Прямая на плоскости ИТ
$$3x+5y+7=0$$ ($$1$$);
$$3x-5y-7=0$$ ($$2$$);
$$10x+6y-5=0$$ ($$3$$);
$$x+y=5$$ ($$4$$).
Перпендикулярными являются прямые:
Прямые $$y=k_{1}x+b_{1}$$ и $$y=k_{2}x+b_{2}$$ перпендикулярны, если выполняется условие:
$$k_{1}k_{2}=-1$$.
Запишем уравнения прямых в виде $$y=kx+b$$:
- $$y=-\frac{3}{5}x-\frac{7}{5}$$, $$k=-\frac{3}{5}$$;
- $$y=\frac{3}{5}x-\frac{7}{5}$$, $$k=\frac{3}{5}$$;
- $$y=-\frac{5}{3}x+\frac{5}{6}$$, $$k=-\frac{5}{3}$$;
- $$y=-x+5$$, $$k=-1$$.
Прямые $$A_1x+B_1y+C_1=0$$ и $$A_2x+B_2y+C_2=0$$ перпендикулярны, если перпендикулярны их нормальные векторы (скалярное произведение нормальных векторов равно нулю):
$$A_1A_2+B_1B_2=0$$.
Если известны координаты точек $$A(x_{1};y_{1})$$ и $$B(x_{2};y_{2})$$, принадлежащих прямой, то уравнение этой прямой можно найти по формуле:
$$\frac{x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}=\frac{y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}}$$.
$$\frac{x-1}{2-1}=\frac{y+2}{4+2}$$,
$$\frac{x-1}{1}=\frac{y+2}{6}$$,
$$6x-6=y+2$$,
$$6x-y-8=0$$.
Общее уравнение прямой на плоскости имеет вид:
$$Ax+By+C=0$$.
$$\frac{x-x_0}{m}=\frac{y-y_0}{n}$$.
2. Угловой коэффициент прямой $$y=kx+b$$ находят по формуле:
$$k=\textrm{tg}\alpha$$,
где $$\alpha$$ – угол наклона прямой к положительному направлению оси $$Ox$$.
$$\frac{x-7}{2}=\frac{y+2}{-1}$$,
откуда $$2y+4=-x+7$$, $$y=-0,5x+1,5$$.
Следовательно, $$k=-0,5$$ – угловой коэффициент прямой.
Тогда, $$\textrm{tg} \alpha=-0,5$$, откуда $$\alpha=-\textrm{arctg}0,5$$.
Рис. 1
Прямые $$y=k_1x+b_1$$ и $$y=k_2x+b_2$$ параллельны, если $$k_{1}=k_{2}$$ и $$b_{1}\neq b_{2}$$.
$$k=3$$, $$b=4$$;
- $$k=5$$, $$b=4$$;
- $$k=3$$, $$b=-8$$;
- $$k=-3$$, $$b=8$$;
- $$k=3$$, $$b=5$$.
- Уравнение прямой $$2y=6x+10$$ мы записали в виде $$y=3x+5$$.
- Прямые $$A_1x+B_1y+C_1=0$$ и $$A_2x+B_2y+C_2=0$$ параллельны, если коллинеарны их нормальные векторы $$\bar{n_1}(A_1;B_1)$$ и $$\bar{n_2}(A_2;B_2)$$:
$$\frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}$$.
$$k=-\frac{1}{4}$$.
Рис. 2
Уравнение прямой в отрезках имеет вид:
$$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$$,
где $$a$$ и $$b$$ - алгебраические величины отрезков, которые отсекает прямая на осях координат
($$a$$ на оси $$Ox$$ и $$b$$ на оси $$Oy$$).
Так как $$a=3$$, а $$b=8$$, то запишем:
$$\frac{x}{3}+\frac{y}{8}=1$$, откуда $$\frac{y}{8}=-\frac{x}{3}+1$$, а $$y=-\frac{8}{3}x+8$$.
Уравнение прямой с угловым коэффициентом $$k$$ имеет вид:
$$y=kx+b$$.
Если известна точка $$M \left (x_{0};y_{0} \right )$$, принадлежащая прямой, и угловой коэффициент $$k$$ прямой, то уравнение этой прямой можно найти по формуле:
$$y=y_{0}+k(x-x_{0})$$.
Найдем уравнение прямой:
$$y=-5+5(x-1)$$, $$y=5x-10$$, $$5x-y=10$$.
Запишем уравнение этой прямой в отрезках:
$$\frac{5x}{10}-\frac{y}{10}=\frac{10}{10}$$, $$\frac{x}{2}+\frac{y}{-10}=1$$.
Уравнение прямой в отрезках имеет вид:
$$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$$.
Расстояние от точки $$M \left (x_{0};y_{0} \right )$$ до прямой $$Ax+By+C=0$$ находят по формуле:
$$d=\frac{\left |Ax_{0}+By_{0}+C \right |}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}$$.
Запишем прямую $$8y=6x-5$$ в виде $$6x-8y-5=0$$.
Тогда, $$d=\frac{\left |6\cdot 1-8\cdot 2-5 \right |}{\sqrt{6^{2}+8^{2}}}=\frac{15}{10}=1,5$$.
Расстояние от точки до прямой – величина неотрицательная.