Загрузка

Числовые характеристики выборки

Дан дискретный вариационный ряд:

Среднее значение $$CBX$$ равно:


Выборочное среднее находят по формуле:

$$\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_{i}m_{i}$$,

где $$n$$ – объем выборки.

$$\overline{X}=\frac{1}{10}(2\cdot1+4\cdot3+5\cdot2+6\cdot1+8\cdot1+10\cdot2 )=5,8$$.

Сравните:

$$\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_{i}m_{i}$$ и $$M(X)=\sum_{i=1}^{n}x_{i}p_{i}$$.

Введите ответ в поле

Дан интервальный вариационный ряд:

Среднее значение $$CBX$$ равно:

Выборочное среднее находят по формуле:

$$\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_{i}m_{i}$$,

где $$n$$ – объем выборки.

$$\overline{X}=\frac{1}{20}(2\cdot4+4\cdot6+6\cdot2+6\cdot1+8\cdot8 )=5,7$$.

Чтобы найти середину интервала, необходимо найти полусумму координат его концов.

Введите ответ в поле

Дан дискретный вариационный ряд:

Выборочная дисперсия равна:

Выборочная дисперсия:

$$\overline{D}=\overline{X^{2}}-(\overline{X})^{2}$$,

где $$\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_{i}m_{i}$$,

$$\overline{X^{2}}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}m_{i}$$.

$$\overline{X}=\frac{1}{16}(-2\cdot3+0\cdot6+2\cdot2+4\cdot4+6\cdot1)=\frac{5}{4}$$;

$$\overline{X^{2}}=\frac{1}{16}(4\cdot3+0\cdot6+4\cdot2+16\cdot4+36\cdot1)=\frac{15}{2}$$;

$$\overline{D}=\frac{15}{2}-\frac{25}{16}=\frac{95}{16}=5,9375$$.

Сравните: $$\overline{D}=\overline{X^{2}}-(\overline{X})^{2}$$ и $$D(X)=M(X^{2})-M^{2}(X)$$.

Выберите один из вариантов

Дан интервальный вариационный ряд:

Выборочное среднее квадратическое отклонение равно:

Выборочное среднее квадратическое отклонение:

$$\overline{\sigma }=\sqrt{\overline{D}}$$,

где $$\overline{D}=\overline{X^{2}}-(\overline{X})^{2}$$,

$$\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_{i}m_{i}$$,

$$\overline{X^{2}}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}m_{i}$$.

Найдем середины интервалов:

$$\overline{X}=\frac{1}{10}(-1\cdot4+3\cdot3+7\cdot2+11\cdot1)=3$$;
$$\overline{X^{2}}=\frac{1}{10}(1\cdot4+9\cdot3+49\cdot2+121\cdot1)=25$$;
$$\overline{D}=25-9=16$$;
$$\overline{\sigma }=\sqrt{16}=4$$.

Если выборочная совокупность представлена интервальным вариационным рядом, то, находя числовые характеристики, в качестве значений вариант необходимо взять середины интервалов.

Выберите один из вариантов

Дан дискретный вариационный ряд нормально распределенной $$CBX$$:

Точечная оценка математического ожидания равна:

Точечной оценкой математического ожидания $$a$$ генеральной совокупности является выборочная средняя:

$$a\approx \overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_{i}m_{i}$$.

$$\overline{X}=0,1\cdot(0,1\cdot2+0,2\cdot3+0,3\cdot2+0,4\cdot1+0,5\cdot2)=0,28$$.
$$a\approx \overline{X}=0,28$$.

Если случайная величина $$X$$ распределена по нормальному закону с параметрами $$a$$ и $$\sigma$$, то записывают:

$$X \in N(a, \sigma )$$,

где $$a=M(X)$$, $$\sigma=\sqrt{D(X)}$$.

Выберите один из вариантов

Дан дискретный вариационный ряд нормально распределенной $$CBX$$:

Эмпирический стандарт равен:

Точечной оценкой среднего квадратического отклонения $$\sigma$$ является эмпирический стандарт:

$$s=\sqrt{\frac{n}{n-1}\cdot \overline{D}}$$,

где $$\overline{D}=\overline{X^{2}}-(\overline{X})^{2}$$,

$$\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_{i}m_{i}$$,

$$\overline{X^{2}}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}m_{i}$$.

$$\overline{X}=0,1 \cdot (0,1\cdot2+0,2\cdot3+0,3\cdot2+0,4\cdot1+0,5\cdot2)=0,28$$.

$$\overline{X^{2}}=0,1\cdot(0,01\cdot2+0,04\cdot3+0,09\cdot2+0,16\cdot1+0,25\cdot2)$$$$=0,098$$.
$$\overline{D}=0,098-0,0736=0,0244$$.
$$s=\sqrt{\frac{10\cdot0,0244}{9}}=\frac{\sqrt{6,1}}{15}$$.

