Загрузка

Дифференциальные уравнения первого порядка

Общее решение уравнения $$5dy=(2x+1)dx$$ имеет вид:

Дифференциальное уравнение с разделенными переменными имеет вид:

$$f(y)dy=f(x)dx$$.

Чтобы решить это уравнение, необходимо проинтегрировать его обе части.

$$\int 5dy=\int (2x+5)dx$$,

$$5y=x^2+5x+5C$$,

$$y=0,2x^2+x+C$$.

$$\int dx=x+C$$,

$$\int x^ndx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$$.

Выберите один из вариантов

Общее решение уравнения $$(x+1)ydx=(y-1)xdy$$ имеет вид:

Дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными имеет вид:

$$f_1(x)g_1(y)dx=f_2(x)g_2(y)dy$$.

Чтобы решить это уравнение, необходимо разделить переменные $$\frac{f_1(x)dx}{f_2(x)}=\frac{g_2(y)dy}{g_1(y)}$$ и проинтегрировать обе части полученного равенства.

$$\frac{(x+1)ydx}{xy}=\frac{(y-1)xdy}{xy}$$,

$$\frac{(x+1)dx}{x}=\frac{(y-1)dy}{y}$$,

$$\int \left ( 1+\frac{1}{x} \right )dx=\int\left ( 1-\frac{1}{y} \right )dy$$,

$$x+lnx=y-lny+C$$,

$$lnx+lny=y-x+C$$,

$$lnxy=y-x+C$$.

$$log_ax+log_ay=log_axy$$,

$$log_ax-log_ay=log_a\frac{x}{y}$$.

Выберите один из вариантов

Решение уравнения $$y'x=2y$$ при условии, что $$x_0=-2$$, а $$y_0=10$$, имеет вид:

$$y'=\frac{dy}{dx}$$

Запишем уравнение в виде:

$$\frac{dy}{dx}x=2y$$, $$dyx=2ydx$$. Разделим переменные:

$$\frac{dy}{y}=\frac{2dx}{x}$$. Проинтегрируем полученное равенство:

$$\int \frac{dy}{y}=\int \frac{2x}{x}$$,

$$lny=2lnx+lnC$$,

$$lny=lnx^2+lnC$$,

$$lny=lnCx^2$$,

$$y=Cx^2$$ – общее решение уравнения.

Подставляя в общее решение значения $$x_0=-2$$ и $$y_0=10$$ найдем произвольную постоянную:

$$10=4C$$, откуда $$C=2,5$$.

Подставляя значение $$C=2,5$$ в общее решение, найдем частное решение:

$$y=2,5x^2$$.

Различайте общее решение $$y=\phi (x;C)$$ и частное решение $$y=\phi (x)$$ дифференциального уравнения первого порядка.

Выберите один из вариантов

Общий интеграл уравнения $$cosx \cdot siny \cdot dy=cosy \cdot sinx \cdot dx$$ имеет вид:

Формула преобразования дифференциала:

$$\int f(x)dx=\int \frac{f(x)dg(x)}{g'(x)}$$.

Разделим переменные и проинтегрируем полученное равенство:

$$\frac{sinydy}{cosy}=\frac{sinxdx}{cosx}$$,

$$\int \frac{sinyd(cosy)}{cosy(cosy)'}=\int \frac{sinxd(cosx)}{cosx(cosx)'}$$,

$$\int \frac{sinyd(cosy)}{cosy(-siny)}=\int \frac{sinxd(cosx)}{cosx(-sinx)}$$,

$$-\int \frac{d(cosy)}{cosy}=-\int \frac{d(cosx)}{cosx}$$,

$$lncosy=lncosx+lnC$$,

$$lncosy=lnCcosx$$,

$$cosy=Ccosx$$.

Если общее решение уравнения получено в неявном виде $$\Phi (x;y;C)=0$$, то его называют общим интегралом.

Выберите один из вариантов

Общее решение уравнения $$y'xlnx=1$$ имеет вид:

Формула преобразования дифференциала:

$$\int f(x)dx=\int \frac{f(x)dg(x)}{g'(x)}$$.

Запишем уравнение в виде $$\frac{dy}{dx}xlnx=1$$ и разделим переменные:

$$dyxlnx=dx$$, $$dy=\frac{dx}{xlnx}$$.

Интегрируя последнее равенство, получим:

$$\int dy=\int \frac{dx}{xlnx}$$,

$$y=\int \frac{d(lnx)}{xlnx\cdot \frac{1}{x}}$$,

$$y=\int \frac{d(lnx)}{lnx}$$,

$$y=ln(lnx)+lnC$$,

$$y=ln(Clnx)$$.

$$y'=\frac{dy}{dx}$$,

$$\int \frac{dt}{t}=lnt+C$$.

