Загрузка

Комбинаторика и вероятность

Вероятность получить слово ТОК, переставляя буквы в слове КОТ, равна:

Число всевозможных перестановок из $$n$$ различных элементов обозначают $$P_n$$ и находят по формуле:

$$P_n=n!$$,

где $$n!=1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot ... \cdot (n-1) \cdot n$$.

Определим, сколько различных слов можно получить, переставляя буквы в слове КОТ:

$$3!=1 \cdot 2 \cdot 3=6$$.

Поскольку всевозможных исходов $$6$$, а благоприятствующих появлению слова ТОК (событие $$A$$), один, то $$P(A)=\frac{1}{6}$$.

Перестановками называют множества, состоящие из одних и тех же элементов и отличающихся друг от друга только их порядком.

Выберите один из вариантов

Количество различных слов от перестановок букв в слове ЗАДАЧА равно:

Если некоторые элементы множества повторяются, то числа перестановок с повторениями находят по формуле:
$$P_{n}=\frac{n!}{n_{1}!\cdot n_{2}!\cdot ... \cdot n_{k}!}$$,
где $$n_{1}$$ - число элементов одного вида, $$n_{2}$$ - число элементов другого вида и т.д.,
$$n_{1}+n_{2}+...+n_{k}=n$$.

В слове ЗАДАЧА $$6$$ букв, но так как буква А повторяется $$3$$ раза, то применим формулу перестановок с повторениями:

$$P_{6}(3,1,1,1)=\frac{6!}{3!}$$,

$$P_{6}=\frac{3!\cdot 4 \cdot 5 \cdot 6}{3!}=120$$.

Так как $$n!=1\cdot 2 \cdot 3 \cdot ...\cdot (n-1) \cdot n$$, то

$$n!=(n-1)!\cdot n$$.

Введите ответ в поле
Количество способов, которыми можно выбрать четыре цифры из цифр $$1$$, $$2$$, $$3$$, $$4$$, $$5$$, $$6$$, равно:
Число сочетаний из $$n$$ различных элементов по $$m$$ обозначают $$C_{n}^{m}$$  и находят по формуле:
$$C_{n}^{m}=\frac{n!}{m!(n-m)!}$$.
Так как при выборе цифр не важен порядок их следования, то найдем число сочетаний по четыре элемента из шести:
$$C_{6}^{4}=\frac{6!}{4!(6-4)!}$$,
$$C_{6}^{4}=\frac{4!\cdot 5 \cdot 6}{4!\cdot 1 \cdot 2}=15$$.

Сочетаниями называются множества, содержащие $$m$$ элементов из $$n$$ заданных, которые отличаются хотя бы одним элементом.

Введите ответ в поле

В урне находится $$4$$ синих, $$5$$ белых и $$11$$ красных шаров. Вероятность того, что наудачу извлеченный шар оказался не белым (событие $$A$$), равна:

Определение вероятности события:

$$P(A)=\frac{m}{n}$$,
где $$n$$  — количество всевозможных исходов опыта, которые образуют полную группу событий, 
$$m$$  — количество исходов, благоприятствующих появлению события $$A$$.

Число всевозможных исходов (количество шаров в урне):

$$n=4+5+11=20$$.

Число благоприятных исходов (количество синих и красных шаров):

$$m=4+11=15$$.

Тогда, $$P(A)=\frac{15}{20}=0,75$$.

Задачу можно решить иначе.

Найдем вероятность того, что извлеченный шар оказался синим:

$$P(A_{c.})=\frac{4}{20}$$.

Найдем вероятность того, что извлеченный шар оказался красным:

$$P(A_{к.})=\frac{11}{20}$$.

Найдем вероятность того, что извлеченный шар оказался или синим, или красным:

$$P(A)=\frac{4}{20}+\frac{11}{20}=0,75$$.

Выберите один из вариантов
На карточках записаны натуральные числа, не превосходящие число $$15$$. Вероятность того, что наудачу извлекая карточку, получим простое число (событие $$A$$), равна:
Числа, которые имеют только два различных делителя (делятся только сами на себя и на число $$1$$), называют простыми.