К точечным оценкам нормально распределенной $$CBX$$ относят выборочную среднюю и эмпирический стандарт.

Выберите один из вариантов

Дан дискретный вариационный ряд нормально распределенной $$CBX$$:

Если $$\sigma =0,3$$, а $$\gamma =0,95$$, то доверительный интервал для математического ожидания имеет вид:

Доверительный интервал, который покрывает неизвестный параметр $$a$$ с надежностью $$\gamma$$
$$\left ( \overline{X}-\delta ;\overline{X}+\delta \right )$$,
где $$\delta =\frac{\sigma t_{\alpha }}{\sqrt{n}}$$$$t_{\alpha }$$ – корень уравнения $$2\Phi (t)=\gamma$$

$$n$$ – объем выборки, 

$$\alpha =1-\gamma$$ – надежность.

Значения функции Лапласа:

Найдем выборочное среднее:

$$\overline{X}=\frac{1}{9}\cdot(1\cdot2+2\cdot1+3\cdot3+4\cdot1+5\cdot2)=3$$.

Решим уравнение:

$$2\Phi (t)=0, 95$$, $$\Phi (t)=0, 475$$, $$t=1, 96$$.

Тогда, $$\delta =\frac{0, 3\cdot 1, 96}{\sqrt{9}}=0, 196$$.

Доверительный интервал:

$$(3-0, 196; 3+0, 196)$$;

$$(2, 804; 3, 196)$$.

Формулу $$\delta =\frac{\sigma t_{\alpha }}{\sqrt{n}}$$ применяют в случае, если $$\sigma$$ известно.

Выберите один из вариантов

Дан дискретный вариационный ряд нормально распределенной $$CBX$$:

Если доверительная вероятность составляет $$90$$ %, то доверительный интервал для математического ожидания имеет вид:

Доверительный интервал, который покрывает неизвестный параметр $$a$$ с надежностью $$\gamma$$
$$(\overline{X}-\delta ;\overline{X}+\delta )$$
где $$\delta =\frac{t_{\frac{\alpha }{2},n-1}}{\sqrt{n}}\cdot s$$,
$$n$$ - объем выборки,

$$s$$ - эмпирический стандарт,

$$t_{\frac{\alpha }{2},n-1}$$ – аргумент функции Стьюдента:

Найдем числовые характеристики выборки:

$$\overline{X}=\frac{1}{9}\cdot(1\cdot2+2\cdot1+3\cdot3+4\cdot1+5\cdot2)=3$$;

$$\overline{X^{2}}=\frac{1}{9}\cdot(1\cdot2+4\cdot1+9\cdot3+16\cdot1+25\cdot2)=11$$;

$$\overline{D}=11-9=2$$.

Найдем эмпирический стандарт:

$$s=\sqrt{\frac{9\cdot2}{8}}=1, 5$$.

По таблице распределения Стьюдента получим:

$$t_{0, 05, 8}=1, 860$$.

Тогда, $$\delta =\frac{1, 86\cdot1, 5}{3}=0, 93$$.

Доверительный интервал:

$$(3-0, 93; 3+0, 93)$$;

$$(2, 07; 3, 93)$$.

Формулу $$\delta =\frac{t_{\frac{\alpha }{2}, n-1}}{\sqrt{n}}\cdot s$$ применяют в случае, если $$\sigma$$ неизвестно.