Выберите один из вариантов

В результате решения задачи Коши для дифференциального уравнения $$2y'=\sqrt{5y-1}$$ при $$y(0,2)=1$$ получим:

$$\int f(x)dx=\int \frac{f(x)dg(x)}{g'(x)}$$,

$$\int \frac{dt}{\sqrt{t}}=2\sqrt{t}+C$$.

Запишем уравнение в виде:

$$2\frac{dy}{dx}=\sqrt{5y-1}$$, $$2dy=\sqrt{5y-1}dx$$.

Найдем его общее решение:

$$\frac{2dy}{\sqrt{5y-1}}=dx$$,

$$2\int \frac{d(5y-1)}{5\sqrt{5y-1}}=\int dx$$,

$$0,4 \sqrt{5y-1}=x+C.$$

Зная, что $$x_{0}=0,2$$, а $$y_{0}=1,$$ найдем значение произвольной постоянной:

$$0,4 \sqrt{5-1}=0,2+C$$,

$$0,8=0,2+C$$,

$$C=0,6$$.

Запишем частное решение:

$$0,4\sqrt{5y-1}=x+0,6.$$

Решить задачу Коши – значит найти частное решение уравнения, удовлетворяющее начальным условиям $$y(x_0)=y_0$$.

Выберите один из вариантов

Общее решение уравнения $$y=xy'-xtg\frac{y}{x}$$ имеет вид:

Дифференциальное однородное уравнение первого порядка имеет вид

$$P(x,y)dx=Q(x,y)dy$$,

где $$P(x,y)$$ и $$Q(x,y)$$ однородные функции одного и того же порядка:

$$P(kx,ky)=k^nP(x,y)$$ и $$Q(kx,ky)=k^nQ(x,y)$$.

Чтобы решить это уравнение, необходимо применить подстановку:

$$y=ux$$, $$dy=udx+xdu$$, где $$u=f(x)$$.

Запишем уравнение в виде:

$$\frac{xdy}{dx}=y+xtg\frac{y}{x}$$,

$$xdy=\left ( y+xtg\frac{y}{x} \right )dx$$.

Имеем однородное дифференциальное уравнение первого порядка.

Полагая $$y=ux$$, $$dy=udx+xdu$$, получим:

$$x(udx+xdu)=(ux+xtgu)dx$$,

$$x(udx+xdu)=x(u+tgu)dx$$,

$$udx+xdu=(u+tgu)dx$$,

$$xdu=(u-u+tgu)dx$$,

$$xdu=\frac{sinudx}{cosu}$$.

Разделим переменные и проинтегрируем полученное равенство:

$$\frac{cosudu}{sinu}=\frac{dx}{x}$$,

$$\int \frac{cosud(sinu)}{sinucosu}=\int \frac{dx}{x}$$,

$$\int \frac{d(sinu)}{sinu}=\int \frac{dx}{x}$$,

$$ln(sinu)=lnx+lnC$$,

$$ln(sinu)=lnCx$$,

$$sinu=Cx$$.

Учитывая, что $$y=ux$$, а $$u=\frac{y}{x}$$, получим:

$$sin\frac{y}{x}=Cx.$$

Функции $$P(x;y)=x$$ и $$Q(x;y)=y+xtg\frac{y}{x}$$ являются однородными функциями первого порядка, так как

$$P(kx)=kx=kP(x)$$,

$$Q(kx;ky)=ky+kxtg\frac{ky}{kx}=k\left ( y+xtg\frac{y}{x} \right )=kQ(x;y)$$.

Выберите один из вариантов

Общее решение уравнения $$xyy'=x^2-y^2$$ имеет вид:

Дифференциальное однородное уравнение имеет вид

$$P(x,y)dx=Q(x,y)dy$$,

где $$P(x,y)$$ и $$Q(x,y)$$ однородные функции одного и того же порядка:

$$P(kx,ky)=k^nP(x,y)$$ и $$Q(kx,ky)=k^nQ(x,y)$$.

Чтобы решить это уравнение, необходимо применить подстановку:

$$y=ux$$, $$dy=udx+xdu$$, где $$u=f(x)$$.

Запишем уравнение в виде:

$$\frac{xydy}{dx}=x^2-y^2$$, $$xydy=(x^2-y^2)dx$$.

Имеем однородное дифференциальное уравнение первого порядка.

Полагая $$y=ux$$, $$dy=udx+xdu$$, получим:

$$x^2u(udx+xdu)=(x^2-u^2x^2)dx$$,

$$x^2u(udx+xdu)=x^2(1-u^2)dx$$,

$$u^2dx+xudu=(1-u^2)dx$$,

$$xudu=(1-u^2)dx-u^2dx$$,

$$xudu=(1-2u^2)dx$$.

