Загрузка

Числовые ряды

Если ряд $$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{n}{2n+1}$$ сходится, то найдите его первый член, а если расходится, то второй:

Необходимое условие сходимости числового ряда $$\sum_{n=1}^{\infty }a_{n}$$ :

если ряд сходится, то$$\lim_{n \to \infty }a_{n}=0$$ .

Следствие из необходимого признака сходимости ряда $$\sum_{n=1}^{\infty }a_{n}$$ :

если $$\lim_{n \to \infty }a_{n}\neq 0$$ , то ряд расходится.

Найдем предел $$n$$-го члена ряда:

$$\lim_{n \to \infty }\frac{n}{2n+1}= \lim_{n \to \infty }\frac{\frac{n}{n}}{\frac{2n}{n}+\frac{1}{n}}=\lim_{n \to \infty }\frac{1}{2+\frac{1}{n}}=\frac{1}{2+0}=\frac{1}{2}$$ .
Так как$$\lim_{n \to \infty }a_{n}=\frac{1}{2}\neq 0$$ , то согласно следствию из необходимого признака сходимости числовых рядов, данный ряд расходится.
Найдем его второй член: $$a_{2}=\frac{2}{4+1}=0,4$$ .

  1. Если $$\lim_{n \to \infty }a_{n}=0$$ , то ряд $$\sum_{n=1}^{\infty }a_{n}$$ может сходиться, а может расходиться.
  2. Чтобы раскрыть неопределенность вида $$\frac{\infty }{\infty }$$, необходимо числитель и знаменатель дроби разделить на высшую степень переменной знаменателя.
  3. $$\lim_{n \to \infty }\frac{k}{n}=0$$, $$\lim_{n \to \infty }c=c$$.

Выберите один из вариантов

Если ряд $$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{n^{2}}{2^{n-1}}$$ расходится, то запишите его второй член, а если ряд сходится, то третий:

Признак Даламбера :
Если существует предел $$\lim_{n \to \infty }\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=l$$ и $$l< 1$$, то ряд сходится, а если $$l> 1$$ , то ряд расходится.

Запишем: $$a_{n}=\frac{n^{2}}{2^{n+1}}$$ , $$a_{n+1}=\frac{(n+1)^{2}}{2^{n+2}}$$.

Тогда: $$\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\frac{(n+1)^{2}}{2^{n+2}}:\frac{n^{2}}{2^{n+1}}=\frac{(n+1)^{2}2^{n+1}}{2\cdot 2^{n+1}n^{2}}=\frac{(n+1)^{2}}{2n^{2}}$$=

$$=\frac{1}{2}\left ( \frac{n+1}{n} \right )^{2}=\frac{1}{2}\left ( 1+\frac{1}{n}\right )^{2}$$.

Так как$$\lim_{n \to \infty }\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\frac{1}{2}\lim_{n \to \infty }\left ( 1+\frac{1}{n} \right )^{2}=\frac{1}{2}(1+0)^{2}=\frac{1}{2}< 1$$ , то ряд сходится.
Найдем его третий член: $$a_{3}=\frac{9}{16}$$ .

Если $$l=1$$ , то необходимо воспользоваться другим признаком.

Выберите один из вариантов

Если ряд $$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{n^{2}}{(n+1)!}$$ сходится, то найдите его четвертый член, а если расходится, то третий:

Признак Даламбера:

если существует предел $$\lim_{n \to \infty }\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=l$$ и $$l< 1$$, то ряд сходится, а если $$l> 1$$, то ряд расходится.

Факториалом натурального числа $$n$$ называют произведение натуральных чисел от $$1$$ до $$n$$ включительно:
$$n!=1\cdot 2\cdot 3\cdot ...\cdot (n-1)\cdot n$$.

