=\textrm{tg} ydx$$. 
2. Разделим переменные:
   $$\frac{xdy}{x \cdot \textrm{tg} y}=\frac {\textrm{tg} ydx}{x \cdot \textrm{tg} y}$$;
   $$\frac{dy}{\textrm{tg} y}=\frac{dx}{x}$$;
   $$\frac{\cos ydy}{\sin y}=\frac{dx}{x}$$. 
3. Проинтегрируем полученное равенство:
   $$\int\frac{\cos y \cdot d(\sin y)}{\sin y \cdot \cos y}=\int \frac{dx}{x}$$;
   $$\int \frac{d(\sin y)}{\sin y}=\int \frac{dx}{x}$$;
   $$\ln \sin y=\ln x+\ln C$$.
4. Преобразуем ответ:
   $$\ln \sin y=\ln Cx$$; $$\sin y=Cx$$.

1. Формула изменения формы дифференциала:
   $$\int f(x)dx=\int \frac{f(x)dg(x)}{g‘(x)}$$. 
2. Табличный интеграл:
   $$\int \frac{du}{u^2-a^2}=\frac{1}{2a}\ln\left|\frac{u-a}{u+a}\right|+C$$.

1. Разделим переменные:
   $$\frac{dx}{x^2+x-2}=\frac{dy}{y}$$. 
2. Преобразуем квадратный трехчлен:
   $$f(x)=x^2+x-2$$;
   $$f(x)= \left (x^2+2 \cdot \frac{1}{2} \cdot x + \frac{1}{4} \right)-\frac{1}{4}-2$$;
   $$f(x)=\left (x+\frac{1}{2}\right)^2-\frac{9}{4}$$;
   $$f(x)=(x+0,5)^2-1,5^2$$. 
3. Решим уравнение:
   $$\int \frac{d(x+0,5)}{(x+0,5)^2-1,5^2}=\int \frac{dy}{y}$$;
   $$\ln y+\ln C=\frac{1}{3}\ln \frac{x-1}{x+2}$$;
   $$3\ln Cy=\ln \frac{x-1}{x+2}$$;
   $$\ln (Cy)^3=\ln\frac{x-1}{x+2}$$;
   $$(Cy)^3=\frac{x-1}{x+2}$$.

$$u=x+0,5$$; $$a=1,5$$; $$(x+0,5)'=1$$.