Разделим переменные и проинтегрируем полученное равенство:

$$\frac{udu}{1-2u^2}=\frac{dx}{x}$$,

$$\int \frac{ud(1-2u^2)}{(1-2u^2)(-4u)}=\int \frac{dx}{x}$$,

$$-\frac{1}{4}ln(1-2u^2)=lnCx$$,

$$ln(1-2u^2)=-4lnCx$$,

$$ln(1-2u^2)=ln(Cx)^{-4}$$,

$$1-2u^2=\frac{1}{(Cx)^4}$$,

$$u^2=\frac{1}{2}-\frac{1}{2(Cx)^4}$$.

Учитывая, что $$u=\frac{y}{x}$$, получим:

$$\frac{y^2}{x^2}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2(Cx)^4}$$,

$$y^2=\frac{x^2}{2}-\frac{1}{2C^4x^2}$$.

Функции $$P(x;y)=2xy$$ и $$Q(x;y)=x^2-9y^2$$ являются однородными функциями второго порядка, так как

$$P(kx;ky)=2kxky=k^2(2xy)=k^2P(x;y)$$,

$$Q(kx;ky)=k^2x^2-9k^2y^2=k^2(x^2-9y^2)=k^2Q(x;y)$$.
Выберите один из вариантов

Решение уравнения $$y'+y=e^x$$ имеет вид:

Дифференциальное линейное уравнение первого порядка имеет вид:

$$y'+p(x)y+q(x)=0$$.

Чтобы решить это уравнение, необходимо применить подстановку:

$$y=uv$$, $$y'=u'v+uv'$$,

где $$u=f_1(x)$$,

$$v=f_2(x)$$.

Полагая $$y=uv$$, $$y'=u'v+uv'$$, получим:

$$u'v+uv'+uv=e^x$$.

Сгруппируем слагаемые, содержащие множитель $$u$$, и вынесем его из скобок:

$$u'v+(uv'+uv)=e^x$$,

$$u'v+u(v'+v)=e^x$$.

Если положим $$v'+v=0$$, то получим: $$u'v=e^x$$.

Запишем систему уравнений: $$\begin{cases} v'+v=0, \\ u'v=e^x. \end{cases}$$

Решим первое уравнение системы:

$$\frac{dv}{dx}=-v$$, $$dv=-vdx$$, $$\frac{dv}{v}=-dx ,$$

$$\int \frac{dv}{v}=-\int dx$$, $$lnv=-x$$, $$v=e^{-x}$$.

Подставим полученное значение $$v=e^{-x}$$ во второе уравнение системы и решим его:

$$u'e^{-x}=e^x$$, $$\frac{du}{dx}=e^{2x}$$, $$du=e^{2x}dx$$,

$$\int du=\frac{1}{2}\int e^{2x}d2x$$, $$u=0,5e^{2x}+C$$.

Так как $$y=uv$$ , то получим:

$$y=0,5e^x+Ce^{-x}$$.

$$y'=\frac{dy}{dx}$$, $$u'=\frac{du}{dx}$$, $$v'=\frac{dv}{dx}$$.
Решая первое уравнение системы всегда полагаем $$C=0$$.

Выберите один из вариантов

Решением дифференциального уравнения $$y'-3x(x^2-1)=\frac{xy}{x^2-1}$$ является функция:

Подстановка: $$y=uv,$$ $$y'=u'v+uv',$$

где $$u=f_1(x)$$, $$v=f_2(x)$$.

Полагая $$y=uv$$, $$y'=u'v+uv'$$, получим:

$$u'v+uv'-3x(x^2-1)=\frac{xuv}{x^2-1}$$.

Сгруппируем слагаемые, содержащие множитель $$u$$, и вынесем его из скобок:

$$u'v+u\left ( v'-\frac{xv}{x^2-1} \right )=3x(x^2-1)$$.

Если положим $$v'-\frac{xv}{x^2-1}=0$$ $$(1)$$, то получим:

$$u'v=3x(x^2-1)$$ $$(2)$$.

Решим уравнение $$(1)$$:

$$\frac{dv}{dx}=\frac{xv}{x^2-1},$$

$$\frac{dv}{v}=\frac{xdx}{x^2-1}$$,

$$\int \frac{dv}{v}=\int \frac{xd(x^2-1)}{(x^2-1)2x}$$,

$$lnv=\frac{1}{2}ln(x^2-1)$$,

$$v=(x^2-1)^{0,5}$$.

Подставим полученное значение $$v=(x^2-1)^{0,5}$$ в уравнение $$(2)$$ и решим его:

$$\frac{du}{dx}(x^2-1)^{0,5}=3x(x^2-1)$$,

$$du=3x(x^2-1)^{0,5}dx$$,

$$\int du=\int \frac{3x(x^2-1)^{0,5}}{2x}d(x^2-1)$$,

$$u=\frac{3}{2}\cdot \frac{2}{3}(x^2-1)^{1,5}+C$$,

$$u=(x^2-1)^{1,5}+C$$.

Так как $$y=uv$$, то получим:

$$y=(x^2-1)^2+C\sqrt{x^2-1}$$.

Решая первое уравнение системы всегда полагаем $$C=0$$.

Выберите один из вариантов