Загрузка

Случайные величины

Распределение дискретной случайной величины $$X$$ задано таблицей:

Значение $$k$$ равно:

Говорят, что задан закон распределения случайной величины $$X$$ , если каждому значению $$x$$ поставлена в соответствие вероятность его появления и сумма всех вероятностей равна
числу $$1$$.

Так как сумма всех вероятностей равна числу $$1$$,
то $$0,11+0,19+0,2+0,1+3k+k=1$$,
откуда $$0,6+4k=1$$ , $$4k=0,4$$, $$k=0,1$$ .

Виды случайных величин:

  1. дискретная $$CBX$$ – принимает конечное или счетное множество значений;
  2. непрерывная $$CBX$$ – принимает все значения из заданного промежутка.

Выберите один из вариантов

Распределение случайной величины $$X$$ задано таблицей:

Вероятность того, что $$CBX$$ примет значение, не меньшее чем $$3,5$$, равна:

Вероятность того, что дискретная $$CBX$$ примет значение из заданного промежутка равна сумме вероятностей всех ее значений, принадлежащих данному промежутку.

Так как промежутку $$[3,5;+\infty )$$ принадлежат два значения $$CBX$$ ($$4$$ и $$5$$), то

$$P(3,5\leq X< +\infty)=P(X=4)+P(X=5)=0,4+0,1=0,5$$ .

Распределение дискретной $$CBX$$ всегда можно представить в таблице.

Выберите один из вариантов

Если случайная величина задана функцией распределения $$F(x)=\begin{cases} 0,x\leq -0,5\pi ,\\cosx,-0,5\pi <x\leq 0,\\ 1,x>0. \end{cases}$$ то функция плотности распределения вероятностей имеет вид:

$$p(x)=F'(x)$$

$$p(x)=\begin{cases} 0',x\leq -0,5\pi ,\\ (cosx)',-0,5\pi <x\leq 0,\\ 1',x >0. \end{cases}$$

$$p(x)=\begin{cases} 0,x\leq -0,5\pi ,\\ -sinx,-0,5\pi < x\leq 0,\\ 0,x > 0. \end{cases}$$
Плотностью распределения непрерывной случайной величины $$X$$ в точке $$x$$ называют функцию:

$$p(x)=\underset{\Delta x\rightarrow 0}{lim}\frac{P(x\leq X <x+\Delta x)}{\Delta x}$$

Выберите один из вариантов

Известна функция распределения случайной величины $$F(x)=\begin{cases} 0,x\leq 0 ,\\ sinx,0 <x\leq 0,5\pi,\\ 1,x>0,5\pi. \end{cases}$$

Вероятность того, что $$CBX$$ примет значение из промежутка $$[0,5\pi;\pi)$$ , равна:

Вероятность того, что непрерывная $$CBX$$ примет значение из промежутка  $$[\alpha; \beta )$$ можно найти по формуле:

$$P(\alpha \leq X < \beta)=F(\beta)-F(\alpha)$$ .

Поскольку при $$x=0,5\pi$$ функция распределения имеет вид $$F(x)=sinx$$ , 
а при $$x=\pi$$ функция распределения имеет вид $$F(x)=1$$ , 
то $$P(0,5\pi \leq X<\pi)=F(\pi)-F(0,5\pi)=1-sin0,5\pi=1-1=0$$ .
Вероятность того, что непрерывная $$CBX$$примет значения из промежутков $$(\alpha; \beta )$$ , $$[\alpha; \beta ]$$  и  $$(\alpha; \beta ]$$ также находят по формуле: 
$$P(\alpha \leq X < \beta)=F(\beta)-F(\alpha)$$ , 
поскольку вероятность того, что $$CBX$$ примет только одно значение из заданного промежутка, равна нулю: $$P(X=\alpha)=0$$ , $$P(X=\beta)=0$$ .
Выберите один из вариантов

Известна функция плотности вероятностей $$p(x)=\begin{cases} 0,x\leq 0 ,\\ cosx,0 < x\leq 0,5\pi,\\ 0,x > 0,5\pi. \end{cases}$$

Вероятность того, что $$CBX$$ примет значение из промежутка $$[0,25\pi;0,5\pi]$$ , равна:

Вероятность того, что непрерывная $$CBX$$ примет значение из промежутка $$[\alpha;\beta)$$ можно найти по формуле:

$$P(\alpha \leq X<\beta )=\int_{\alpha }^{\beta }p(x)dx$$ . 

