1. Интервал $$(-R;R)$$ называют интервалом сходимости ряда $$\sum_{n=0}^{\infty }c_{n}\cdot x^{n}$$.
2. Радиус сходимости можно найти по формуле:
   $$R=\lim_{n \to \infty }\left | \frac{c_{n}}{c_{n+1}} \right |$$.

1. Найдем радиус сходимости данного ряда.
   Так как $$c_{n}=0,5^{n}$$, а $$c_{n+1}=0,5^{n+1}$$, то
   $$R=\lim_{n \to \infty }\left | \frac{c_{n}}{c_{n+1}} \right |$$,
   $$R=\lim_{n \to \infty }\frac{0,5^{n}}{0,5^{n+1}}$$,
   $$R=\lim_{n \to \infty }\frac{1}{0,5}=2$$. 
2. Запишем интервал сходимости ряда: $$(-2;2)$$.
   Этому интервалу принадлежит три целых числа: $$-1$$, $$0$$ и $$1$$.

На концах промежутка $$\left [ -2;2 \right ]$$ ряд может или сходиться или расходиться.

Радиус сходимости ряда $$\sum_{n=0}^{\infty }c_{n}x^{n}$$ можно найти по формуле:

1. Так как $$c_{n}=\frac{n!}{2n}$$, а $$c_{n+1}=\frac{(n+1)!}{2(n+1)}$$, то
   $$\frac{c_{n}}{c_{n+1}}=\frac{2n!(n+1)}{2n(n+1)!}$$,
   $$\frac{c_{n}}{c_{n+1}}=\frac{n!(n+1)}{n(n+1)n!}=\frac{1}{n}$$. 
2. Найдем радиус сходимости ряда:
   $$R=\lim_{n \to \infty }\left |\frac{c_{n}}{c_{n+1}} \right |=\lim_{n \to \infty }\frac{1}{n}=0$$.

1. Факториалом натурального числа $$n$$ называют произведение натуральных чисел от $$1$$ до $$n$$ включительно:
   $$n!=1\cdot 2\cdot 3\cdot ...\cdot (n-1)\cdot n$$. 
2. Можно записать: $$(n+1)!=n!(n+1)$$.

1. Интервал $$(-R;R)$$ называют интервалом сходимости ряда $$\sum_{n=0}^{\infty }c_{n}x^{n}$$. 
2. Радиус сходимости можно найти по формуле:
   $$R=\lim_{n \to \infty }\left | \frac{c_{n}}{c_{n+1}} \right |$$. 
3. На концах промежутка $$\left [ -R;R \right ]$$ ряд может или сходиться или расходиться.

1. Найдем радиус сходимости данного ряда.
   Так как $$c_{n}=\frac{1}{n\cdot 2^{n}}$$, а $$c_{n+1}=\frac{1}{\left (n+1 \right )\cdot 2^{n+1}}$$, то
   $$R=\lim_{n \to \infty }\left | \frac{c_{n}}{c_{n+1}} \right |$$,
   $$R=\lim_{n \to \infty }\frac{(n+1)\cdot 2^{n+1}}{n\cdot 2^{n}}$$,
   $$R=2\lim_{n \to \infty }\left ( 1+\frac{1}{n} \right )=2$$. 
2. Запишем интервал сходимости ряда: $$(-2;2)$$.
   На концах промежутка $$\left [ -2;2 \right ]$$ ряд может сходиться или расходиться. 
3. При $$x=-2$$ получим знакочередующийся ряд:
   $$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{(-2)^{n}}{n\cdot 2^{n}}$$, $$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^{n}2^{n}}{n\cdot 2^{n}}$$, $$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^{}}{n}$$.
   Применим признак Лейбница:
   1) $$a_{n}=\frac{1}{n}$$, $$a_{n+1}=\frac{1}{n+1}$$ и $$a_{n}> a_{n+1}$$;
   2) $$\lim_{n \to \infty }a_{n}=\lim_{n \to \infty }\frac{1}{n}=0$$.
   Следовательно, ряд сходится. 
4. При $$x=2$$ получим гармонический ряд $$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n}$$, который расходится.
5. Следовательно, данный ряд сходится на промежутке $$[ -2;2 )$$. 
6. Этому промежутку принадлежит четыре целых числа: $$-2$$, $$-1$$, $$0$$ и $$1$$.

Признак Лейбница:
если $$\forall n\in N$$ $$a_{n}\geq a_{n+1}$$ и $$\lim_{n \to \infty }a_{n}=0$$, то ряд $$\sum_{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}a_{n}$$ сходится.

1. Интервал $$(a-R;a+R)$$ называют интервалом сходимости ряда $$\sum_{n=0}^{\infty }c_{n}(x-a)^{n}$$.
2. Радиус сходимости можно найти по формуле:
   $$R=\lim_{n \to \infty }\left | \frac{c_{n}}{c_{n+1}} \right |$$.