Так как $$a_{n}=\frac{n^{2}}{(n+1)!}$$ , а $$a_{n+1}=\frac{(n+1)^{2}}{(n+2)!}$$,

то

$$\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\frac{(n+1)^{2}}{(n+2)!}\cdot \frac{(n+1)!}{n^{2}}=\frac{(n+1)^{2}\cdot (n+1)!}{(n+1)!(n+2)n^{2}}=$$

$$=\frac{(n+1)^{2}}{(n+2)n^{2}}=\frac{n^{2}+{2n+1}}{n^{3}+2n^{2}}$$.

Так как$$\lim_{n \to \infty }\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\lim_{n \to \infty }\frac{n^{2}+2n+1}{n^{3}+2n^{2}}=\lim_{n \to \infty }\frac{\frac{1}{n}+\frac{2}{n^{2}}+\frac{1}{n^{3}}}{1+\frac{2}{n}}=\frac{0}{1}=0< 1$$, то ряд сходится.

Найдем его четвертый член:
$$a_{4}=\frac{4^{2}}{5!}=\frac{16}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5} =\frac{2}{15}$$.

$$n!=(n-1)!\cdot n$$

Выберите один из вариантов

Если ряд $$\sum_{n=1}^{\infty }n^{n}sin^{n}\frac{2}{n}$$ сходится, то запишите его первый член, а если расходится, то второй:

Радикальный признак Коши:

Если существует предел $$\lim_{n \to \infty }\sqrt[n]{a_{n}}=l$$ и $$l< 1$$, то ряд сходится, а если $$l> 1$$, то ряд расходится.

Так как $$\lim_{n \to \infty }\sqrt[n]{n^{n}sin^{n}\frac{2}{n}}=\lim_{n \to \infty }nsin\frac{2}{n}=\lim_{n \to \infty }\frac{nsin\frac{2}{n}\cdot \frac{2}{n}}{\frac{2}{n}}=$$

$$=2\lim_{n \to \infty }\frac{sin\frac{2}{n}}{\frac{2}{n}}=2\lim_{\alpha \to \ 0 }\frac{sin\alpha }{\alpha }=2> 1$$, то ряд расходится.

Тогда, $$a_{2}=4sin^{2}1$$.

Первый замечательный предел: $$\lim_{x \to 0}\frac{sinx}{x}=1$$.

Выберите один из вариантов

Если ряд $$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{\sqrt{1+n}}$$ расходится, то найдите произведение его первого и третьего членов, а если сходится, то второго и четвертого:

Интегральный признак Коши:

если члены ряда положительны и не возрастают и несобственный интеграл $$\int_{1}^{\infty }a_{n}dn$$ сходится, то и ряд сходится, а если интеграл расходится (равен бесконечности или не существует), то и ряд расходится.

Так как члены ряда положительны и не возрастают $$\frac{1}{\sqrt{2}}>\frac{1}{\sqrt{3}}> \frac{1}{\sqrt{4}}> ...$$ ,

то установим сходимость несобственного интеграла:$$\int_{1}^{\infty }\frac{dn}{\sqrt{n+1}}=\int_{1}^{\infty }\frac{d(n+1)}{\sqrt{n+1}}=2\sqrt{n+1}|_{1}^{\infty }=$$

$$=2\lim_{n \to \infty }\sqrt{n+1}-2\sqrt{2}=\infty -2\sqrt{2}=\infty$$.

Так как несобственный интеграл расходится, то и данный ряд расходится.
Тогда, $$a_{1}a_{3}=\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot \frac{1}{\sqrt{4}}=\frac{1}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{4}$$.

$$\int f(x)dx=\int\frac{f(x)dg(x)}{g'(x)}$$,

$$\int \frac{dx}{\sqrt{x}}=2\sqrt{x}+C$$.

Выберите один из вариантов

Если ряд $$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^{2}+6}$$ сходится, то найдите второй его член, а если ряд расходится, то найдите пятый:

Интегральный признак Коши:

Если члены ряда положительны и не возрастают и несобственный интеграл $$\int_{1}^{\infty }a_{n}dn$$ сходится, то и ряд сходится, а если интеграл расходится (равен бесконечности или не существует), то и ряд расходится.

