Загрузка

Прямая на плоскости

Расстояние от точки $$A(1;2)$$ до прямой $$8y=6x-5$$ равно:

Расстояние от точки $$M \left (x_{0};y_{0} \right )$$ до прямой $$Ax+By+C=0$$ находят по формуле:
$$d=\frac{\left |Ax_{0}+By_{0}+C \right |}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}$$.

Запишем прямую $$8y=6x-5$$ в виде $$6x-8y-5=0$$.
Тогда, $$d=\frac{\left |6\cdot 1-8\cdot 2-5 \right |}{\sqrt{6^{2}+8^{2}}}=\frac{15}{10}=1,5$$.

Расстояние от точки до прямой – величина неотрицательная.

Выберите один из вариантов
Если прямая проходит через точку $$C(1;2)$$ и образует с положительным направлением оси $$Oy$$ угол $$\varphi = 150^{\circ}$$, то произведение координат нормального вектора этой прямой равно:
1. Угловой коэффициент прямой $$y = kx + b$$ находят по формуле: 
$$k= tg  \alpha$$,
где $$\alpha$$ – угол наклона прямой к положительному направлению оси $$Ox$$.
2. Если известна точка $$M(x_0;y_0)$$, принадлежащая прямой, и угловой коэффициент прямой,то уравнение этой прямой можно найти по формуле:
$$y=y_0+k(x-x_0)$$.
1. Найдем угол наклона прямой к положительному направлению оси $$Ox$$ (рис.2):
$$\beta =180^{\circ}-150^{\circ}=30^{\circ}$$,
$$\alpha =90^{\circ}-30^{\circ}=60^{\circ}$$.

Рис. 2


2. Найдем угловой коэффициент прямой:
$$k = tg 60^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{3}}$$.
3. Запишем уравнение прямой:
$$y=2+\frac{1}{\sqrt{3}}(x-1)$$, откуда $$x-\sqrt{3}y+2\sqrt{3}-1=0$$.
4. Запишем координаты нормального вектора прямой:
$$\bar{n}(1;-\sqrt{3})$$.
Координаты нормального вектора прямой $$Ax+By+C=0$$ определяются с точностью до постоянного множителя: $$\bar{n}(cA;cB)$$, где $$c\neq0$$.
Выберите один из вариантов
Если прямая проходит через точку $$C(-8;3)$$ и перпендикулярна прямой $$y=4x-7$$, то направляющий вектор прямой имеет вид:
1. Если прямые $$y=k_1x+b_1$$ и $$y=k_2x+b_2$$ перпендикулярные,то:
$$k_1k_2=-1$$.
2. Каноническое уравнение прямой имеет вид:
$$\frac{x-x_0}{m}=\frac{y-y_0}{n}$$.
где $$M(x_0;y_0)$$ – точка, принадлежащая прямой, a $$\bar{l}(m;n)$$ – направляющий вектор прямой.
3. Если известна точка $$M(x_0;y_0)$$, принадлежащая прямой, и угловой коэффициент $$k$$ прямой, то уравнение этой прямой можно найти по формуле:
$$y=y_0+k(x-x_0)$$.
Так как прямые перпендикулярны, а угловой коэффициент прямой равен $$4$$, то найдем угловой коэффициент искомой прямой:
$$k=-\frac{1}{4}$$.
Зная точку $$C(-8;3)$$, принадлежащую прямой, и ее угловой коэффициент, найдем уравнение прямой:
$$y=3-\frac{1}{4}(x+8)$$.
Приведем полученное уравнение к каноническому виду:
$$\frac{x+8}{-4}=\frac{y-3}{1}$$.
Запишем направляющий вектор прямой:
$$\bar{l}(-4;1)$$.
Координаты направляющего вектора прямой определяются с точностью до постоянного множителя:
$$\bar{l}(cm;cn)$$, где $$c\neq0$$.
Выберите один из вариантов
Угол между прямой, которая проходит через точки $$A(-1;2)$$ и $$B(0;4)$$, и прямой $$\left\{\begin{matrix} x= 2t +1,  \\ y=4t-3  \end{matrix}\right.$$ равен:
Если известны направляющие векторы $$\bar{l_1}$$ и $$\bar{l_2}$$ прямых, то угол между прямыми можно найти по формуле:
$$\cos \alpha =\frac{\bar{l_1}\cdot\bar{l_2}}{|\bar{l_1}|\cdot |\bar{l_2}|}$$.
1. Найдем уравнение прямой $$AB$$.
$$\frac{x+1}{1}=\frac{y-2}{4-2}$$, откуда $$\bar{l}(1;2)$$.
2. Преобразуем уравнение второй прямой.
Так как  $$t=\frac{x-1}{2}$$ и $$t=\frac{y+3}{4}$$, то  $$\frac{x-1}{2}=\frac{y+3}{4}$$, откуда $$\bar{l}(2;4)$$.
3. Так как направляющие векторы прямых коллинеарны, то данные прямые параллельны.
Если известны угловые коэффициенты $$k_1$$ и $$k_2$$ прямых, то угол между прямыми можно найти по формуле:
$$tg \alpha =|\frac{k_2-k_1}{1+k_2k_1}|$$.
Выберите один из вариантов