1. Найдем радиус сходимости данного ряда.
   Так как $$c_{n}=\frac{1}{n5^{n}}$$, а $$c_{n+1}=\frac{1}{(n+1)5^{n+1}}$$, то
   $$R=\lim_{n \to \infty }\left | \frac{c_{n}}{c_{n+1}} \right |$$,
   $$R=\lim_{n \to \infty }\frac{(n+1)5^{n+1}}{n5^{n}}$$,
   $$R=5\lim_{n \to \infty }\left (1+\frac{1}{n} \right )=5$$. 
2. Зная $$R=5$$ и $$a=2$$, запишем интервал сходимости ряда:
   $$(2-5;2+5)$$, $$(-3;7)$$.
   Тогда, $$-2+6=4$$.

На концах промежутка $$\left [ a-R;a+R \right ]$$ ряд$$\sum_{n=0}^{\infty }c_{n}(x-a)^{n}$$ может или сходиться или расходиться.

Разложение функции $$f(x)$$ в ряд Маклорена имеет вид:
$$f(x)=f(0)+\frac{f'(0)}{1!}x+\frac{f''(0)}{2!}x^{2}+...+\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^{n}+...$$

1. Найдем значение функции в точке $$x=0$$: $$f(0)=1$$. 
2. Запишем функцию в виде $$f(x)=-(x-1)^{-1}$$.
   Найдем производные функции и значения производных в точке $$x=0$$:
   $$f'(x)=(x-1)^{-2}$$, $$f'(0)=1$$;
   $$f''(x)=-2(x-1)^{-3}$$, $$f''(0)=2=2!$$;
   $$f'''(x)=6(x-1)^{-4}$$, $$f'''(0)=6=3!$$;
   $$f^{(n)}(n)=n!$$. 
3. Запишем:
   $$\frac{1}{1-x}=1+\frac{1}{1!}x+\frac{2!}{2!}x^{2}+\frac{3!}{3!}x^{3}+...+\frac{n!}{n!}x^{n}+...$$,
   $$\frac{1}{1-x}=1+x+x^{2}+x^{3}+x^{4}+...+x^{n}+...$$

1. Если функция $$f(x)$$ разлагается в степенной ряд в некоторой окрестности точки $$a$$, то ее можно представить в виде:
   $$f(x)=f(a)+\frac{f'(a)}{1!}(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^{2}+...+\frac{f^{n}(a)}{n!}(x-a)^{n}$$$$...$$ 
2. Ряд, записанный в правой части этой формулы, называют рядом Тейлора для функции $$y=f(x)$$ в окрестности точки $$x=a$$. 
3. При $$a=0$$ получим ряд Маклорена.

1. Для степенного ряда $$\sum_{n=0}^{\infty }c_{n}(x-a)^{n}$$ число $$R$$ называют радиусом сходимости, если при $$\left | x-a \right |< R$$ ряд сходится, а при $$\left | x-a \right |> R$$ расходится. 
2. Радиус сходимости можно найти по формуле:
   $$R=\lim_{n \to \infty }\left | \frac{c_{n}}{c_{n+1}} \right |$$.

1. Так как $$c_{n}=\frac{2^{n}}{\sqrt{n+1}}$$, а $$c_{n+1}=\frac{2^{n+1}}{\sqrt{n+2}}$$, то
   $$\frac{c_{n}}{c_{n+1}}=\frac{2^{n}}{\sqrt{n+1}}: \frac{2^{n+1}}{\sqrt{n+2}}$$,
   $$\frac{c_{n}}{c_{n+1}}=\frac{\sqrt{n+2}}{2\sqrt{n+1}}$$,
   $$\frac{c_{n}}{c_{n+1}}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{n+2}{n+1}}$$. 
2. Найдем радиус сходимости ряда:
   $$R=\lim_{n \to \infty }\left | \frac{c_{n}}{c_{n+1}} \right |$$,
   $$R=\frac{1}{2}\lim_{n \to \infty }\sqrt{\frac{n+2}{n+1}}=\frac{1}{2}$$.

1. Степенным рядом называют ряд вида:
   $$\sum_{n=0}^{\infty }c_{n}(x-a)^{n}=c_{0}+c_{1}(x-a)+c_{2}(x-a)^{2}+...$$,
   $$c_{n}\neq 0$$ – действительные числа, которые называют коэффициентами ряда. 
2. При $$a=0$$ степенной ряд принимает вид:
   $$\sum_{n=0}^{\infty }c_{n}x^{n}=c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+c_{3}x^{3}+...$$

1. Радиусом сходимости степенного ряда $$\sum_{n=1}^{\infty }c_{n}x^{n}$$ называют такое число $$R$$, что при $$\left | x \right |< R$$ ряд сходится, а при $$\left | x \right |> R$$ расходится. 
2. Радиус сходимости можно найти по формуле:
   $$R=\lim_{n \to \infty }\left | \frac{c_{n}}{c_{n+1}} \right |$$.

