Радикальный признак Коши: если существует предел $$\lim_{n \to \infty }\sqrt[n]{a_{n}}=l$$ и $$l< 1$$, то ряд сходится, а если $$l> 1$$, то ряд расходится.

1. Так как $$\lim_{n \to \infty }\sqrt[n]{a_{n}}=\lim_{n \to \infty }\sqrt[n]{n^{n}\sin^{n}\frac{2}{n}}$$,
   $$\lim_{n \to \infty }\sqrt[n]{a_{n}}=\lim_{n \to \infty }n\sin\frac{2}{n}$$,
   $$\lim_{n \to \infty }\sqrt[n]{a_{n}}=\lim_{n \to \infty }\frac{n\sin\frac{2}{n}\cdot \frac{2}{n}}{\frac{2}{n}}$$,
   $$\lim_{n \to \infty }\sqrt[n]{a_{n}}=2\lim_{n \to \infty }\frac{\sin\frac{2}{n}}{\frac{2}{n}}$$,
   $$\lim_{n \to \infty }\sqrt[n]{a_{n}}=2\lim_{\alpha \to \ 0 }\frac{\sin\alpha }{\alpha }=2> 1$$, то ряд расходится. 
2. Найдем второй член ряда: $$a_{2}=4\sin^{2}1$$.

Первый замечательный предел: 

$$\lim_{x \to 0}\frac{\sin{x}}{x}=1$$.

1. Если ряд $$\sum_{n=1}^{\infty }a_{n}$$, составленный из модулей членов ряда$$\sum_{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}a_{n}$$, сходится, то ряд $$\sum_{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}a_{n}$$ сходится абсолютно. 
2. Если ряд $$\sum_{n=1}^{\infty }a_{n}$$ расходится, а ряд $$\sum_{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}a_{n}$$ сходится, то ряд $$\sum_{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}a_{n}$$ сходится условно.

1. Запишем ряд, составленный из модулей членов данного ряда:
   $$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{n}{3^{n}}$$.
2. Применим признак Даламбера.
   Так как $$\lim_{n \to \infty }\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\lim_{n \to \infty }\frac{(n+1)\cdot 3^{n}}{3^{n+1}\cdot n}$$,
   $$\lim_{n \to \infty }\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\frac{1}{3}\lim_{n \to \infty }\frac{n+1}{n}$$,
   $$\lim_{n \to \infty }\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\frac{1}{3}\lim_{n \to \infty }\left ( 1+\frac{1}{n} \right )$$,
   $$\lim_{n \to \infty }\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\frac{1}{3}< 1$$, то ряд сходится. 
3. Так как ряд, составленный из модулей членов данного ряда, сходится, то данный ряд сходится абсолютно.
4. Тогда, $$a_{1}a_{2}=\frac{(-1)^{0}\cdot 1}{3}\cdot \frac{(-1)^{1}\cdot 2}{3^{2}}=-\frac{2}{27}$$.

Признак Даламбера: 

если существует предел $$\lim_{n \to \infty }\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=l$$ и $$l< 1$$, то ряд сходится, а если $$l> 1$$, то ряд расходится.

Признак Даламбера:
если существует предел $$\lim_{n \to \infty }\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=l$$ и $$l< 1$$, то ряд сходится, а если $$l> 1$$, то ряд расходится.

1. Запишем: $$a_{n}=\frac{n^{2}}{2^{n+1}}$$, $$a_{n+1}=\frac{(n+1)^{2}}{2^{n+2}}$$. 
2. Тогда: $$\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\frac{(n+1)^{2}}{2^{n+2}}:\frac{n^{2}}{2^{n+1}}$$,
   $$\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\frac{(n+1)^{2}2^{n+1}}{2\cdot 2^{n+1}n^{2}}$$,
   $$\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\frac{(n+1)^{2}}{2n^{2}}$$,
   $$\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\frac{1}{2}\left ( \frac{n+1}{n} \right )^{2}$$. 
3. Так как $$\lim_{n \to \infty }\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\frac{1}{2}\lim_{n \to \infty }\left ( 1+\frac{1}{n} \right )^{2}$$,
   $$\lim_{n \to \infty }\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\frac{1}{2}(1+0)^{2}=\frac{1}{2}< 1$$, то ряд сходится.
4. Найдем его третий член: $$a_{3}=\frac{9}{16}$$.

Если $$l=1$$, то необходимо воспользоваться другим признаком.

Признаки сравнения рядов 

$$\sum_{n=1}^{\infty }a_{n}$$ ($$1$$) и $$\sum_{n=1}^{\infty }b_{n}$$ ($$2$$):

если существует предел $$\lim_{n \to \infty }\frac{a_{n}}{b_{n}}=c\neq 0$$, то ряды ($$1$$) и ($$2$$) сходятся или расходятся одновременно.