Так как члены ряда положительны и не возрастают $$\frac{1}{\sqrt{7}}> \frac{1}{\sqrt{10}}> \frac{1}{\sqrt{15}}> ...$$,
то установим сходимость несобственного интеграла:

$$\int_{1}^{\infty }\frac{dn}{n^{2}+6}=\frac{1}{\sqrt{6}}arctg\frac{n}{\sqrt{6}}\left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right|_{1}^{\infty }= $$

$$=\frac{1}{\sqrt{6}}( \lim_{n \to \infty }arctg\frac{n}{\sqrt{6}}-arctg\frac{1}{\sqrt{6}})=$$

$$=\frac{1}{\sqrt{6}}\left ( \frac{\pi }{2}-arctg\frac{1}{\sqrt{6}} \right)$$.

Так как несобственный интеграл сходится, то и данный ряд сходится.

Тогда, $$a_{2}=\frac{1}{4+6}=0,1$$.

$$\int \frac{du}{u^{2}+a^{2}}=\frac{1}{a}arctg\frac{u}{a}+C$$

Выберите один из вариантов

Если ряд $$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{n^{2}+5}{2n^{4}-3n}$$ сходится, то найдите $$\lim_{n \to \infty }a_{n}$$, а если расходится, то $$\lim_{n \to \infty }\frac{1}{a_{n}}$$:

Признаки сравнения рядов $$\sum_{n=1}^{\infty }a_{n}$$ ($$1$$) и $$\sum_{n=1}^{\infty }b_{n}$$ ($$2$$):

Если существует предел $$\lim_{n \to \infty }\frac{a_{n}}{b_{n}}=c\neq 0$$, то ряды ($$1$$) и ($$2$$) сходятся или расходятся одновременно.

Сравним данный ряд с рядом Дирихле $$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^{2}}$$.
Запишем $$n$$-е члены этих рядов:

$$a_{n}=\frac{n^{2}+5}{2n^{4}-3n}$$, $$b_{n}=\frac{1}{n^{2}}$$.

Так как $$\lim_{n \to \infty }\frac{a_{n}}{b_{n}}=\lim_{n \to \infty }\left ( \frac{n^{2}+5}{2n^{4}-3n}: \frac{1}{n^{2}} \right )= $$

$$=\lim_{n \to \infty }\frac{n^{4}+5n^{2}}{2n^{4}-3n}$$ $$=\lim_{n \to \infty }\frac{1+\frac{5}{n^{2}}}{2-\frac{3}{n^{3}}}=\frac{1+0}{2-0}=\frac{1}{2}$$,

а ряд Дирихле ($$p=2> 0$$) сходится, то и данный ряд сходится.
Тогда: $$\lim_{n \to \infty }a_{n}=\lim_{n \to \infty }\frac{n^{2}+5}{2n^{4}-3n}=\lim_{n \to \infty }\frac{\frac{1}{n^{2}}+\frac{5}{n^{4}}}{2-\frac{3}{n^{3}}}=\frac{0+0}{2-0}=0$$.

Рядом Дирихле называют ряд вида:

$$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^{p}}=1+\frac{1}{2^{p}}+\frac{1}{3^{p}}+\frac{1}{4^{p}}+...+\frac{1}{n^{p}}...$$,

который при $$p> 1$$ сходится, а при $$p\leq 1$$ расходится.

Выберите один из вариантов

Если ряд $$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{3^{n}}{2+3^{2n}}$$ сходится, то найдите $$\frac{a_{2}}{a_{1}}$$, а если расходится, то найдите $$\frac{a_{1}}{a_{2}}$$:

Признак сравнения рядов $$\sum_{n=1}^{\infty }a_{n}$$ ($$1$$) и $$\sum_{n=1}^{\infty }b_{n}$$ ($$2$$):

Если $$\forall n\in N$$ $$a_{n}\leq b_{n}$$ и ряд ($$2$$) сходится, то и ряд ($$1$$) сходится, а если ряд ($$1$$) расходится, то и ряд ($$2$$) расходится.

