Случайные события и вероятности ИТ
Спортсмен стреляет по мишени, которая разделена на секторы. Если вероятность попадания в первый сектор равна $$0,5$$, а во второй – $$0,4$$, то вероятность того, что спортсмен попадет в один из этих секторов, равна:
Если события $$A$$ и $$B$$ несовместные, то вероятность наступления события $$A$$ или события $$B$$ можно найти по формуле:
$$P(A+B)=P(A)+P(B)$$.
$$P(A+B)=P(A)+P(B)$$.
События $$A$$ (попадание в первый сектор) и $$B$$ (попадание во второй сектор) несовместные, так как попадание в первый сектор исключает попадание во второй.
Следовательно, $$P(A+B)=0,5+0,4=0,9$$.
Следовательно, $$P(A+B)=0,5+0,4=0,9$$.
Два события называют несовместными в данном опыте, если появление одного из них исключает появление другого.
Введите ответ в поле
В трех ящиках находятся одинаковые по размеру и весу шары. В первом ящике $$4$$ белых и $$6$$ черных шаров, во втором – $$6$$ белых и $$4$$ черных, а в третьем – $$8$$ белых и $$8$$ черных. Наудачу выбирается ящик и из него извлекается шар. Вероятность того, что извлеченный шар оказался черным, равна:
Формула полной вероятности:
$$P(A)=\sum_{i=1}^{n}P(H_i)P(A/H_i)$$.
- Пусть $$A$$ – событие, состоящее в том, что извлеченный шар оказался черным,
$$H_1$$ – событие, состоящие в том, что выбран ящик с составом $$4$$ белых и $$6$$ черных шаров,
$$H_2$$ – событие, состоящие в том, что выбран ящик с составом $$6$$ белых и $$4$$ черных шаров,
$$H_3$$ – событие, состоящие в том, что выбран ящик с составом $$8$$ белых и $$8$$ черных шаров.
Тогда: $$P(H_1)=\frac{1}{3}$$, $$P(H_2)=\frac{1}{3}$$ и $$P(H_3)=\frac{1}{3}$$. - Вероятность извлечь черный шар:
из ящика с составом $$H_1$$ равна $$P(A/H_1)=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$$,
из ящика с составом $$H_2$$ равна $$P(A/H_2)=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}$$,
из ящика с составом $$H_3$$ равна $$P(A/H_3)=\frac{8}{16}=\frac{1}{2}$$. - По формуле полной вероятности:
$$P(A)=P(H_1)P(A/H_1)+P(H_2)P(A/H_2)+P(H_3)P(A/H_3)$$,
$$P(A)=\frac{1}{3}\cdot \frac{3}{5}+\frac{1}{3}\cdot \frac{2}{5}+\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}=0,5$$.
Формула полной вероятности применяется в случае, когда событие $$A$$ может осуществляться с одним из попарно несовместных событий $$H_1$$, $$H_2$$, …, $$H_n$$.
Введите ответ в поле
В каждой из трех урн имеется по $$3$$ зеленых, $$5$$ белых и $$4$$ черных шара. Вероятность того, что из первой урны извлекут белый, из второй зеленый, а из третьей черный шар, равна:
Если события $$A$$, $$B$$ и $$C$$ независимые, то для нахождения вероятности наступления события $$A$$ и события $$B$$ и события $$C$$ используется формула умножения вероятностей:
$$P(ABC)=P(A) \cdot P(B) \cdot P(C)$$.Поскольку события $$A$$, $$B$$ и $$C$$ независимые и
$$P(A)=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}$$, $$P(B)=\frac{5}{12}$$, а $$P(C)=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$$,то $$P(ABC)=\frac{1}{4}\cdot \frac{5}{12}\cdot \frac{1}{3}=\frac{5}{144}$$.Событие $$B$$ не зависит от события $$A$$, если $$P(B/A)=P(B)$$.
Аналогично событие $$A$$ не зависит от события $$B$$, если $$P(A/B)=P(A)$$.
В таких случаях говорят, что события $$A$$ и $$B$$ независимые.
Выберите один из вариантов
Три стрелка в одинаковых и независимых условиях производят по одному выстрелу по мишени. Вероятность попадания в мишень первым стрелком равна $$0,8$$, вторым – $$0,85$$, третьим – $$0,7$$. Вероятность того, что хотя бы один стрелок не попал мишень, равна:
Если события $$A_1$$, $$A_2$$, …, $$A_n$$ независимые, то вероятность появления хотя бы одного из этих событий можно найти по формуле:
$$P(A)=1-q_1q_2...q_n$$,
где $$q_1=P(\overline{A}_1)$$, $$q_2=P(\overline{A}_2)$$, …, $$q_n=P(\overline{A}_n)$$.
Найдем вероятность того, что все стрелки попали в мишень (событие $$A$$).
Так как $$p_{1}=0,8$$, $$p_{2}=0,85$$, $$p_{3}=0,7$$, то
$$P(A)=p_{1}p_{2}p_{3}$$,
$$P(A)=0,8 \cdot 0,85 \cdot 0,7=0,476$$.