1. Запишем $$n$$-е члены этих рядов:
   $$a_{n}=\frac{n^{2}+5}{2n^{4}-3n}$$, $$b_{n}=\frac{1}{n^{2}}$$. 
2. Так как $$\lim_{n \to \infty }\frac{a_{n}}{b_{n}}=\lim_{n \to \infty }\left ( \frac{n^{2}+5}{2n^{4}-3n}: \frac{1}{n^{2}} \right ) $$,
   $$\lim_{n \to \infty }\frac{a_{n}}{b_{n}}=\lim_{n \to \infty }\frac{n^{4}+5n^{2}}{2n^{4}-3n}$$,
   $$\lim_{n \to \infty }\frac{a_{n}}{b_{n}}=\lim_{n \to \infty }\frac{1+\frac{5}{n^{2}}}{2-\frac{3}{n^{3}}}=\frac{1}{2}$$, а ряд Дирихле ($$p=2> 0$$) сходится, то и данный ряд сходится. 
3. Тогда: $$\lim_{n \to \infty }a_{n}=\lim_{n \to \infty }\frac{n^{2}+5}{2n^{4}-3n}$$,
   $$\lim_{n \to \infty }a_{n}=\lim_{n \to \infty }\frac{\frac{1}{n^{2}}+\frac{5}{n^{4}}}{2-\frac{3}{n^{3}}}=0$$.

Рядом Дирихле называют ряд вида:

$$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^{p}}=1+\frac{1}{2^{p}}+\frac{1}{3^{p}}+\frac{1}{4^{p}}+...+\frac{1}{n^{p}}...$$,

который при $$p> 1$$ сходится, а при $$p\leq 1$$ расходится.

1. Необходимое условие сходимости числового ряда $$\sum_{n=1}^{\infty }a_{n}$$:
   если ряд сходится, то$$\lim_{n \to \infty }a_{n}=0$$. 
2. Следствие из необходимого признака сходимости ряда $$\sum_{n=1}^{\infty }a_{n}$$:
   если $$\lim_{n \to \infty }a_{n}\neq 0$$, то ряд расходится.

1. Найдем предел $$n$$-го члена ряда:
   $$\lim_{n \to \infty }a_{n}=\lim_{n \to \infty }\frac{n}{2n+1}$$,
   $$\lim_{n \to \infty }a_{n}= \lim_{n \to \infty }\frac{\frac{n}{n}}{\frac{2n}{n}+\frac{1}{n}}$$,
   $$\lim_{n \to \infty }a_{n}=\lim_{n \to \infty }\frac{1}{2+\frac{1}{n}}=\frac{1}{2+0}=\frac{1}{2}$$. 
2. Так как$$\lim_{n \to \infty }a_{n}=\frac{1}{2}\neq 0$$, то согласно следствию из необходимого признака сходимости числовых рядов, данный ряд расходится. 
3. Найдем его второй член:
   $$a_{2}=\frac{2}{4+1}=0,4$$.

1. Если $$\lim_{n \to \infty }a_{n}=0$$, то ряд $$\sum_{n=1}^{\infty }a_{n}$$ может сходиться, а может расходиться.
2. Чтобы раскрыть неопределенность вида $$\frac{\infty }{\infty }$$, необходимо числитель и знаменатель дроби разделить на высшую степень переменной знаменателя.
3. $$\lim_{n \to \infty }\frac{k}{n}=0$$, $$\lim_{n \to \infty }c=c$$.

1. Признак Даламбера: если существует предел $$\lim_{n \to \infty }\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=l$$ и $$l< 1$$, то ряд сходится, а если $$l> 1$$, то ряд расходится. 
2. Факториалом натурального числа $$n$$ называют произведение натуральных чисел от $$1$$ до $$n$$ включительно:
   $$n!=1\cdot 2\cdot 3\cdot ...\cdot (n-1)\cdot n$$.

1. Так как $$a_{n}=\frac{n^{2}}{(n+1)!}$$, а $$a_{n+1}=\frac{(n+1)^{2}}{(n+2)!}$$, то
   $$\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\frac{(n+1)^{2}}{(n+2)!}\cdot \frac{(n+1)!}{n^{2}}$$,
   $$\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\frac{(n+1)^{2}\cdot (n+1)!}{(n+1)!(n+2)n^{2}}$$,
   $$\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\frac{(n+1)^{2}}{(n+2)n^{2}}$$,
   $$\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\frac{n^{2}+{2n+1}}{n^{3}+2n^{2}}$$. 
2. Так как $$\lim_{n \to \infty }\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\lim_{n \to \infty }\frac{n^{2}+2n+1}{n^{3}+2n^{2}}$$,
   $$\lim_{n \to \infty }\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\lim_{n \to \infty }\frac{\frac{1}{n}+\frac{2}{n^{2}}+\frac{1}{n^{3}}}{1+\frac{2}{n}}=0< 1$$, то ряд сходится. 
3. Найдем его четвертый член:
   $$a_{4}=\frac{4^{2}}{5!}=\frac{16}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5} =\frac{2}{15}$$.

$$n!=(n-1)!\cdot n$$.

