Загрузка

Случайные события и вероятности

Спортсмен стреляет по мишени, которая разделена на секторы. Если вероятность попадания в первый сектор равна $$0,5$$, а во второй – $$0,4$$, то вероятность того, что спортсмен попадет в один из этих секторов, равна:

Если события $$A$$ и $$B$$ несовместные, вероятность наступления события $$A$$ или события $$B$$ можно найти по формуле:

$$P(A+B)=P(A)+P(B)$$.
События $$A$$ (попадание в первый сектор) и $$B$$ (попадание во второй сектор) несовместные, так как попадание в первый сектор исключает попадание во второй, следовательно, 
$$P(A+B)=0,5+0,4=0,9$$.
Два события называют несовместными в данном опыте, если появление одного из них исключает появление другого.
Выберите один из вариантов
Стрелки делают по одному выстрелу по мишени. Если вероятность попадания в мишень первого стрелка равна $$0,9$$, а второго – $$0,7$$, то вероятность того, что хотя бы один из них попадет в мишень, равна:

Если события $$A$$ и $$B$$ совместные, то вероятность наступления события $$A$$ или события $$B$$ можно найти по формуле:

$$P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A) \cdot P(B)$$.

События $$A$$ (попал первый стрелок) и $$B$$ (попал второй) совместные, так как не исключено, что они оба могут попасть в мишень, следовательно,

$$P(A+B)=0,9+0,7-0,9 \cdot 0,7=0,97$$.
Два события называют совместными в данном опыте, если появление одного из них не исключает появления и другого.
Выберите один из вариантов
В пяти ящиках находятся одинаковые по размеру и весу шары. В двух ящиках по $$3$$ белых, $$3$$ красных и $$4$$ черных шаров, а в трех ящиках по $$3$$ белых, $$2$$ красных и $$5$$ черных шаров. Наудачу выбирается ящик и из него извлекается шар. Вероятность того, что извлеченный шар оказался не черным, равна:
Формула полной вероятности:
$$P(A)=\sum_{i=1}^{n} P(H_{i})P(A/H_{i})$$.
Пусть $$A$$ - событие, состоящее в том, что извлеченный шар оказался не черным.
$$H_{1}$$ - событие, состоящее в том, что выбран ящик с составом $$3$$ белых, $$5$$ красных и $$4$$ черных шаров,
$$H_{2}$$ - событие, состоящее в том, что выбран ящик с составом $$5$$ белых, $$2$$ красных и $$5$$ черных шаров.
Тогда, $$P(H_{1})=\frac{2}{5}$$, $$P(H_{2})=\frac{3}{5}$$.
Вероятность извлечь не черный шар:
из ящиков с составом $$H_{1}$$ равна $$P(A/H_{1})=\frac{8}{12}$$,
из ящиков с составом $$H_{2}$$ равна $$P(A/H_{1})=\frac{7}{12}$$.
По формуле полной вероятности:
$$P(A)=P(H_{1})P(A/H_{1})+P(H_{2})P(A/H_{2})$$,
$$P(A)=\frac{2}{5} \cdot \frac{8}{12} +\frac{3}{5} \cdot \frac{7}{12}=\frac{37}{60}$$.
$$\sum_{i=1}^{n} P(H_{i})=1$$.
Выберите один из вариантов
Три стрелка в одинаковых и независимых условиях производят по одному выстрелу по мишени. Вероятность попадания в мишень первым стрелком равна $$0,8$$, вторым – $$0,85$$, третьим – $$0,7$$. Вероятность того, что хотя бы один стрелок попал мишень, равна:

Если события $$A_1$$$$A_2$$, …, $$A_n$$ независимые, то вероятность появления хотя бы одного из этих событий можно найти по формуле:

$$P(A)=1-q_1q_2...q_n$$
где $$q_1=P(\overline{A}_1)$$$$q_2=P(\overline{A}_2)$$, …, $$q_n=P(\overline{A}_n)$$.

События $$A_1$$$$A_2$$ и $$A_3$$ независимые.

Согласно условию задачи вероятности этих событий равны:
$$p_1=0,8$$$$p_2=0,85$$$$p_3=0,7$$.

Вероятности противоположных событий равны:

$$q_1=1-0,8=0,2$$,

$$q_2=1-0,85=0,15$$,

$$q_3=1-0,7=0,3$$.

Тогда, $$P(A)=1-0,2 \cdot 0,15 \cdot 0,3=0,991$$.

Сумма вероятностей противоположных событий равна $$1$$:
если $$P(A)=p$$, а $$P(\overline{A})=q$$, то $$P(A)+P(\overline{A})=p+q=1$$.
Выберите один из вариантов
На трех станках производят продукцию, причем, первый станок выпускает $$500$$ изделий, второй $$400$$, а третий $$600$$ изделий. Брак в их продукции составляет соответственно $$3$$%, $$3$$% и $$1$$%. Выбранное наудачу изделие оказалось бракованным. Вероятность того, что оно произведено на первом станке, равна:

Формула полной вероятности:

$$P(A)=\sum ^n_{i=1}P(H_i)P(A/H_i)$$.