Определение вероятности события: $$P(A)=\frac{m}{n}$$, где $$n$$ – количество всевозможных исходов опыта, которые образуют полную группу событий, $$m$$ – количество исходов, благоприятствующих появлению события $$A$$.

Имеем числа: $$1$$, $$2$$, $$3$$, $$4$$, $$5$$, $$6$$, $$7$$, $$8$$, $$9$$, $$10$$, $$11$$, $$12$$, $$13$$, $$14$$, $$15$$.

Следовательно, количество всевозможных исходов равно $$15$$.

Простыми являются числа: $$2$$, $$3$$, $$5$$, $$7$$, $$11$$, $$13$$.

Следовательно, благоприятных исходов $$6$$.

Тогда, $$P(A)=\frac{6}{15}=0,4$$.

Числа, которые имеют более двух различных делителей, называют составными. Составные числа можно представить в виде произведения двух и более простых множителей. Число $$1$$ не является простым и не является составным.

Выберите один из вариантов

На карточках записаны цифры: $$0$$, $$1$$, $$2$$, $$3$$, $$4$$, $$5$$, $$6$$, $$7$$, $$8$$, $$9$$. 

Наудачу берут $$5$$ цифр. Вероятность того, что все цифры окажутся четными, равна:

Урновая схема. Из урны, содержащей $$N$$ шаров, среди которых $$M$$ белых, а остальные черные, выбирают $$n$$ шаров. Вероятность того, что в выборке окажется $$m$$ белых шаров (событие $$A$$) можно найти по формуле:

$$P(A)=\frac{C_{M}^{m} \cdot C_{N-M}^{n-m}}{C_{N}^{n}}$$.

Применим урновую схему:
                                                                           
Запишем: $$P(A)=\frac{C_{5}^{5} \cdot C_{5}^{0}}{C_{10}^{5}}$$.
Найдем число сочетаний:
1) $$C_{10}^{5}=\frac{10!}{5!(10-5)!}$$,
$$C_{10}^{5}=\frac{5! \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 9 \cdot 10}{5! \cdot 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5}=252$$;
2) $$C_{5}^{5}=\frac{5!}{5!0!}=1$$;
3) $$C_{5}^{0}=\frac{5!}{0!(5-0)!}=1$$.
Тогда, $$P(A)=\frac{1\cdot 1}{252}=\frac{1}{252}$$.

По определению:

$$1!=1$$ и $$0!=1$$.
Выберите один из вариантов

Подбрасывают два игральных кубика и подсчитывают сумму очков, выпавших на верхних гранях. Вероятность того, что получим число $$5$$ (событие $$A$$), равна:

Если события $$A$$, $$B$$ и $$C$$ независимые, то для нахождения вероятности наступления события $$A$$, и события $$B$$, и события $$C$$ используется формула умножения вероятностей:

$$P(ABC)=P(A) \cdot P(B) \cdot P(C)$$.

На верхней грани каждого из кубиков можем получить одно из чисел:
$$1$$, $$2$$, $$3$$, $$4$$, $$5$$, $$6$$.
Значит, в сумме на верхних гранях двух кубиков можно получить числа:
$$1+1=2$$, $$1+2=3$$, $$1+3=4$$, $$5$$, $$6$$, $$7$$;
$$2+1=3$$, $$2+2=4$$, $$2+3=5$$, $$6$$, $$7$$, $$8$$;
$$3+1=4$$, $$3+2=5$$, $$6$$, $$7$$, $$8$$, $$9$$;
$$4+1=5$$, $$6$$, $$7$$, $$8$$, $$9$$, $$10$$;
$$5+1=6$$, $$7$$, $$8$$, $$9$$, $$10$$, $$11$$;
$$6+1=7$$, $$8$$, $$9$$, $$10$$, $$11$$, $$12$$.
Следовательно, $$n=6 \cdot 6=36$$.
Число $$5$$ можно получить $$4$$ раза:
Следовательно, $$m=4$$.
Тогда, $$P(A)=\frac{4}{36}=\frac{1}{9}$$.