Признак сравнения рядов 

$$\sum_{n=1}^{\infty }a_{n}$$ ($$1$$) и $$\sum_{n=1}^{\infty }b_{n}$$ ($$2$$):

если $$\forall n\in N$$ $$a_{n}\leq b_{n}$$ и ряд ($$2$$) сходится, то и ряд ($$1$$) сходится, а если ряд ($$1$$) расходится, то и ряд ($$2$$) расходится.

1. Запишем $$n$$-е члены этих рядов:
   $$a_{n}=\frac{3^{n}}{2+3^{2n}}$$ , $$b_{n}=\frac{1}{3^{n}}$$. 
2. Сравним их:
   $$\frac{3^{n}}{2+3^{2n}}< \frac{3^{n}}{3^{2n}}=\frac{1}{3^{n}}$$. 
3. Так как $$a_{n}< b_{n}$$ и геометрический ряд сходится, то и данный ряд сходится. 
4. Тогда, $$\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{9}{2+81}\cdot \frac{2+9}{3}=\frac{33}{83}$$.

Геометрическим рядом называют ряд вида: $$\sum_{n=1}^{\infty }b_{1}q^{n-1}$$.

Геометрический ряд при $$\left | q \right |< 1$$ сходится, а при $$\left | q \right |> 1$$ расходится.

Интегральный признак Коши:

если члены ряда положительны и не возрастают и несобственный интеграл $$\int_{1}^{\infty }a_{n}dn$$ сходится, то и ряд сходится, а если интеграл расходится (равен бесконечности или не существует), то и ряд расходится.

1. Так как члены ряда положительны и не возрастают $$\frac{1}{\sqrt{2}}>\frac{1}{\sqrt{3}}> \frac{1}{\sqrt{4}}> ...$$ , то установим сходимость несобственного интеграла:
   $$I=\int_{1}^{\infty }\frac{dn}{\sqrt{n+1}}$$,
   $$I=\int_{1}^{\infty }\frac{d(n+1)}{\sqrt{n+1}}$$,
   $$I=2\sqrt{n+1}|_{1}^{\infty }$$,
   $$I=2\lim_{n \to \infty }\sqrt{n+1}-2\sqrt{2}$$, $$I=\infty -2\sqrt{2}=\infty$$. 
2. Так как несобственный интеграл расходится, то и данный ряд расходится. 
3. Тогда, $$a_{1}a_{3}=\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot \frac{1}{\sqrt{4}}=\frac{\sqrt{2}}{4}$$.

1. $$\int f(x)dx=\int\frac{f(x)dg(x)}{g'(x)}$$. 
2.  $$\int \frac{dx}{\sqrt{x}}=2\sqrt{x}+C$$.

Признак Лейбница: если $$\forall n\in N$$ $$a_{n}\geq a_{n+1}$$ и $$\lim_{n \to \infty }a_{n}=0$$, то ряд $$\sum_{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}a_{n}$$ сходится.

1. Запишем: $$a_{n}=\frac{1}{n^{2}}$$, $$a_{n+1}=\frac{1}{(n+1)^{2}}$$.

   Действительно, $$\frac{1}{n^{2}}> \frac{1}{(n+1)^{2}}$$.

2. $$\lim_{n \to \infty }a_{n}=\lim_{n \to \infty }\frac{1}{n^{2}}=0$$. 
   Согласно признаку Лейбница данный ряд сходится. 

3. Тогда, $$\left | a_{4} \right |=\left | \frac{(-1)^{3}}{4^{2}} \right |=\frac{1}{16}$$.

Знакочередующимся рядом называют ряд вида:

$$\sum_{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}a_{n}$$, где $$a_{n}> 0$$.

Интегральный признак Коши:

Если члены ряда положительны и не возрастают и несобственный интеграл $$\int_{1}^{\infty }a_{n}dn$$ сходится, то и ряд сходится, а если интеграл расходится (равен бесконечности или не существует), то и ряд расходится.

1. Так как члены ряда положительны и не возрастают $$\frac{1}{\sqrt{7}}> \frac{1}{\sqrt{10}}> \frac{1}{\sqrt{15}}> ...$$, то установим сходимость несобственного интеграла:
   $$I=\int_{1}^{\infty }\frac{dn}{n^{2}+6}$$,
   $$I=\frac{1}{\sqrt{6}}\textrm{arctg}\frac{n}{\sqrt{6}}\left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right|_{1}^{\infty }$$,
   $$I=\frac{1}{\sqrt{6}}\left(\lim_{n \to \infty }\textrm{arctg}\frac{n}{\sqrt{6}}-\textrm{arctg}\frac{1}{\sqrt{6}}\right)$$,
   $$I=\frac{1}{\sqrt{6}}\left ( \frac{\pi }{2}-\textrm{arctg}\frac{1}{\sqrt{6}} \right)$$. 
2. Так как несобственный интеграл сходится, то и данный ряд сходится.
   Тогда, $$a_{2}=\frac{1}{4+6}=0,1$$.

$$\int \frac{du}{u^{2}+a^{2}}=\frac{1}{a}\textrm{arctg}\frac{u}{a}+C$$.