Загрузка

Вариационные ряды

Дан дискретный вариационный ряд:

Эмпирическая функция распределения имеет вид:

Рис. 1.9

Рис. 1.10

Рис. 1.11

Рис. 1.12

Эмпирической функцией распределения выборки называют функцию вида:

$$F_{n}(x)=\left\{ \begin{array}{lcl} 0, & x\leq x_{1};\\w_{1}, & x_{1}< x \leq x_{2};\\w_{1}+w_{2}, & x_{2}< x \leq x_{3};\\ ... \\ 1, & x>x_{k}.\\ \end{array} \right.$$

Найдем накопленные относительные частоты:

Построим эмпирическую функцию распределения $$CBX$$ (рис. 1.12).

Эмпирическая функция распределения $$CBX$$ имеет вид:

$$F_{n}(x)=\left\{ \begin{array}{lcl} 0; & x< 2; \\ 0, 2; & 2< x \leq 4; \\ 0,5; & 4< x \leq 6; \\ 0,7; & 6< x \leq 8; \\ 0,8; & 8< x \leq 10;\\ 1; & x>10.\\ \end{array} \right.$$

Выберите один из вариантов

Дан дискретный вариационный ряд:

Медиана равна:

Медиана дискретного вариационного ряда:

$$m_{e}=\frac{1}{2}\left ( a_{\frac{n}{2}}+a_{\frac{n}{2}+1} \right )$$,

где $$n$$ – объем выборки и $$n$$ четное число.

Так как $$n=10$$, то 

$$m_{e}=\frac{1}{2}\left ( a_{5} + a_{6}\right )$$,

$$m_{e}=\frac{5, 2+6, 4}{2}=5,8$$.

$$a_{5}=5, 2$$ – значение варианты с порядковым номером $$5$$,

$$a_{6}=6, 4$$ – значение варианты с порядковым номером $$6$$.

Выберите один из вариантов

Даны значения признака $$X$$:

$$10$$ ; $$4$$; $$5$$; $$2$$; $$4$$; $$5$$; $$6$$; $$4$$; $$8$$; $$2$$; $$10$$.

Медиана равна:

Медиана $$m_{e}$$ – значение параметра, относительно которого статистическая совокупность делится на две равные части.

Медиана дискретного вариационного ряда:

$$m_{e}=a_{\frac{n+1}{2}}$$,

где $$n$$ – объем выборки и $$n$$ нечетное число.

Расположим значения признака в порядке возрастания:

$$2$$; $$2$$; $$4$$; $$4$$; $$4$$; $$5$$; $$5$$; $$6$$; $$8$$; $$10$$; $$10$$.

Так как $$n=11$$, то $$m_{e}=a_{\frac{11+1}{2}}=a_{6}=5$$.

Чтобы найти медиану дискретного вариационного ряда, варианты необходимо расположить в порядке возрастания.

Выберите один из вариантов
Дан дискретный вариационный ряд:
Мода равна:
Мода $$m_{0}$$ – значение варианты, повторяющейся с наибольшей частотой.
С наибольшей частотой ($$3$$ раза) повторяется варианта $$x_{2}=4$$, следовательно, $$m_{0}=4$$.
Мода и медиана – структурные средние выборки.
Выберите один из вариантов

Дан дискретный вариационный ряд:

Полигон частот имеет вид:

Рис. 1.1
Рис. 1.2
Рис. 1.3
Рис. 1.4

Полигоном частот выборки называют ломаную линию, соединяющую на координатной плоскости точки вида: $$(x_{i};m_{i})$$.

На координатной плоскости построим точки:

$$(0; 2)$$, $$(2; 4)$$, $$(4; 1)$$, $$(6; 8)$$, $$(8; 5)$$, $$(10; 6)$$.

Соединим построенные точки ломаной линией (рис. 1. 1).

Полигоном относительных частот выборки называют ломаную линию, соединяющую на координатной плоскости точки вида: $$(x_{i};w_{i})$$.

Выберите один из вариантов

Дан интервальный вариационный ряд:

Гистограмма относительных частот имеет вид:

Рис. 1.5
Рис. 1.6
Рис. 1.7
Рис. 1.8

Гистограммой относительных частот выборки называют столбчатую диаграмму, состоящую из прямоугольников, основаниями которых являются длины интервалов, которые содержат значения вариант, высотами – относительные частоты интервалов.

Найдем относительные частоты:

 

На координатной плоскости (рис. 1.7) построим прямоугольники, основаниям которых являются промежутки $$[1;4)$$, $$[4;7)$$, $$[7;10)$$, $$[10;13]$$, а высотами являются отрезки соответственно длин: $$0,2$$; $$0,3$$; $$0,1$$; $$0,4$$.

Гистограммой частот выборки называют столбчатую диаграмму, состоящую из прямоугольников, основаниями которых являются длины интервалов, которые содержат значения вариант, высотами – частоты данных интервалов.

Полигон частот и относительных частот строят для дискретного вариационного ряда.

Гистограмму частот и относительных частот строят для интервального вариационного ряда.