Сравним данный ряд с геометрическим рядом $$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{3^{n}}$$.
Запишем $$n$$-е члены этих рядов:

$$a_{n}=\frac{3^{n}}{2+3^{2n}}$$ , $$b_{n}=\frac{1}{3^{n}}$$.

Сравним их:

$$\frac{3^{n}}{2+3^{2n}}< \frac{3^{n}}{3^{2n}}=\frac{1}{3^{n}}$$.

Так как $$a_{n}< b_{n}$$ и геометрический ряд сходится, то и данный ряд сходится.
Тогда, $$\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{9}{2+81}\cdot \frac{2+9}{3}=\frac{33}{83}$$.

Геометрическим рядом называют ряд вида: $$\sum_{n=1}^{\infty }b_{1}q^{n-1}$$.

Геометрический ряд при $$\left | q \right |< 1$$ сходится, а при $$\left | q \right |> 1$$ расходится.

Выберите один из вариантов

Если ряд $$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^{n-1}}{n^{2}}$$ сходится, то найдите $$\left | a_{4} \right |$$, а если расходится, то запишите $$a_{4}$$:

Признак Лейбница:

Если $$\forall n\in N$$ $$a_{n}\geq a_{n+1}$$ и $$\lim_{n \to \infty }a_{n}=0$$, то ряд $$\sum_{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}a_{n}$$ сходится.

  1. Запишем: $$a_{n}=\frac{1}{n^{2}}$$, $$a_{n+1}=\frac{1}{(n+1)^{2}}$$.

    Действительно, $$\frac{1}{n^{2}}> \frac{1}{(n+1)^{2}}$$.

  2. $$\lim_{n \to \infty }a_{n}=\lim_{n \to \infty }\frac{1}{n^{2}}=0$$.

    Согласно признаку Лейбница данный ряд сходится.
    Тогда, $$\left | a_{4} \right |=\left | \frac{(-1)^{3}}{4^{2}} \right |=\frac{1}{16}$$.

Знакочередующимся рядом называют ряд вида:

$$\sum_{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}a_{n}$$, где $$a_{n}> 0$$.

Выберите один из вариантов

Если ряд $$\sum_{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}n\cdot 3^{-n}$$ сходится абсолютно, то найдите произведение его первого и второго члена, а если условно, то первого и третьего:

Если ряд $$\sum_{n=1}^{\infty }a_{n}$$, составленный из модулей членов ряда$$\sum_{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}a_{n}$$, сходится

то ряд $$\sum_{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}a_{n}$$ сходится абсолютно.

Если ряд $$\sum_{n=1}^{\infty }a_{n}$$ расходится, а ряд $$\sum_{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}a_{n}$$ сходится, то ряд $$\sum_{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}a_{n}$$ сходится условно.

Запишем ряд, составленный из модулей членов данного ряда: $$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{n}{3^{n}}$$ .

Применим признак Даламбера.
Так как $$\lim_{n \to \infty }\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\lim_{n \to \infty }\frac{(n+1)\cdot 3^{n}}{3^{n+1}\cdot n}=\frac{1}{3}\lim_{n \to \infty }\frac{n+1}{n}=$$

$$=\frac{1}{3}\lim_{n \to \infty }\left ( 1+\frac{1}{n} \right )=\frac{1}{3}(1+0)=\frac{1}{3}< 1$$, то ряд сходится.
Так как ряд, составленный из модулей членов данного ряда, сходится, то данный ряд сходится абсолютно.
Тогда, $$a_{1}a_{2}=\frac{(-1)^{0}\cdot 1}{3}\cdot \frac{(-1)^{1}\cdot 2}{3^{2}}=-\frac{2}{27}$$.

Признак Даламбера:

если существует предел $$\lim_{n \to \infty }\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=l$$ и $$l< 1$$, то ряд сходится, а если $$l> 1$$, то ряд расходится.

Выберите один из вариантов