Загрузка

Случайные события и вероятности

На карточках записаны натуральные числа, не превосходящие число $$15$$. Вероятность того, что наудачу извлекая карточку, получим простое число, равна:

Числа, которые имеют только два различных делителя (делятся только сами на себя и на число $$1$$), называют простыми.

Определение вероятности события:

$$P(A)=\frac{m}{n}$$,

где $$n$$ – количество всевозможных исходов опыта, которые образуют полную группу событий, $$m$$ – количество исходов, благоприятствующих появлению события $$A$$.

Имеем числа: $$1$$, $$2$$, $$3$$, $$4$$, $$5$$, $$6$$, $$7$$, $$8$$, $$9$$, $$10$$, $$11$$, $$12$$, $$13$$, $$14$$, $$15$$.

Следовательно, количество всевозможных исходов равно $$15$$.

Простыми являются числа $$2$$, $$3$$, $$5$$, $$7$$, $$11$$ и $$13$$.

Следовательно, благоприятных исходов $$6$$.

Тогда, $$P(A)=\frac{6}{15}=0,4$$.

Числа, которые имеют более двух различных делителей, называют составными. Составные числа можно представить в виде произведения двух и более простых множителей. Число $$1$$ не является простым и не является составным.

Выберите один из вариантов

Спортсмен стреляет по мишени, которая разделена на секторы. Если вероятность попадания в первый сектор равна $$0,5$$, а во второй – $$0,4$$, то вероятность того, что спортсмен попадет в один из этих секторов, равна:

Если события $$A$$ и $$B$$ несовместные, вероятность наступления события $$A$$ или события $$B$$ можно найти по формуле:

$$P(A+B)=P(A)+P(B)$$.

События $$A$$ (попадание в первый сектор) и $$B$$ (попадание во второй сектор) несовместные, так как попадание в первый сектор исключает попадание во второй, следовательно, $$P(A+B)=0,5+0,4=0,9$$.

Два события называют несовместными в данном опыте, если появление одного из них исключает появление другого.

Выберите один из вариантов

Стрелки делают по одному выстрелу по мишени. Если вероятность попадания в мишень первого стрелка равна $$0,9$$, а второго – $$0,7$$, то вероятность того, что хотя бы один из них попадет в мишень, равна:

Если события $$A$$ и $$B$$ совместные, то вероятность наступления события $$A$$ или события $$B$$ можно найти по формуле:

$$P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A) \cdot P(B)$$.

События $$A$$ (попал первый стрелок) и $$B$$ (попал второй) совместные, так как не исключено, что они оба могут попасть в мишень, следовательно,

$$P(A+B)=0,9+0,7-0,9 \cdot 0,7=0,97$$.

Два события называют совместными в данном опыте, если появление одного из них не исключает появления и другого.

Выберите один из вариантов

В каждой из трех урн имеется по $$3$$ зеленых, $$5$$ белых и $$4$$ черных шара. Вероятность того, что из первой урны извлекут белый, из второй зеленый, а из третьей черный шар, равна:

Если события $$A$$, $$B$$ и $$C$$ независимые, то для нахождения вероятности наступления события $$A$$, и события $$B$$, и события $$C$$ используется формула умножения вероятностей:

$$P(ABC)=P(A) \cdot P(B) \cdot P(C)$$.

Поскольку события $$A$$, $$B$$ и $$C$$ независимые и

$$P(A)=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}$$, $$P(B)=\frac{5}{12}$$, а $$P(C)=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$$,

то $$P(ABC)=\frac{1}{4}\cdot \frac{5}{12}\cdot \frac{1}{3}=\frac{5}{144}$$.

Событие $$B$$ не зависит от события $$A$$, если $$P(B/A)=P(B)$$.

Аналогично событие $$A$$ не зависит от события $$B$$, если $$P(A/B)=P(A)$$.

В таких случаях говорят, что события $$A$$ и $$B$$ независимые.

Выберите один из вариантов

В урне имеется $$3$$ зеленых, $$5$$ белых и $$4$$ синих шара. Наудачу берут шар и не возвращают обратно. Вероятность того, что первым вынут белый шар, вторым зеленый шар, а третьим синий шар, равна:

Если события $$A$$, $$B$$ и $$C$$ зависимые, то для нахождения вероятности наступления события $$A$$, и события $$B$$, и события $$C$$ используется формула умножения вероятностей:

$$P(ABC)=P(A) \cdot P(B/A) \cdot P(C/AB)$$.

