Числовые ряды ИТ
Если ряд $$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{n^{2}+5}{2n^{4}-3n}$$ сходится, то найдите $$\lim_{n \to \infty }a_{n}$$, а если расходится, то найдите $$\lim_{n \to \infty }\frac{1}{a_{n}}$$:
Признаки сравнения рядов
$$\sum_{n=1}^{\infty }a_{n}$$ ($$1$$) и $$\sum_{n=1}^{\infty }b_{n}$$ ($$2$$):
если существует предел $$\lim_{n \to \infty }\frac{a_{n}}{b_{n}}=c\neq 0$$, то ряды ($$1$$) и ($$2$$) сходятся или расходятся одновременно.
Сравним данный ряд с рядом Дирихле $$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^{2}}$$.
Запишем $$n$$-е члены этих рядов:
а ряд Дирихле ($$p=2> 0$$) сходится, то и данный ряд сходится.
Тогда:
$$\lim_{n \to \infty }a_{n}=\lim_{n \to \infty }\frac{n^{2}+5}{2n^{4}-3n}$$,
$$\lim_{n \to \infty }a_{n}=\lim_{n \to \infty }\frac{\frac{1}{n^{2}}+\frac{5}{n^{4}}}{2-\frac{3}{n^{3}}}=0$$.
Рядом Дирихле называют ряд вида:
$$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^{p}}=1+\frac{1}{2^{p}}+\frac{1}{3^{p}}+\frac{1}{4^{p}}+...+\frac{1}{n^{p}}...$$,
который при $$p> 1$$ сходится, а при $$p\leq 1$$ расходится.
Если ряд $$\sum_{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}n\cdot 3^{-n}$$ сходится абсолютно, то найдите произведение его первого и второго членов, а если условно, то найдите произведение первого и третьего членов:
Если ряд $$\sum_{n=1}^{\infty }a_{n}$$, составленный из модулей членов ряда$$\sum_{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}a_{n}$$, сходится
то ряд $$\sum_{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}a_{n}$$ сходится абсолютно.
Если ряд $$\sum_{n=1}^{\infty }a_{n}$$ расходится, а ряд $$\sum_{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}a_{n}$$ сходится, то ряд $$\sum_{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}a_{n}$$ сходится условно.
Запишем ряд, составленный из модулей членов данного ряда: $$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{n}{3^{n}}$$ .
Применим признак Даламбера.
Так как
$$\lim_{n \to \infty }\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\lim_{n \to \infty }\frac{(n+1)\cdot 3^{n}}{3^{n+1}\cdot n}$$,
$$\lim_{n \to \infty }\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\frac{1}{3}\lim_{n \to \infty }\frac{n+1}{n}$$,
$$\lim_{n \to \infty }\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\frac{1}{3}\lim_{n \to \infty }\left ( 1+\frac{1}{n} \right )$$,
$$\lim_{n \to \infty }\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\frac{1}{3}< 1$$,
то ряд сходится.
Так как ряд, составленный из модулей членов данного ряда, сходится, то данный ряд сходится абсолютно.
Тогда, $$a_{1}a_{2}=\frac{(-1)^{0}\cdot 1}{3}\cdot \frac{(-1)^{1}\cdot 2}{3^{2}}=-\frac{2}{27}$$.
Признак Даламбера:
если существует предел $$\lim_{n \to \infty }\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=l$$ и $$l< 1$$, то ряд сходится, а если $$l> 1$$, то ряд расходится.Если ряд $$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{3^{n}}{2+3^{2n}}$$ сходится, то найдите $$\frac{a_{2}}{a_{1}}$$, а если расходится, то найдите $$\frac{a_{1}}{a_{2}}$$:
Признак сравнения рядов
$$\sum_{n=1}^{\infty }a_{n}$$ ($$1$$) и $$\sum_{n=1}^{\infty }b_{n}$$ ($$2$$):
если $$\forall n\in N$$ $$a_{n}\leq b_{n}$$ и ряд ($$2$$) сходится, то и ряд ($$1$$) сходится, а если ряд ($$1$$) расходится, то и ряд ($$2$$) расходится.
Сравним данный ряд с геометрическим рядом $$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{3^{n}}$$.
Запишем $$n$$-е члены этих рядов:
Тогда, $$\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{9}{2+81}\cdot \frac{2+9}{3}=\frac{33}{83}$$.
