Загрузка

Линии на плоскости

Если прямая пересекает оси координат в точках $$A(3;0)$$ и $$B(0;8)$$, то ее уравнение с угловым коэффициентом имеет вид:

Уравнение прямой в отрезках имеет вид:
$$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$$,
где $$a$$ и $$b$$ - алгебраические величины отрезков, которые отсекает прямая на осях координат
($$a$$ на оси $$Ox$$ и $$b$$ на оси $$Oy$$).

Так как $$a=3$$, а $$b=8$$, то запишем:

$$\frac{x}{3}+\frac{y}{8}=1$$, откуда $$\frac{y}{8}=-\frac{x}{3}+1$$, а $$y=-\frac{8}{3}x+8$$.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом $$k$$ имеет вид:

$$y=kx+b$$.

Выберите один из вариантов

Если прямая проходит через точки $$A(1;-2)$$ и $$B(2;4)$$, то уравнение этой прямой в общем виде записывают:

Если известны координаты точек $$A(x_{1};y_{1})$$ и $$B(x_{2};y_{2})$$, принадлежащих прямой, то уравнение этой прямой можно найти по формуле:
$$\frac{x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}=\frac{y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}}$$.

$$\frac{x-1}{2-1}=\frac{y+2}{4+2}$$,

$$\frac{x-1}{1}=\frac{y+2}{6}$$,

$$6x-6=y+2$$,

$$6x-y-8=0$$.

Общее уравнение прямой на плоскости имеет вид:

$$Ax+By+C=0$$.

Выберите один из вариантов

Если угловой коэффициент прямой, проходящей через точку $$M(1;-5)$$, равен $$5$$, то уравнение этой прямой в отрезках имеет вид:

Если известна точка $$M \left (x_{0};y_{0} \right )$$, принадлежащая прямой, и угловой коэффициент $$k$$ прямой, то уравнение этой прямой можно найти по формуле:
$$y=y_{0}+k(x-x_{0})$$.

Найдем уравнение прямой:
$$y=-5+5(x-1)$$, $$y=5x-10$$, $$5x-y=10$$.
Запишем уравнение этой прямой в отрезках:
$$\frac{5x}{10}-\frac{y}{10}=\frac{10}{10}$$, $$\frac{x}{2}+\frac{y}{-10}=1$$.

Уравнение прямой в отрезках имеет вид:

$$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$$.

Выберите один из вариантов

Даны прямые:
$$y=3x+4$$ ($$1$$);
$$y=5x+4$$ ($$2$$);
$$y=3x-8$$ ($$3$$);
$$y=8-3x$$ ($$4$$);
$$2y=6x+10$$ ($$5$$).
Параллельными являются прямые:

Прямые $$y=k_1x+b_1$$ и $$y=k_2x+b_2$$ параллельны, если $$k_{1}=k_{2}$$ и $$b_{1}\neq b_{2}$$.

  1. $$k=3$$, $$b=4$$;

  2. $$k=5$$, $$b=4$$;
  3. $$k=3$$, $$b=-8$$;
  4. $$k=-3$$, $$b=8$$;
  5. $$k=3$$, $$b=5$$.
Следовательно, параллельны прямые ($$1$$), ($$3$$) и ($$5$$).

  1. Уравнение прямой $$2y=6x+10$$ мы записали в виде $$y=3x+5$$.
  2. Прямые $$A_1x+B_1y+C_1=0$$ и $$A_2x+B_2y+C_2=0$$ параллельны, если коллинеарны их нормальные векторы $$\bar{n_1}(A_1;B_1)$$ и $$\bar{n_2}(A_2;B_2)$$:
    $$\frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}$$.
Выберите один из вариантов

Даны прямые:
$$3x+5y+7=0$$ ($$1$$);
$$3x-5y-7=0$$ ($$2$$);
$$10x+6y-5=0$$ ($$3$$);
$$x+y=5$$ ($$4$$).
Перпендикулярными являются прямые:

Прямые $$y=k_{1}x+b_{1}$$ и $$y=k_{2}x+b_{2}$$ перпендикулярны, если выполняется условие:

$$k_{1}k_{2}=-1$$.

Запишем уравнения прямых в виде $$y=kx+b$$:

  1. $$y=-\frac{3}{5}x-\frac{7}{5}$$, $$k=-\frac{3}{5}$$;
  2. $$y=\frac{3}{5}x-\frac{7}{5}$$, $$k=\frac{3}{5}$$;
  3. $$y=-\frac{5}{3}x+\frac{5}{6}$$, $$k=-\frac{5}{3}$$;
  4. $$y=-x+5$$, $$k=-1$$.
Прямые $$(2)$$ и $$(3)$$ перпендикулярные, так как $$\frac{3}{5}\cdot \frac{-5}{3}=-1$$.