В урне всего $$12$$ шаров, следовательно,

$$P(A_{\delta .})=\frac{5}{12}$$, $$P(A_{3.}/A_{\delta .})=\frac{3}{12-1}=\frac{3}{11}$$,

$$P(A_{c.}/A_{3.}A_{\delta .})=\frac{4}{12-2}=\frac{2}{5}$$.

Тогда, $$P(A_{c.}A_{3.}A_{\delta .})=\frac{5}{12}\cdot \frac{3}{11}\cdot \frac{2}{5}=\frac{1}{22}$$.

Условной вероятностью события $$B$$ называют вероятность события $$B$$, при условии, что событие $$A$$ произошло и записывают: $$P(B/A)$$ или $$P_A(B)$$.

Выберите один из вариантов

Вероятность получить слово ТОК, переставляя буквы в слове КОТ, равна:

Перестановками называют множества, состоящие из одних и тех же элементов и отличающихся друг от друга только их порядком. Число всевозможных перестановок из $$n$$ различных элементов обозначают $$P_n$$ и находят по формуле:

$$P_n=n!$$,

где $$n!=1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot ... \cdot (n-1) \cdot n$$.

Определим, сколько различных слов можно получить, переставляя буквы в слове КОТ:

$$3!=1 \cdot 2 \cdot 3=6$$.

Поскольку всевозможных исходов $$6$$, а благоприятствующих появлению слова ТОК (событие $$A$$), один, то $$P(A)=\frac{1}{6}$$.

Если некоторые элементы множества повторяются, то число перестановок с повторениями находят по формуле:
$$P_n(n_1,n_2,...,n_k)=\frac{n!}{n_1!\cdot n_2!\cdot ...\cdot n_k!}$$,
где $$n_1$$ – число элементов одного вида, $$n_2$$ – число элементов другого вида и т. д., $$n_1+n_2+...+n_k=n$$.

Выберите один из вариантов

Рабочим было изготовлено $$10$$ деталей, среди которых оказалось две нестандартные. Наудачу взяли три детали. Вероятность того, что среди них окажется одна нестандартная, равна:

Урновая схема. Из урны, содержащей $$N$$ шаров, среди которых $$M$$ белых, а остальные черные, выбирают $$n$$ шаров. Вероятность того, что в выборке окажется m белых шаров (событие $$A$$) можно найти по формуле:

$$P(A)=\frac{C_M^m \cdot C_{N-M}^{n-m}}{C_N^n}$$.

Число сочетаний из $$n$$ различных элементов по $$m$$ находят по формуле:

$$C_n^m=\frac{n!}{m!(n-m)!}$$.

Применим урновую схему:

состав урны                                     выборка

Запишем: $$P(A)=\frac{C_8^2\cdot C_2^1}{C_{10}^3}$$.

Найдем:

  1. $$C_8^2=\frac{8!}{2!(8-2)!}=\frac{6!\cdot 7\cdot 8}{2\cdot 6!}=28$$;
  2. $$C_2^1=\frac{2!}{1!(2-1)!}=2$$;
  3. $$C_{10}^3=\frac{10!}{3!(10-3)!}=\frac{7!\cdot 8\cdot 9\cdot 10}{3!\cdot 7!}=120$$.

Тогда, $$P(A)=\frac{28\cdot 2}{120}=\frac{7}{30}$$.

$$C_n^n=1$$ и $$C_n^0=1$$.

Выберите один из вариантов

Три стрелка в одинаковых и независимых условиях производят по одному выстрелу по мишени. Вероятность попадания в мишень первым стрелком равна $$0,8$$, вторым – $$0,85$$, третьим – $$0,7$$. Вероятность того, что хотя бы один стрелок попал мишень, равна:

Если события $$A_1$$, $$A_2$$, …, $$A_n$$ независимые, то вероятность появления хотя бы одного из этих событий можно найти по формуле:

$$P(A)=1-q_1q_2...q_n$$,
где $$q_1=P(\overline{A}_1)$$, $$q_2=P(\overline{A}_2)$$, …, $$q_n=P(\overline{A}_n)$$.

События $$A_1$$, $$A_2$$ и $$A_3$$ независимые.

Согласно условию задачи вероятности этих событий равны:
$$p_1=0,8$$, $$p_2=0,85$$, $$p_3=0,7$$.

Вероятности противоположных событий равны:

$$q_1=1-0,8=0,2$$,

$$q_2=1-0,85=0,15$$,

$$q_3=1-0,7=0,3$$.

Тогда, $$P(A)=1-0,2 \cdot 0,15 \cdot 0,3=0,991$$.