Геометрическим рядом называют ряд вида: $$\sum_{n=1}^{\infty }b_{1}q^{n-1}$$.
Геометрический ряд при $$\left | q \right |< 1$$ сходится, а при $$\left | q \right |> 1$$ расходится.
Если ряд $$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{n^{2}}{2^{n+1}}$$ расходится, то запишите его второй член, а если ряд сходится, то запишите третий член:
Признак Даламбера
:
Если существует предел $$\lim_{n \to \infty }\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=l$$ и $$l< 1$$, то ряд сходится, а если $$l> 1$$, то ряд расходится.
Запишем: $$a_{n}=\frac{n^{2}}{2^{n+1}}$$, $$a_{n+1}=\frac{(n+1)^{2}}{2^{n+2}}$$.
Тогда:Если $$l=1$$, то необходимо воспользоваться другим признаком.
Если ряд $$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{n}{2n+1}$$ сходится, то найдите его первый член, а если расходится, то второй:
Необходимое условие сходимости числового ряда $$\sum_{n=1}^{\infty }a_{n}$$ :
если ряд сходится, то$$\lim_{n \to \infty }a_{n}=0$$ .
Следствие из необходимого признака сходимости ряда $$\sum_{n=1}^{\infty }a_{n}$$ :
если $$\lim_{n \to \infty }a_{n}\neq 0$$, то ряд расходится.
Найдем предел $$n$$-го члена ряда:
$$\lim_{n \to \infty }a_{n}=\lim_{n \to \infty }\frac{n}{2n+1}$$,
$$\lim_{n \to \infty }a_{n}= \lim_{n \to \infty }\frac{\frac{n}{n}}{\frac{2n}{n}+\frac{1}{n}}$$,
$$\lim_{n \to \infty }a_{n}=\lim_{n \to \infty }\frac{1}{2+\frac{1}{n}}=\frac{1}{2+0}=\frac{1}{2}$$ .
- Если $$\lim_{n \to \infty }a_{n}=0$$, то ряд $$\sum_{n=1}^{\infty }a_{n}$$ может сходиться, а может расходиться.
- Чтобы раскрыть неопределенность вида $$\frac{\infty }{\infty }$$, необходимо числитель и знаменатель дроби разделить на высшую степень переменной знаменателя.
- $$\lim_{n \to \infty }\frac{k}{n}=0$$, $$\lim_{n \to \infty }c=c$$.
Если ряд $$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{\sqrt{1+n}}$$ расходится, то найдите произведение его первого и третьего членов, а если сходится, то найдите произведение второго и четвертого:
Интегральный признак Коши:
если члены ряда положительны и не возрастают и несобственный интеграл $$\int_{1}^{\infty }a_{n}dn$$ сходится, то и ряд сходится, а если интеграл расходится (равен бесконечности или не существует), то и ряд расходится.
Так как члены ряда положительны и не возрастают $$\frac{1}{\sqrt{2}}>\frac{1}{\sqrt{3}}> \frac{1}{\sqrt{4}}> ...$$ ,
то установим сходимость несобственного интеграла:
$$I=\int_{1}^{\infty }\frac{dn}{\sqrt{n+1}}$$,
$$I=\int_{1}^{\infty }\frac{d(n+1)}{\sqrt{n+1}}$$,
$$I=2\sqrt{n+1}|_{1}^{\infty }$$,
$$I=2\lim_{n \to \infty }\sqrt{n+1}-2\sqrt{2}$$,
$$I=\infty -2\sqrt{2}=\infty$$.
Так как несобственный интеграл расходится, то и данный ряд расходится.
Тогда, $$a_{1}a_{3}=\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot \frac{1}{\sqrt{4}}=\frac{\sqrt{2}}{4}$$.
$$\int f(x)dx=\int\frac{f(x)dg(x)}{g'(x)}$$,
$$\int \frac{dx}{\sqrt{x}}=2\sqrt{x}+C$$.
Интегральный признак Коши:
Если члены ряда положительны и не возрастают и несобственный интеграл $$\int_{1}^{\infty }a_{n}dn$$ сходится, то и ряд сходится, а если интеграл расходится (равен бесконечности или не существует), то и ряд расходится.