Поскольку при $$0,25\pi \leq x\leq 0,5\pi$$ функция плотности вероятностей имеет вид $$p(x)=cosx$$ , то

$$P(0,25\pi\leq X\leq 0,5\pi)=\int_{0,25\pi}^{0,5\pi}cosxdx=$$

$$=sinx|_{0,25\pi}^{0,5\pi}=sin0,5\pi-sin0,25\pi=1-\frac{\sqrt{2}}{2}$$.

Вероятность того, что непрерывная $$CBX$$ примет значения из промежутков $$(\alpha ;\beta )$$ ,  $$(\alpha ;\beta ]$$ и $$[\alpha ;\beta ]$$ также находят по формуле:

$$P(\alpha \leq X<\beta )=\int_{\alpha }^{\beta }p(x)dx$$ .

Выберите один из вариантов

Распределение дискретной случайной величины $$X$$ задано таблицей:

Математическое ожидание $$CBX$$ равно:

Математическое ожидание дискретной $$CBX$$ находят по формуле:

$$M(X)=x_1p_1+x_2p_2+x_3p_3+...+x_np_n$$.

$$M(X)=-0,1\cdot 0,2+0,1\cdot 0,1+0,2\cdot 0,3+0,3\cdot 0,1+0,5\cdot 0,3=$$
$$= -0,02+0,01+0,06+0,03+0,15=0,23$$.

Математическое ожидание $$CBX$$ – это среднее значение величины $$X$$ или центр ее распределения.

Выберите один из вариантов

Распределение дискретной случайной величины $$X$$ задано таблицей:

Дисперсия $$CBX$$ равна:

Дисперсию дискретной $$CBX$$ можно найти по формуле:

$$D(X)=M(X^2)-M^2(X)$$ ,

где $$M(X)=x_1p_1+x_2p_2+x_3p_3+...+x_np_n$$,

$$M(X^2)=x_1^2p_1+x_2^2p_2+x_3^2p_3+...+x_n^2p_n$$.

Найдем математическое ожидание $$CBX$$:

$$M(X)=-1\cdot 0,3+0\cdot 0,1+1\cdot 0,1+2\cdot 0,2+3\cdot 0,3=$$

$$=-0,3+0+0,1+0,4+0,9=1,1$$ .

Найдем математическое ожидание квадрата $$CBX$$:

$$M(X^2)=(-1)^2\cdot 0,3+0^2\cdot 0,1+1^2\cdot 0,1+2^2\cdot 0,2+3^2\cdot 0,3=$$

$$=0,3+0+0,1+0,8+2,7=3,9$$ .

Найдем дисперсию $$CBX$$:
$$D(X)=3,9-1,1^2=2,69$$.

Дисперсия или рассеивание $$CBX$$ – это математическое ожидание квадрата отклонения величины $$X$$ от ее математического ожидания:
$$D(X)=M(X-M(X))^2$$.

Выберите один из вариантов

Случайная величина $$X$$ задана функцией распределения $$F(x)=\begin{cases} 0,x\leq -0,5 ,\\ 2x+1,-0,5 <x\leq 0,\\ 1,x>0. \end{cases}$$

Математическое ожидание равно:

Математическое ожидание непрерывной $$CBX$$ с плотностью распределения $$p(x)$$, все значения которой принадлежат отрезку $$[\alpha ;\beta ]$$, находят по формуле:

$$M(X)=\int_{\alpha }^{\beta }xp(x)dx$$ .