Выберите один из вариантов

Дан интервальный вариационный ряд:

Мода равна:

Моду интервального вариационного ряда находят по формуле:

$$m_{0}=x_{i}+\frac{h(m_{i}-m_{i-1})}{2m_{i}-m_{i-1}-m_{i+1}}$$, 

где $$(x_{i}; x_{i+1})$$ – модальный интервал, т. е. интервал, которому соответствует наибольшая частота $$m_{i}$$;

$$h$$ – длина модального интервала.

Модальный интервал: $$[7; 10)$$.

Тогда: $$x_{i}=7$$, $$m_{i}=6$$, $$m_{i-1}=3$$, $$m_{i+1}=5$$, $$h=10-7=3$$.

Мода: $$m_{0}=7+\frac{3\cdot (6-3)}{12-3-5}=9,25$$.

$$m_{i-1}$$ – частота предмодального интервала,

$$m_{i+1}$$ – частота послемодального интервала.

Выберите один из вариантов

Дан интервальный вариационный ряд:

Медиана равна:

Медиану интервального вариационного ряда находят по формуле:

$$m_{e}=x_{i}+\frac{h}{m_{i}}\left ( \frac{n}{2}-\sum_{j=1}^{i-1}m_{j} \right )$$,

где $$(x_{i}; x_{i+1})$$ – медианный интервал, т. е. первый интервал, накопленная частота которого превышает или равна половине общей суммы абсолютных частот;

$$h$$ – длина медианного интервала;

$$m_{i}$$ – частота медианного интервала;

$$\sum_{j=1}^{i-1}m_{j}$$ – накопленная частота предмедианного интервала;

$$n$$ – объем выборки.

Найдем накопленные частоты:

Медианный интервал: $$[7;10)$$, так как это первый интервал, накопленная частота которого превышает значение $$\frac{n}{20}=\frac{30}{2}=15$$
Следовательно, $$x_{i}=7$$$$m_{me}=5$$$$h=10-7=3$$$$\sum_{j=1}^{i-1}m_{j}=14$$
Тогда, $$m_{e}=7+\frac{3}{5}(15-14)=7,6$$.

Если объем выборки равен $$n$$, то накопленная частота на последнем интервале также равна $$n$$:


Выберите один из вариантов

Даны значения признака $$CBX$$
$$6$$; $$4$$; $$7$$; $$4$$; $$2$$; $$6$$; $$8$$; $$8$$; $$10$$; $$12$$; $$13$$; $$5$$; $$13$$; $$10$$; $$2$$; $$1$$; $$6$$; $$8$$; $$4$$; $$5$$; $$10$$; $$8$$; $$2$$; $$4$$; $$6$$; $$2$$; $$3$$; $$4$$; $$6$$; $$9$$.
Интервальный  вариационный ряд, состоящий из четырех интервалов, имеет вид:

Чтобы построить интервальный вариационный ряд, необходимо:

1) найти размах вариации: $$R=x_{max}-x_{min}$$;

2) определить количество интервалов: $$k$$;

3) найти длину интервала: $$h=\frac{R}{k}$$;

4) найти частоты вариант на интервалах: $$m_{i}$$;

5) найти относительные частоты вариант на интервалах: $$w_{i}=\frac{m_{i}}{n}$$.

Расположим значения признака в порядке возрастания: 
$$1$$; $$2$$; $$2$$; $$2$$; $$2$$; $$3$$; $$4$$; $$4$$;  $$4$$ ; $$4$$; $$4$$; $$5$$; $$5$$; $$6$$;$$6$$; $$6$$; $$6$$; $$6$$; $$7$$; $$8$$; $$8$$; $$8$$; $$8$$; $$9$$; $$10$$; $$10$$; $$10$$; $$12$$; $$13$$; $$13$$.
Построим интервальный  вариационный ряд:
$$x_{min}=1$$$$x_{max}=13$$$$R=13-1=12$$$$k=4$$$$h=12:4=3$$.

$$x_{1}=x_{min},$$ $$x_{k}=x_{max}$$.

Выберите один из вариантов

Даны выборочные значения признака $$X$$
$$4$$; $$2$$; $$10$$; $$4$$; $$5$$; $$4$$; $$5$$; $$6$$; $$8$$; $$10$$.
Дискретный вариационный ряд имеет вид:

Рассмотрим выборку $$CBX$$ $$x_{1}, x_{2}, . . . , x_{n}$$ объема $$n$$.

Чтобы построить дискретный вариационный ряд, необходимо:

1) расположить значения признака $$X$$ (варианты) в порядке возрастания: $$x_{1} < x_{2} < x_{3} < ... < x_{k}$$;

2) найти частоты $$m_{i}$$ вариант;

3) найти относительные частоты $$w_{i}=\frac{m_{i}}{n}$$ вариант.

Расположим значения признака в порядке возрастания: 
$$2$$; $$4$$; $$4$$; $$4$$; $$5$$; $$5$$; $$6$$; $$8$$; $$10$$; $$10$$.
Построим дискретный вариационный ряд:

$$\sum_{i=1}^{k}m_{i}=n$$, где $$n$$ – объем выборки;

$$\sum_{i=1}^{k}\omega_{i}=1$$.

Выберите один из вариантов