1. Так как $$c_{n}=\frac{n-2}{n+3}$$, а $$c_{n+1}=\frac{n-1}{n+4}$$, то
   $$\frac{c_{n}}{c_{n+1}}=\frac{n-2}{n+3}:\frac{n-1}{n+4}$$,
   $$\frac{c_{n}}{c_{n+1}}=\frac{(n-2)(n+4)}{(n+3)(n-1)}$$,
   $$\frac{c_{n}}{c_{n+1}}=\frac{n^{2}+2n-8}{n^{2}+2n-3}$$. 
2. Найдем радиус сходимости ряда:
   $$R=\lim_{n \rightarrow \infty} \left | \frac{n^{2}+2n-8}{n^{2}+2n-3} \right |$$,
   $$R=\lim_{n \to \infty }\left | \frac{1+\frac{2}{n}-\frac{8}{n^{2}}}{1+\frac{2}{n}-\frac{3}{n^{2}}} \right |=1$$.

1. Чтобы раскрыть неопределенность вида $$\frac{\infty }{\infty }$$, необходимо числитель и знаменатель дроби разделить на высшую степень переменной знаменателя.
2. $$\lim_{n \to \infty }\frac{k}{n}=0$$, $$\lim_{n \to \infty }c=c$$.

Радиус сходимости ряда $$\sum_{n=0}^{\infty }c_{n}x^{n}$$ можно найти по формуле:
$$R=(\lim_{n \to \infty }\sqrt[n]{c_{n}})^{-1}$$.

Так как $$c_{n}=\frac{1}{(n+3)^{n}}$$, а $$c_{n}^{-1}=(n+3)^{n}$$, то

$$R=\lim_{n \to \infty }\sqrt[n]{(n+3)^{n}}$$,

$$R=\lim_{n \to \infty }(n+3)=\infty$$.

Радиус сходимости этого ряда можно найти и по формуле:

1. Интервал $$(-R;R)$$ называют интервалом сходимости ряда $$\sum_{n=0}^{\infty }c_{n}x^{n}$$. 
2. Радиус сходимости можно найти по одной из формул:
   $$R=\lim_{n \to \infty }\left | \frac{c_{n}}{c_{n+1}} \right |$$;
   $$R=\left ( \lim_{n \to \infty }\sqrt[n]{c_{n}} \right )^{-1}$$.

1. Так как $$c_{n}=\frac{1}{(\ln n)^{n}}$$, а $$c_{n}^{-1}=(\ln n)^{n}$$, то
   $$R=\lim_{n \to \infty }\sqrt[n]{(\ln n)^{n}}$$,
   $$R=\lim_{n \to \infty }\ln n=\infty$$. 
2. Так как $$R=\infty$$, то ряд сходится в любой точке, т. е. в интервале $$(-\infty ;+\infty )$$.

Если $$R=0$$, то ряд $$\sum_{n=0}^{\infty }c_{n}x^{n}$$ сходится в единственной точке.

Интервал сходимости ряда $$\sum_{n=0}^{\infty }u_{n}=\sum_{n=0}^{\infty }c_{n}(x-a)^{n}$$ можно найти, используя признак Даламбера:

1. Найдем интервал сходимости данного ряда.
   Запишем $$u_{n}=\frac{(x+3)^{2n-1}}{n^{2}}$$, $$u_{n+1}=\frac{(x+3)^{2n+1}}{(n+1)^{2}}$$.
   Применим признак Даламбера:
   $$\lim_{n \to \infty }\left | \frac{u_{n+1}}{u_{n}} \right |=\lim_{n \to \infty }\left | \frac{(x+3)^{2n+1}n^{2}}{(n+1)^{2}(x+3)^{2n-1}} \right |$$,
   $$\lim_{n \to \infty }\left | \frac{u_{n+1}}{u_{n}} \right |=(x+3)^{2}\lim_{n \to \infty }\left ( \frac{n}{n+1} \right )^{2}$$,
   $$\lim_{n \to \infty }\left | \frac{u_{n+1}}{u_{n}} \right |=(x+3)^{2}< 1$$, откуда $$\left | x+3 \right | < 1$$.
   Тогда: $$\left\{\begin{matrix} x+3<1, \\ x+3>-1; \end{matrix}\right.$$ $$\left\{\begin{matrix} x<-2, \\ x>-4; \end{matrix}\right.$$
   $$x\in (-4;-2)$$ – интервал сходимости ряда. 
2. На концах промежутка $$\left [ -4;-2 \right ]$$ ряд может сходиться или расходиться.
   При $$x=-4$$ получим знакочередующийся ряд:
   $$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^{2n-1}}{n^{2}}$$.
   Применим признак Лейбница:
   $$a_{n}=\frac{1}{n^{2}}$$, $$a_{n1}=\frac{1}{(n+1)^{2}}$$ и $$a_{n}> a_{n+1}$$; $$\lim_{n \to \infty }a_{n}=\lim_{n \to \infty }\frac{1}{n^{2}}=0$$.
   Следовательно, в точке $$x=-4$$ ряд сходится. 
3. При $$x=-2$$ получим ряд Дирихле:
   $$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^{2}}$$, который сходится.
4. Следовательно, данный ряд сходится на промежутке:
   $$\left [ -4;-2 \right ]$$.
   Тогда, $$\left | -4-3-2 \right |=9$$.

Интервал сходимости степенного ряда в некоторых случаях можно найти, используя признак Коши:
$$\lim_{n \to \infty }\left | \sqrt[n]{u_{n}} \right |< 1$$.