Даны прямые:
$$y=3x+4$$ ($$1$$);
$$y=5x+4$$ ($$2$$);
$$y=3x-8$$ ($$3$$);
$$y=8-3x$$ ($$4$$);
$$2y=6x+10$$ ($$5$$).
Параллельными являются прямые:

Прямые $$y=k_1x+b_1$$ и $$y=k_2x+b_2$$ параллельны, если $$k_{1}=k_{2}$$ и $$b_{1}\neq b_{2}$$.

  1. $$k=3$$, $$b=4$$;

  2. $$k=5$$, $$b=4$$;
  3. $$k=3$$, $$b=-8$$;
  4. $$k=-3$$, $$b=8$$;
  5. $$k=3$$, $$b=5$$.
Следовательно, параллельны прямые ($$1$$), ($$3$$) и ($$5$$).

  1. Уравнение прямой $$2y=6x+10$$ мы записали в виде $$y=3x+5$$.
  2. Прямые $$A_1x+B_1y+C_1=0$$ и $$A_2x+B_2y+C_2=0$$ параллельны, если коллинеарны их нормальные векторы $$\bar{n_1}(A_1;B_1)$$ и $$\bar{n_2}(A_2;B_2)$$:
    $$\frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}$$.
Выберите один из вариантов

Если прямая пересекает оси координат в точках $$A(3;0)$$ и $$B(0;8)$$, то ее уравнение с угловым коэффициентом имеет вид:

Уравнение прямой в отрезках имеет вид:
$$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$$,
где $$a$$ и $$b$$ - алгебраические величины отрезков, которые отсекает прямая на осях координат
($$a$$ на оси $$Ox$$ и $$b$$ на оси $$Oy$$).

Так как $$a=3$$, а $$b=8$$, то запишем:

$$\frac{x}{3}+\frac{y}{8}=1$$, откуда $$\frac{y}{8}=-\frac{x}{3}+1$$, а $$y=-\frac{8}{3}x+8$$.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом $$k$$ имеет вид:

$$y=kx+b$$.

Выберите один из вариантов

Если прямая проходит через точки $$A(1;-2)$$ и $$B(2;4)$$, то уравнение этой прямой в общем виде записывают:

Если известны координаты точек $$A(x_{1};y_{1})$$ и $$B(x_{2};y_{2})$$, принадлежащих прямой, то уравнение этой прямой можно найти по формуле:
$$\frac{x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}=\frac{y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}}$$.

$$\frac{x-1}{2-1}=\frac{y+2}{4+2}$$,

$$\frac{x-1}{1}=\frac{y+2}{6}$$,

$$6x-6=y+2$$,

$$6x-y-8=0$$.