то установим сходимость несобственного интеграла: $$I=\int_{1}^{\infty }\frac{dn}{n^{2}+6}$$,
$$\int \frac{du}{u^{2}+a^{2}}=\frac{1}{a}arctg\frac{u}{a}+C$$.
Если ряд $$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{n^{2}}{(n+1)!}$$ сходится, то найдите его четвертый член, а если расходится, то найдите третий член:
Признак Даламбера:
если существует предел $$\lim_{n \to \infty }\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=l$$ и $$l< 1$$, то ряд сходится, а если $$l> 1$$, то ряд расходится.
Факториалом
натурального числа $$n$$ называют произведение натуральных чисел от $$1$$ до $$n$$ включительно:
$$n!=1\cdot 2\cdot 3\cdot ...\cdot (n-1)\cdot n$$.
Так как $$a_{n}=\frac{n^{2}}{(n+1)!}$$ , а $$a_{n+1}=\frac{(n+1)^{2}}{(n+2)!}$$,
то
Так как $$\lim_{n \to \infty }\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\lim_{n \to \infty }\frac{n^{2}+2n+1}{n^{3}+2n^{2}}$$,
$$\lim_{n \to \infty }\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\lim_{n \to \infty }\frac{\frac{1}{n}+\frac{2}{n^{2}}+\frac{1}{n^{3}}}{1+\frac{2}{n}}=0< 1$$, то ряд сходится.
Найдем его четвертый член:
$$a_{4}=\frac{4^{2}}{5!}=\frac{16}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5} =\frac{2}{15}$$.
$$n!=(n-1)!\cdot n$$.
Если ряд $$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^{n-1}}{n^{2}}$$ сходится, то найдите $$\left | a_{4} \right |$$, а если расходится, то запишите $$a_{4}$$:
Признак Лейбница:
Если $$\forall n\in N$$ $$a_{n}\geq a_{n+1}$$ и $$\lim_{n \to \infty }a_{n}=0$$, то ряд $$\sum_{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}a_{n}$$ сходится.
- Запишем: $$a_{n}=\frac{1}{n^{2}}$$, $$a_{n+1}=\frac{1}{(n+1)^{2}}$$.
Действительно, $$\frac{1}{n^{2}}> \frac{1}{(n+1)^{2}}$$.
$$\lim_{n \to \infty }a_{n}=\lim_{n \to \infty }\frac{1}{n^{2}}=0$$.
Согласно признаку Лейбница данный ряд сходится.
Тогда, $$\left | a_{4} \right |=\left | \frac{(-1)^{3}}{4^{2}} \right |=\frac{1}{16}$$.
Знакочередующимся рядом называют ряд вида:
$$\sum_{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}a_{n}$$, где $$a_{n}> 0$$.
Если ряд $$\sum_{n=1}^{\infty }n^{n}sin^{n}\frac{2}{n}$$ сходится, то запишите его первый член, а если расходится, то запишите второй член:
Радикальный признак Коши:
Если существует предел $$\lim_{n \to \infty }\sqrt[n]{a_{n}}=l$$ и $$l< 1$$, то ряд сходится, а если $$l> 1$$, то ряд расходится.
Так как
$$\lim_{n \to \infty }\sqrt[n]{a_{n}}=\lim_{n \to \infty }\sqrt[n]{n^{n}sin^{n}\frac{2}{n}}$$,
$$\lim_{n \to \infty }\sqrt[n]{a_{n}}=\lim_{n \to \infty }nsin\frac{2}{n}$$,
$$\lim_{n \to \infty }\sqrt[n]{a_{n}}=\lim_{n \to \infty }\frac{nsin\frac{2}{n}\cdot \frac{2}{n}}{\frac{2}{n}}$$,
$$\lim_{n \to \infty }\sqrt[n]{a_{n}}=2\lim_{n \to \infty }\frac{sin\frac{2}{n}}{\frac{2}{n}}$$,
$$\lim_{n \to \infty }\sqrt[n]{a_{n}}=2\lim_{\alpha \to \ 0 }\frac{sin\alpha }{\alpha }=2> 1$$,
то ряд расходится.
Тогда, $$a_{2}=4sin^{2}1$$.
Первый замечательный предел:
$$\lim_{x \to 0}\frac{sinx}{x}=1$$.