Формулы Байеса:

$$P(H_k/A)=\frac{P(H_k)P(A/H_k)}{P(A)}$$,
где $$k=\overline{1,n}$$$$P(A)$$ - полная вероятность.

Пусть $$A$$ – событие, состоящее в том, что наудачу взятое изделие оказалось бракованным,

$$H_1$$$$H_2$$, и $$H_3$$ – события, состоящие в том, что изделие произведено на первом, на втором и на третьем станке соответственно.

Тогда, $$P(H_1)=\frac{500}{500+400+600}=\frac{1}{3}$$,

$$P(H_2)=\frac{400}{1500}=\frac{4}{15}$$,

$$P(H_3)=\frac{600}{1500}=\frac{2}{5}$$.

Согласно условию задачи:

$$P(A/H_1)=0,03$$$$P(A/H_2)=0,03$$$$P(A/H_3)=0,01$$.

По формуле полной вероятности:

$$P(A)=P(H_1)P(A/H_1)+P(H_2)P(A/H_2)+P(H_3)P(A/H_3)$$ ,$$P(A)=\frac{1}{3}\cdot \frac{3}{100}+\frac{4}{15}\cdot \frac{3}{100}+\frac{2}{5}\cdot \frac{1}{100}=\frac{11}{500}$$ .

По формуле Байеса:

$$P(H_1/A)=\frac{P(H_1)P(A/H_1)}{P(A)}$$ ,

$$P(H_1/A)=\frac{1}{3}\cdot \frac{3}{100}:\frac{11}{500}=\frac{5}{11}$$.

В формулах Байеса события $$H_k$$ называют гипотезами,

$$P(H_k)$$ – априорными вероятностями гипотез,

а $$P(H_k/A)$$ – апостериорными вероятностями гипотез.
Выберите один из вариантов
В урне имеется $$3$$ зеленых, $$5$$ белых и $$4$$ синих шара. Наудачу берут шар и не возвращают обратно. Вероятность того, что первым вынут белый шар, вторым зеленый шар, а третьим синий шар, равна:

Если события $$A$$$$B$$ и $$C$$ зависимые, то для нахождения вероятности наступления события $$A$$и события $$B$$и события $$C$$ используется формула умножения вероятностей:

$$P(ABC)=P(A) \cdot P(B/A) \cdot P(C/AB)$$.

В урне всего $$12$$ шаров, следовательно,

$$P(A_{\delta .})=\frac{5}{12}$$
$$P(A_{3.}/A_{\delta .})=\frac{3}{12-1}=\frac{3}{11}$$,
$$P(A_{c.}/A_{3.}A_{\delta .})=\frac{4}{12-2}=\frac{2}{5}$$.

Тогда, $$P(A_{c.}A_{3.}A_{\delta .})=\frac{5}{12}\cdot \frac{3}{11}\cdot \frac{2}{5}=\frac{1}{22}$$.

Условной вероятностью события $$B$$ называют вероятность события $$B$$, при условии, что событие $$A$$ произошло и записывают: $$P(B/A)$$ или $$P_A(B)$$.
Выберите один из вариантов
В каждой из трех урн имеется по $$3$$ зеленых, $$5$$ белых и $$4$$ черных шара. Вероятность того, что из первой урны извлекут белый, из второй зеленый, а из третьей черный шар, равна:

Если события $$A$$$$B$$ и $$C$$ независимые, то для нахождения вероятности наступления события $$A$$и события $$B$$и события $$C$$ используется формула умножения вероятностей:

$$P(ABC)=P(A) \cdot P(B) \cdot P(C)$$.

Поскольку события $$A$$$$B$$ и $$C$$ независимые и

$$P(A)=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}$$$$P(B)=\frac{5}{12}$$, а $$P(C)=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$$,

то $$P(ABC)=\frac{1}{4}\cdot \frac{5}{12}\cdot \frac{1}{3}=\frac{5}{144}$$.

Событие $$B$$ не зависит от события $$A$$, если $$P(B/A)=P(B)$$.

Аналогично событие $$A$$ не зависит от события $$B$$, если $$P(A/B)=P(A)$$.

В таких случаях говорят, что события $$A$$ и $$B$$ независимые.

Выберите один из вариантов
В трех ящиках находятся одинаковые по размеру и весу шары. В первом ящике $$4$$ белых и $$6$$ черных шаров, во втором – $$6$$ белых и $$4$$ черных, а в третьем – $$8$$ белых и $$8$$ черных. Наудачу выбирается ящик и из него извлекается шар. Вероятность того, что извлеченный шар оказался черным, равна:

Формула полной вероятности:

$$P(A)=\sum_{i=1}^{n}P(H_i)P(A/H_i)$$.