Найдем функцию плотности распределения:

$$p(x)=\begin{cases} 0',x\leq -0,5 ,\\ (2x+1)',-0,5 <x\leq 0,\\ 1',x>0. \end{cases}$$

$$p(x)=\begin{cases} 0,x\leq -0,5 ,\\ 2,-0,5 <x\leq 0,\\ 0,x>0. \end{cases}$$

Найдем математическое ожидание:

$$M(X)=\int_{-0,5 }^{0 }xp(x)dx= \int_{-0,5 }^{0 }2xdx= x^2|_{-0,5}^{0}=0-0,25=$$$$-0,25$$.

Если все значения $$CBX$$ принадлежат промежутку $$(-\infty ;+\infty )$$ , то $$M(X)=\int_{-\infty }^{+\infty }xp(x)dx$$ , при условии, что интеграл сходится.
Выберите один из вариантов

Случайная величина $$X$$ задана функцией плотности распределения вероятностей $$p(x)=\begin{cases} 0,x\leq 0 ,\\ x,0 < x\leq 1,\\ 0,x > 1. \end{cases}$$

Среднее квадратическое отклонение $$CBX$$ равно:

Дисперсию непрерывной $$CBX$$ с плотностью распределения $$p(x)$$ , все значения которой принадлежат отрезку $$[\alpha ;\beta ]$$,  находят по формуле: 
$$D(X)=\int_{\alpha }^{\beta }x^2p(x)dx-(M(X))^2$$ . 
Найдем математическое ожидание $$CBX$$:

$$M(X)=\int_{0}^{1}xp(x)dx=\int_{0}^{1}x^2dx=\frac{x^3}{3}|_{0}^{1}=\frac{1}{3}$$.

Найдем дисперсию $$CBX$$:

$$D(X)=\int_{0}^{1}x^2p(x)dx-\left ( \frac{1}{3} \right )^2=\int_{0}^{1}x^3dx-\left ( \frac{1}{3} \right )^2=$$

$$=\frac{x^4}{4}|_{0}^{1}-\frac{1}{9}=\frac{1}{4}-\frac{1}{9}=\frac{5}{36}$$

Найдем среднее квадратическое отклонение $$CBX$$:

$$\sigma (X)=\sqrt{\frac{5}{36}}=\frac{\sqrt{5}}{6}$$ .

Ели все значения $$CBX$$ принадлежат промежутку $$(-\infty ;+\infty )$$ , то $$D(X)=\int_{-\infty }^{+\infty }x^2p(x)dx-(M(X))^2$$ , при условии, что интеграл сходится.
Выберите один из вариантов

Распределение системы случайных величин $$X$$ и $$Y$$ представлено в таблице:

Ковариация случайных величин равна:

Математические ожидания дискретных случайных величин, входящих в систему, находят по формулам:

$$M(X)=\sum ^m_{i=1}\sum ^n_{j=1}x_ip_{ij}$$ , $$M(Y)=\sum ^m_{i=1}\sum ^n_{j=1}y_jp_{ij}$$ .

Ковариацию $$CBX$$ и $$CBY$$ можно найти по формуле:
$$cov(X,Y)=M(XY)-M(X)M(Y)$$.

  1. Найдем математическое ожидание $$CBX$$:

    $$M(X)=0\cdot 0,6+1\cdot 0,4=0,4$$.

  2. Найдем математическое ожидание $$CBY$$:

    $$M(Y)=1\cdot 0,3+2\cdot 0,2+3\cdot 0,5=2,2$$.

  3. Найдем $$M(XY)$$ , перемножая соответствующие значения $$X$$, $$Y$$, $$p$$ и складывая полученные произведения:

    $$M(XY)=0 \cdot 1 \cdot 0,1 + 0 \cdot 2 \cdot 0,1 + 0 \cdot 3 \cdot 0,4 +$$

    $$+1 \cdot 1 \cdot 0,2 + 1 \cdot 2 \cdot 0,1 + 1 \cdot 3 \cdot 0,1 = 0,7$$.
  4. Найдем ковариацию:

    $$cov(X,Y)=0,7-0,4\cdot 2,2=0,7-0,88=-0,18$$.

Ковариацией двух случайных величин $$X$$ и $$Y$$ называют математическое ожидание произведения их отклонений от своих математических ожиданий:

$$cov(X;Y)=M((X-M(X))(Y-M(Y)))$$.
Выберите один из вариантов