Сумма вероятностей противоположных событий равна $$1$$:
если $$P(A)=p$$, а $$P(\overline{A})=q$$, то $$P(A)+P(\overline{A})=p+q=1$$.

Выберите один из вариантов

В трех ящиках находятся одинаковые по размеру и весу шары. В первом ящике $$4$$ белых и $$6$$ черных шаров, во втором – $$6$$ белых и $$4$$ черных, а в третьем – $$8$$ белых и $$8$$ черных. Наудачу выбирается ящик и из него извлекается шар. Вероятность того, что извлеченный шар оказался черным, равна:

Формула полной вероятности:

$$P(A)=P(H_1)P(A/H_1)+P(H_2)P(A/H_2)+...+P(H_n)P(A/H_n)$$.

Пусть $$A$$ – событие, состоящее в том, что извлеченный шар оказался черным,
$$H_1$$ – событие, состоящие в том, что выбран ящик с составом $$4$$ белых и $$6$$ черных шаров,
$$H_2$$ – событие, состоящие в том, что выбран ящик с составом $$6$$ белых и $$4$$ черных шаров,
$$H_3$$ – событие, состоящие в том, что выбран ящик с составом $$8$$ белых и $$8$$ черных шаров.

Тогда: $$P(H_1)=\frac{1}{3}$$, $$P(H_2)=\frac{1}{3}$$ и $$P(H_3)=\frac{1}{3}$$.

Вероятность извлечь белый шар:

из ящика с составом $$H_1$$ равна $$P(A/H_1)=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$$,

из ящика с составом $$H_2$$ равна $$P(A/H_2)=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}$$,

а из ящика с составом $$H_3$$ равна $$P(A/H_3)=\frac{8}{16}=\frac{1}{2}$$.

По формуле полной вероятности:

$$P(A)=P(H_1)P(A/H_1)+P(H_2)P(A/H_2)+P(H_3)P(A/H_3)=$$
$$=\frac{1}{3}\cdot \frac{3}{5}+\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{5}+\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}=0,5$$.

Формула полной вероятности применяется в случае, когда событие $$A$$ может осуществляться с одним из попарно несовместных событий $$H_1$$, $$H_2$$, …, $$H_n$$.

Выберите один из вариантов

На трех станках производят продукцию, причем, первый станок выпускает $$500$$ изделий, второй $$400$$, а третий $$600$$ изделий. Брак в их продукции составляет соответственно $$3$$%, $$3$$% и $$1$$%. Выбранное наудачу изделие оказалось бракованным. Вероятность того, что оно произведено на первом станке, равна:

Формула полной вероятности:

$$P(A)=\sum ^n_{i=1}P(H_i)P(A/H_i)$$.

Формулы Байеса:

$$P(H_k/A)=\frac{P(H_k)P(A/H_k)}{P(A)}$$,
где $$k=\overline{1,n}$$, $$P(A)$$ - полная вероятность.

Пусть $$A$$ – событие, состоящее в том, что наудачу взятое изделие оказалось бракованным,

$$H_1$$, $$H_2$$, и $$H_3$$ – события, состоящие в том, что изделие произведено на первом, на втором и на третьем станке соответственно.

Тогда, $$P(H_1)=\frac{500}{500+400+600}=\frac{500}{1500}=\frac{1}{3}$$,

$$P(H_2)=\frac{400}{1500}=\frac{4}{15}$$,

$$P(H_3)=\frac{600}{1500}=\frac{2}{5}$$.

Согласно условию задачи:

$$P(A/H_1)=0,03$$, $$P(A/H_2)=0,03$$, $$P(A/H_3)=0,01$$.

По формуле полной вероятности:

$$P(A)=P(H_1)P(A/H_1)+P(H_2)P(A/H_2)+P(H_3)P(A/H_3)$$ ,$$P(A)=\frac{1}{3}\cdot \frac{3}{100}+\frac{4}{15}\cdot \frac{3}{100}+\frac{2}{5}\cdot \frac{1}{100}=\frac{11}{500}$$ .

По формуле Байеса:

$$P(H_1/A)=\frac{P(H_1)P(A/H_1)}{P(A)}$$ ,

$$P(H_1/A)=\frac{1}{3}\cdot \frac{3}{100}:\frac{11}{500}=\frac{5}{11}$$.

В формулах Байеса события $$H_k$$ называют гипотезами,

$$P(H_k)$$априорными вероятностями гипотез,

а $$P(H_k/A)$$апостериорными вероятностями гипотез.

Выберите один из вариантов