В данном опыте события "Сумма чисел равна $$5$$" (событие $$A$$), и "Сумма чисел не равна $$5$$" (событие $$\bar{A}$$) противоположные.

$$P(\bar{A})=\frac{36-4}{36}=\frac{8}{9}$$.

$$P(A)+P(\bar{A})=\frac{1}{9}+\frac{8}{9}=1$$.


Выберите один из вариантов

Рабочим было изготовлено $$10$$ деталей, среди которых оказалось две нестандартные. Наудачу взяли $$3$$ детали. Вероятность того, что среди них окажется одна нестандартная, равна:

Урновая схема. Из урны, содержащей $$N$$ шаров, среди которых $$M$$ белых, а остальные черные, выбирают $$n$$ шаров. Вероятность того, что в выборке окажется m белых шаров (событие $$A$$) можно найти по формуле:

$$P(A)=\frac{C_M^m \cdot C_{N-M}^{n-m}}{C_N^n}$$.

Число сочетаний из $$n$$ различных элементов по $$m$$ находят по формуле:

$$C_n^m=\frac{n!}{m!(n-m)!}$$.

Применим урновую схему:

состав урны                                     выборка

Запишем: $$P(A)=\frac{C_8^2\cdot C_2^1}{C_{10}^3}$$.

Найдем число сочетаний:

1) $$C_8^2=\frac{8!}{2!(8-2)!}$$, $$C_8^2=\frac{6!\cdot 7\cdot 8}{2\cdot 6!}=28$$;

2) $$C_2^1=\frac{2!}{1!(2-1)!}=2$$;

3) $$C_{10}^3=\frac{10!}{3!(10-3)!}$$, $$C_{10}^3=\frac{7!\cdot 8\cdot 9\cdot 10}{3!\cdot 7!}=120$$.

Тогда, $$P(A)=\frac{28\cdot 2}{120}=\frac{7}{30}$$.

$$C_n^n=1$$ и $$C_n^0=1$$.

Выберите один из вариантов

Подбрасывают игральный кубик. Вероятность того, что на верхней грани получим число не меньше, чем $$5$$ (событие $$A$$), равно:

Определение вероятности события:

$$P(A)=\frac{m}{n}$$,
где $$n$$  — количество всевозможных исходов опыта, которые образуют полную группу событий, 
$$m$$  — количество исходов, благоприятствующих появлению события $$A$$.

На верхней грани можем получить одно из чисел:

$$1$$, $$2$$, $$3$$, $$4$$, $$5$$, $$6$$.
Следовательно, $$n=6$$.
Числа, не меньшие числа $$5$$:
$$5$$, $$6$$.
Следовательно, $$m=2$$.
Тогда, $$P(A)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$$.

Правило суммы. Если элемент $$a$$ может быть выбран из множества элементов $$m_{1}$$ способами, а элемент $$b$$ может быть выбран $$m_{2}$$ способами, то выбрать либо $$a$$, либо $$b$$ можно $$m_{1}+m_{2}$$ способами.

Выберите один из вариантов

Количество двузначных чисел, составленных из цифр $$1$$, $$2$$, $$3$$, $$4$$, $$5$$, $$6$$, равно:

Число размещений из $$n$$ различных элементов по $$m$$ обозначают $$A_{n}^{m}$$ и находят по формуле:

$$A_{n}^{m}=\frac{n!}{(n-m)!}$$.

Так как при составлении чисел важен порядок следования цифр, то найдем число размещений по два элемента из шести:

$$A_{6}^{2}=\frac{6!}{(6-2)!}$$,

$$A_{6}^{2}=\frac{4!\cdot 5 \cdot 6}{4!}=30$$.


Размещениями называют множества, содержащие $$m$$ элементов из $$n$$ заданных, которые отличаются либо составом элементов, либо их порядком.

Введите ответ в поле