Вероятность того, что хотя бы один стрелок не попал в мишень (событие $$\bar{A}$$):
$$P(\bar{A})=1-0,476=0,524$$.
Противоположные события:
1) "Хотя бы один стрелок попал в мишень" и "Все стрелки не попали в мишень".
2) "Хотя бы один стрелок не попал в мишень" и "Все стрелки попали в мишень".
Введите ответ в поле
Три стрелка в одинаковых и независимых условиях производят по одному выстрелу по мишени. Вероятность попадания в мишень первым стрелком равна $$0,8$$, вторым – $$0,85$$, третьим – $$0,7$$. Вероятность того, что хотя бы один стрелок попал в мишень, равна:
Если события $$A_1$$, $$A_2$$, …, $$A_n$$ независимые, то вероятность появления хотя бы одного из этих событий можно найти по формуле:
$$P(A)=1-q_1q_2...q_n$$,
где $$q_1=P(\overline{A}_1)$$, $$q_2=P(\overline{A}_2)$$, …, $$q_n=P(\overline{A}_n)$$.
События $$A_1$$, $$A_2$$ и $$A_3$$ независимые.
Согласно условию задачи вероятности этих событий равны:
$$p_1=0,8$$, $$p_2=0,85$$, $$p_3=0,7$$.
Вероятности противоположных событий равны:
$$q_1=1-0,8=0,2$$, $$q_2=1-0,85=0,15$$, $$q_3=1-0,7=0,3$$.Тогда, $$P(A)=1-0,2 \cdot 0,15 \cdot 0,3=0,991$$.
Сумма вероятностей противоположных событий равна $$1$$:
если $$P(A)=p$$, а $$P(\overline{A})=q$$, то $$P(A)+P(\overline{A})=p+q=1$$.
если $$P(A)=p$$, а $$P(\overline{A})=q$$, то $$P(A)+P(\overline{A})=p+q=1$$.
Введите ответ в поле
В пяти ящиках находятся одинаковые по размеру и весу шары. В двух ящиках по $$3$$ белых, $$3$$ красных и $$4$$ черных шаров, а в трех ящиках по $$3$$ белых, $$2$$ красных и $$5$$ черных шаров. Наудачу выбирается ящик и из него извлекается шар. Вероятность того, что извлеченный шар оказался не черным, равна:
Формула полной вероятности:
$$P(A)=\sum_{i=1}^{n} P(H_{i})P(A/H_{i})$$.
- Пусть $$A$$ - событие, состоящее в том, что извлеченный шар оказался не черным.
$$H_{1}$$ - событие, состоящее в том, что выбран ящик с составом $$3$$ белых, $$3$$ красных и $$4$$ черных шаров.
$$H_{2}$$ - событие, состоящее в том, что выбран ящик с составом $$3$$ белых, $$2$$ красных и $$5$$ черных шаров.
Тогда, $$P(H_{1})=\frac{2}{5}$$, $$P(H_{2})=\frac{3}{5}$$. - Вероятность извлечь не черный шар:
из ящиков с составом $$H_{1}$$ равна $$P(A/H_{1})=\frac{6}{10}$$,
из ящиков с составом $$H_{2}$$ равна $$P(A/H_{1})=\frac{5}{10}$$. - По формуле полной вероятности:
$$P(A)=P(H_{1})P(A/H_{1})+P(H_{2})P(A/H_{2})$$,
$$P(A)=\frac{2}{5} \cdot \frac{6}{10} +\frac{3}{5} \cdot \frac{5}{10}=\frac{27}{50}$$.
$$\sum_{i=1}^{n} P(H_{i})=1$$.
Выберите один из вариантов
На трех станках производят продукцию, причем, первый станок выпускает $$500$$ изделий, второй $$400$$, а третий $$600$$ изделий. Брак в их продукции составляет соответственно $$3$$%, $$3$$% и $$1$$%. Выбранное наудачу изделие оказалось бракованным. Вероятность того, что оно произведено на первом станке, равна:
- Формула полной вероятности:
$$P(A)=\sum ^n_{i=1}P(H_i)P(A/H_i)$$. - Формулы Байеса:
$$P(H_k/A)=\frac{P(H_k)P(A/H_k)}{P(A)}$$,
где $$k=\overline{1,n}$$, $$P(A)$$ - полная вероятность.