Пусть $$A$$ – событие, состоящее в том, что извлеченный шар оказался черным, 
$$H_1$$ – событие, состоящие в том, что выбран ящик с составом $$4$$ белых и $$6$$ черных шаров, 
$$H_2$$ – событие, состоящие в том, что выбран ящик с составом $$6$$ белых и $$4$$ черных шаров, 
$$H_3$$ – событие, состоящие в том, что выбран ящик с составом $$8$$ белых и $$8$$ черных шаров.

Тогда: $$P(H_1)=\frac{1}{3}$$$$P(H_2)=\frac{1}{3}$$ и $$P(H_3)=\frac{1}{3}$$.

Вероятность извлечь черный шар:

из ящика с составом $$H_1$$ равна $$P(A/H_1)=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$$,

из ящика с составом $$H_2$$ равна $$P(A/H_2)=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}$$,

а из ящика с составом $$H_3$$ равна $$P(A/H_3)=\frac{8}{16}=\frac{1}{2}$$.

По формуле полной вероятности:

$$P(A)=P(H_1)P(A/H_1)+P(H_2)P(A/H_2)+P(H_3)P(A/H_3)$$,
$$P(A)=\frac{1}{3}\cdot \frac{3}{5}+\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{5}+\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}=0,5$$.

Формула полной вероятности применяется в случае, когда событие $$A$$ может осуществляться с одним из попарно несовместных событий $$H_1$$$$H_2$$, …, $$H_n$$.
Выберите один из вариантов
Три стрелка в одинаковых и независимых условиях производят по одному выстрелу по мишени. Вероятность попадания в мишень первым стрелком равна $$0,8$$, вторым – $$0,85$$, третьим – $$0,7$$. Вероятность того, что хотя бы один стрелок не попал мишень, равна:

Если события $$A_1$$$$A_2$$, …, $$A_n$$ независимые, то вероятность появления хотя бы одного из этих событий можно найти по формуле:

$$P(A)=1-q_1q_2...q_n$$
где $$q_1=P(\overline{A}_1)$$$$q_2=P(\overline{A}_2)$$, …, $$q_n=P(\overline{A}_n)$$.

Найдем вероятность того, что все стрелки попали в мишень (событие $$A$$).
Так как $$p_{1}=0,8$$, $$p_{2}=0,85$$, $$p_{3}=0,7$$, то
$$P(A)=p_{1}p_{2}p_{3}$$,
$$P(A)=0,8 \cdot 0,85 \cdot 0,7=0,476$$.
Вероятность того, что хотя бы один стрелок не попал в мишень (событие $$\bar{A}$$):
$$P(\bar{A})=1-0,476=0,524$$.
Противоположные события:
1) "Хотя бы один стрелок попал в мишень" и "Все стрелки не попали в мишень".
2) "Хотя бы один стрелок не попал в мишень" и "Все стрелки попали в мишень".
Выберите один из вариантов
Три стрелка в одинаковых и независимых условиях производят по одному выстрелу по мишени. Вероятность попадания в мишень первым стрелком равна $$0,7$$, вторым – $$0,8$$, третьим – $$0,9$$. Вероятность того, что только один стрелок попал мишень, равна:
Вероятность того, что произошло ровно одно (событие $$D$$) из трех независимых событий $$A$$, $$B$$, $$C$$, находят по формуле:
$$P(D)=P(A\bar{B} \bar{C})+P(\bar{A} B \bar{C}) + P(\bar{A} \bar{B} C)$$.
Согласно условию задачи:
$$p_{1}=0,7$$; $$p_{2}=0,8$$; $$p_{3}=0,9$$.
Найдем вероятности противоположных событий:
$$q_{1}=1-0,7=0,3$$;
$$q_{2}=1-0,8=0,2$$;
$$q_{3}=1-0,9=0,1$$.
Найдем вероятность того, что только что один стрелок попал мишень (событие $$B$$):
$$P(B)=p_{1}q_{2}q_{3}+q_{1}p_{2}q_{3}+q_{1}q_{2}p_{3}$$;
$$P(B)=0,7 \cdot 0,2 \cdot 0,1 + 0,3 \cdot 0,8 \cdot 0,1 +0,3 \cdot 0,2 \cdot 0,9$$;
$$P(B)=0,092$$.
Запись $$D=A\bar{B} \bar{C} + \bar{A} B \bar{C} + \bar{A} \bar{B} C$$ означает, что произошло ровно одно из трех независимых событий $$A$$, $$B$$, $$C$$.
Запись $$K=\bar{A} \bar{B} \bar{C} + A\bar{B} \bar{C} + \bar{A} B \bar{C}+\bar{A} \bar{B} C$$ означает, что произошло не более одного из трех независимых событий $$A$$, $$B$$, $$C$$.
Выберите один из вариантов