Общее уравнение прямой на плоскости имеет вид:

$$Ax+By+C=0$$.

Выберите один из вариантов

Если угловой коэффициент прямой, проходящей через точку $$M(1;-5)$$, равен $$5$$, то уравнение этой прямой в отрезках имеет вид:

Если известна точка $$M \left (x_{0};y_{0} \right )$$, принадлежащая прямой, и угловой коэффициент $$k$$ прямой, то уравнение этой прямой можно найти по формуле:
$$y=y_{0}+k(x-x_{0})$$.

Найдем уравнение прямой:
$$y=-5+5(x-1)$$, $$y=5x-10$$, $$5x-y=10$$.
Запишем уравнение этой прямой в отрезках:
$$\frac{5x}{10}-\frac{y}{10}=\frac{10}{10}$$, $$\frac{x}{2}+\frac{y}{-10}=1$$.

Уравнение прямой в отрезках имеет вид:

$$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$$.

Выберите один из вариантов
Если прямая проходит через точку $$K(7;-2)$$ и параллельна вектору $$\bar{b}=2\bar{i}-\bar{j}$$, то с положительным направлением оси абсцисс она образует угол: 

1. Если известна точка $$M(x_0;y_0)$$, принадлежащая прямой, и направляющий вектор прямой $$\bar{I}(m;n)$$, то уравнение прямой находят по формуле:
$$\frac{x-x_0}{m}=\frac{y-y_0}{n}$$.
2. Угловой коэффициент прямой $$y=kx+b$$ находят по формуле:
$$k=tg \alpha$$,
где $$\alpha$$ – угол наклона прямой к положительному направлению оси $$Ox$$.
Так как вектор $$\bar{b}(2;-1)$$ – направляющий вектор прямой, то ее уравнение имеет вид:
$$\frac{x-7}{2}=\frac{y+2}{-1}$$,
откуда $$2y+4=-x+7$$, $$y=-0,5x+1,5$$.
Следовательно, $$k=-0,5$$ – угловой коэффициент прямой.
Тогда, $$tg \alpha=-0,5$$, откуда $$\alpha=-arctg 0,5$$.
Если $$\alpha<0$$, то угол между прямой и положительным направлением оси $$Ox$$ (рис.1) равен:
$$\beta =\pi - arctg \alpha$$.

Рис. 1


Выберите один из вариантов

Даны прямые:
$$3x+5y+7=0$$ ($$1$$);
$$3x-5y-7=0$$ ($$2$$);
$$10x+6y-5=0$$ ($$3$$);
$$x+y=5$$ ($$4$$).
Перпендикулярными являются прямые:

Прямые $$y=k_{1}x+b_{1}$$ и $$y=k_{2}x+b_{2}$$ перпендикулярны, если выполняется условие:

$$k_{1}k_{2}=-1$$.

Запишем уравнения прямых в виде $$y=kx+b$$:

  1. $$y=-\frac{3}{5}x-\frac{7}{5}$$, $$k=-\frac{3}{5}$$;
  2. $$y=\frac{3}{5}x-\frac{7}{5}$$, $$k=\frac{3}{5}$$;
  3. $$y=-\frac{5}{3}x+\frac{5}{6}$$, $$k=-\frac{5}{3}$$;
  4. $$y=-x+5$$, $$k=-1$$.
Прямые $$(2)$$ и $$(3)$$ перпендикулярные, так как $$\frac{3}{5}\cdot \frac{-5}{3}=-1$$.

Прямые $$A_1x+B_1y+C_1=0$$ и $$A_2x+B_2y+C_2=0$$ перпендикулярны, если перпендикулярны их нормальные векторы (скалярное произведение нормальных векторов равно нулю):
$$A_1A_2+B_1B_2=0$$.

Выберите один из вариантов