- Пусть $$A$$ – событие, состоящее в том, что наудачу взятое изделие оказалось бракованным,
$$H_1$$, $$H_2$$, и $$H_3$$ – события, состоящие в том, что изделие произведено на первом, на втором и на третьем станке соответственно. - Тогда:
$$P(H_1)=\frac{500}{500+400+600}=\frac{1}{3}$$,
$$P(H_2)=\frac{400}{1500}=\frac{4}{15}$$,
$$P(H_3)=\frac{600}{1500}=\frac{2}{5}$$. - Согласно условию задачи:
$$P(A/H_1)=0,03$$, $$P(A/H_2)=0,03$$, $$P(A/H_3)=0,01$$. - По формуле полной вероятности:
$$P(A)=P(H_1)P(A/H_1)+P(H_2)P(A/H_2)+P(H_3)P(A/H_3)$$,
$$P(A)=\frac{1}{3}\cdot \frac{3}{100}+\frac{4}{15}\cdot \frac{3}{100}+\frac{2}{5}\cdot \frac{1}{100}=\frac{11}{500}$$. - По формуле Байеса:
$$P(H_1/A)=\frac{P(H_1)P(A/H_1)}{P(A)}$$,
$$P(H_1/A)=\frac{1}{3}\cdot \frac{3}{100}:\frac{11}{500}=\frac{5}{11}$$.
В формулах Байеса называют:
- события $$H_k$$ - гипотезами;
- $$P(H_k)$$ – априорными вероятностями гипотез;
- $$P(H_k/A)$$ – апостериорными вероятностями гипотез.
Выберите один из вариантов
Три стрелка в одинаковых и независимых условиях производят по одному выстрелу по мишени. Вероятность попадания в мишень первым стрелком равна $$0,7$$, вторым – $$0,8$$, третьим – $$0,9$$. Вероятность того, что только один стрелок попал мишень, равна:
Вероятность того, что произошло ровно одно (событие $$D$$) из трех независимых событий $$A$$, $$B$$, $$C$$, находят по формуле:
$$P(D)=P(A\bar{B} \bar{C})+P(\bar{A} B \bar{C}) + P(\bar{A} \bar{B} C)$$.
Согласно условию задачи: $$p_{1}=0,7$$; $$p_{2}=0,8$$; $$p_{3}=0,9$$.
- Найдем вероятности противоположных событий:
$$q_{1}=1-0,7=0,3$$; $$q_{2}=1-0,8=0,2$$; $$q_{3}=1-0,9=0,1$$. - Найдем вероятность того, что только что один стрелок попал мишень (событие $$B$$):
$$P(B)=p_{1}q_{2}q_{3}+q_{1}p_{2}q_{3}+q_{1}q_{2}p_{3}$$;
$$P(B)=0,7 \cdot 0,2 \cdot 0,1 + 0,3 \cdot 0,8 \cdot 0,1 +0,3 \cdot 0,2 \cdot 0,9$$;
$$P(B)=0,092$$.
- Запись $$D=A\bar{B} \bar{C} + \bar{A} B \bar{C} + \bar{A} \bar{B} C$$ означает, что произошло ровно одно из трех независимых событий $$A$$, $$B$$, $$C$$.
- Запись $$K=\bar{A} \bar{B} \bar{C} + A\bar{B} \bar{C} + \bar{A} B \bar{C}+\bar{A} \bar{B} C$$ означает, что произошло не более одного из трех независимых событий $$A$$, $$B$$, $$C$$.
Введите ответ в поле
Стрелки делают по одному выстрелу по мишени. Если вероятность попадания в мишень у первого стрелка равна $$0,9$$, а у второго – $$0,7$$, то вероятность того, что один из них попадет в мишень, равна:
Если события $$A$$ и $$B$$ совместные, то вероятность наступления события $$A$$ или события $$B$$ можно найти по формуле:
$$P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A) \cdot P(B)$$.
$$P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A) \cdot P(B)$$.
События $$A$$ (попал первый стрелок) и $$B$$ (попал второй) совместные, так как не исключено, что они оба могут попасть в мишень.
Следовательно, $$P(A+B)=0,9+0,7-0,9 \cdot 0,7=0,97$$.
Два события называют совместными в данном опыте, если появление одного из них не исключает появления и другого.
Введите ответ в поле
В урне имеется $$3$$ зеленых, $$5$$ белых и $$4$$ синих шара. Наудачу берут шар и не возвращают обратно. Вероятность того, что первым вынут белый шар, вторым зеленый шар, а третьим синий шар, равна:
Если события $$A$$, $$B$$ и $$C$$ зависимые, то для нахождения вероятности наступления события $$A$$ и события $$B$$ и события $$C$$ используется формула умножения вероятностей:
$$P(ABC)=P(A) \cdot P(B/A) \cdot P(C/AB)$$.В урне всего $$12$$ шаров, следовательно,
$$P(A_{\delta .})=\frac{5}{12}$$,$$P(A_{3.}/A_{\delta .})=\frac{3}{12-1}=\frac{3}{11}$$,
$$P(A_{c.}/A_{3.}A_{\delta .})=\frac{4}{12-2}=\frac{2}{5}$$.
Тогда, $$P(A_{c.}A_{3.}A_{\delta .})=\frac{5}{12}\cdot \frac{3}{11}\cdot \frac{2}{5}=\frac{1}{22}$$.
Условной вероятностью события $$B$$ называют вероятность события $$B$$, при условии, что событие $$A$$ произошло и записывают:
$$P(B/A)$$ или $$P_A(B)$$.
$$P(B/A)$$ или $$P_A(B)$$.
Выберите один из вариантов