Прямые $$A_1x+B_1y+C_1=0$$ и $$A_2x+B_2y+C_2=0$$ перпендикулярны, если перпендикулярны их нормальные векторы (скалярное произведение нормальных векторов равно нулю):
$$A_1A_2+B_1B_2=0$$.

Выберите один из вариантов

Расстояние от точки $$A(1;2)$$ до прямой $$8y=6x-5$$ равно:

Расстояние от точки $$M \left (x_{0};y_{0} \right )$$ до прямой $$Ax+By+C=0$$ находят по формуле:
$$d=\frac{\left |Ax_{0}+By_{0}+C \right |}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}$$.

Запишем прямую $$8y=6x-5$$ в виде $$6x-8y-5=0$$.
Тогда, $$d=\frac{\left |6\cdot 1-8\cdot 2-5 \right |}{\sqrt{6^{2}+8^{2}}}=\frac{15}{10}=1,5$$.

Расстояние от точки до прямой – величина неотрицательная.

Выберите один из вариантов

Если уравнение окружности имеет вид $$(x+9)^{2}+(y-6)^{2}=1$$, то сумма координат точки, которая является ее центром, равна:

Если центр окружности находится в точке $${O}' \left (a;b \right )$$,

а ее радиус равен $$R$$, то уравнение окружности имеет вид:
$$\left (x-a \right )^{2}+\left (y-b \right )^{2}=R^{2}$$.

Центром окружности является точка $${O}' \left (-9;6 \right )$$.
Тогда, $$-9+6=-3$$.

Если центр окружности находится в точке $$O(0;0)$$, а ее радиус равен $$R$$, то уравнение окружности имеет вид:
$$x^{2}+y^{2}=R^{2}$$.

Выберите один из вариантов

Если эллипс пересекает ось $$Ox$$ в точках $$A_{1}(2;0)$$ и $$A_{2}(-2;0)$$, а ось $$Oy$$ пересекает в точках $$B_{1}(0;1)$$ и $$B_{2}(0;-1)$$, то его фокусы находятся в точках:

Каноническое уравнение эллипса:
$$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$$,
где $$a$$ $$-$$ большая полуось; $$b$$ $$-$$ меньшая полуось.
Фокусы эллипса:

$$F_{1} \left (-c;0 \right )$$ и $$F_{2} \left (c;0 \right )$$,
где $$c=\sqrt{a^{2}-b^{2}}$$.

Большая полуось равна $$2$$, а малая полуось равна $$1$$.

Тогда, $$c=\sqrt{4-1}=\sqrt{3}$$.
Фокусы: $$F_{1} \left (-\sqrt{3};0 \right )$$, $$F_{2} \left (\sqrt{3};0 \right )$$.

Эллипс $$-$$ это геометрическое место точек, для каждой из которых сумма расстояний до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная.

Выберите один из вариантов

Если гипербола проходит через точки $$A_{1}(-3;0)$$ и $$A_{2}(3;0)$$, причем длина ее мнимой полуоси в $$2$$ раза меньше длины действительной полуоси, то эксцентриситет гиперболы равен:

Каноническое уравнение гиперболы:
$$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$$,
где $$a$$ $$-$$ действительная полуось; $$b$$ $$-$$ мнимая полуось.
Эксцентриситет гиперболы находят по формуле:
$$\varepsilon =\frac{c}{a}> 1$$,

где $$c=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$$.

Действительная полуось равна $$3$$, а мнимая полуось равна $$1,5$$.
Тогда, $$c=\sqrt{9+\frac{9}{4}}=\frac{3\sqrt{5}}{2}$$, а $$\varepsilon =\frac{3\sqrt{5}}{2\cdot 3}=0,5\sqrt{5}$$.

Гипербола $$-$$ это геометрическое место точек, для каждой из которых модуль разностей расстояний до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная.

Выберите один из вариантов

Если уравнение параболы имеет вид $$y^{2}=10x$$, то ее фокус находится в точке, сумма координат которой, увеличенная в $$2$$ раза, равна:

Каноническое уравнение параболы:
$$y^{2}=2px$$,
где ось $$Ox$$ $$-$$ ось симметрии параболы; $$p$$ $$-$$ расстояние от фокуса до директрисы $$d$$.
Фокус: $$F\left ( \frac{p}{2};0 \right )$$.

Так как $$2p=10$$, то $$p=5$$.
Фокус: $$F \left (2,5;0 \right )$$.
Тогда, $$(2,5+0)\cdot 2=5$$.

Парабола $$-$$ это геометрическое место точек, равноудаленных от фокуса и прямой, называемой директрисой.

Выберите один из вариантов