Выберите один из вариантов

Дан дискретный вариационный ряд нормально распределенной $$CBX$$:

Если доверительная вероятность составляет $$99$$ %, то доверительный интервал для среднего квадратического отклонения имеет вид:


Доверительный интервал для оценки среднего квадратического отклонения нормально распределенной $$CBX$$, если $$a$$ и $$\sigma$$ неизвестны: 
$$\frac{s\sqrt{n-1}}{\chi _{2}}<\sigma <\frac{s\sqrt{n-1}}{\chi _{1}}$$
где $$\chi ^{2}_{1}=\chi ^{2}\left ( \frac{1+\gamma }{2};n-1 \right )$$$$\chi ^{2}_{2}=\chi ^{2}\left ( \frac{1-\gamma }{2};n-1 \right )$$
Значения $$\chi ^{2}_{1}$$ и $$\chi ^{2}_{2}$$ определяются по таблице $$\chi ^{2}$$-распределения:

Найдем числовые характеристики выборки:

$$\overline{X}=\frac{1}{9}\cdot(1\cdot2+2\cdot1+3\cdot3+4\cdot1+5\cdot2)=3$$;

$$\overline{X^{2}}=\frac{1}{9}\cdot(1\cdot2+4\cdot1+9\cdot3+16\cdot1+25\cdot2)=11$$;

$$\overline{D}=11-9=2$$.

Найдем эмпирический стандарт:

$$s=\sqrt{\frac{9\cdot2}{8}}=1, 5$$.

По таблице значений $$\chi ^{2}$$-распределения получим:

$$\chi ^{2}_{1}\left ( \frac{1, 99 }{2}; 8 \right )=1, 34$$, откуда $$\chi _{1}=\sqrt{1, 34}$$.

$$\chi ^{2}_{2}\left ( \frac{0, 01}{2}; 8 \right )=21, 96$$, откуда $$\chi _{2}=\sqrt{21, 96}$$.

Доверительный интервал:

$$\frac{1, 5\sqrt{8}}{\sqrt{21, 96}}< \sigma < \frac{1, 5\sqrt{8}}{\sqrt{1, 34}}$$;

$$5\sqrt{\frac{2}{61}}< \sigma < 15\sqrt{\frac{1}{67}}$$.

Случайная величина $$X$$ распределена по нормальному закону с параметрами $$a$$ и $$\sigma$$, если ее функция распределения имеет вид:

$$F(x)=\frac{1}{\sqrt{2}\pi \sigma }\int_{-\infty }^{x}e^{-\frac{(t-a)^{2}}{2\sigma ^{2}}}dt$$.

Выберите один из вариантов

Значения двумерной случайной величины представлены в таблице:

Коэффициент корреляции равен:

Выборочный коэффициент корреляции находят по формуле:

$$r_{XY}=\frac{\overline{XY}-\overline{X}\cdot\overline{Y}}{\overline{\sigma}_{X}\cdot\overline{\sigma}_{Y}}$$.

Числовые характеристики выборки:

$$\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{k}x_{i}n_{x_{i}}$$,

$$\overline{X^{2}}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{k}x_{i}^{2}n_{x_{i}}$$,

$$\overline{D}_{X}=\overline{X^{2}}-\left ( \overline{X} \right )^{2}$$,

$$\overline{\sigma }_{X}=\sqrt{\overline{D}_{X}}$$;

$$\overline{Y}=\frac{1}{n}\sum_{j=1}^{m}y_{j}n_{y_{j}}$$,

$$\overline{Y^{2}}=\frac{1}{n}\sum_{j=1}^{m}y_{j}^{2}n_{y_{j}}$$,

$$\overline{D}_{Y}=\overline{Y^{2}}-\left ( \overline{Y} \right )^{2}$$, $$\overline{\sigma }_{Y}=\sqrt{\overline{D}_{Y}}$$;

$$\overline{XY}=\frac{1}{n}\sum_{j=1}^{m}y_{j}\sum_{i=1}^{k}x_{i}n_{xy}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{k}x_{i}\sum_{j=1}^{m}y_{j}n_{xy}$$.

Заполним корреляционную таблицу:

Найдем числовые характеристики выборки:

$$\overline{X}=\frac{58}{20}=2,9$$$$\overline{X}^{2}=\frac{228}{20}=11,4$$;

$$\overline{D}_{X}=11,4-8,41=2,99$$$$\overline{\sigma }_{X}=\sqrt{2,99}$$;

$$\overline{Y}=\frac{82}{20}=4,1$$$$\overline{Y}^{2}=\frac{380}{20}=19$$

$$\overline{D}_{Y}=19-16,81=2,19$$$$\overline{\sigma }_{Y}=\sqrt{2,19}$$;
$$\overline{XY}=\frac{278}{20}=13,9$$.
Найдем коэффициент корреляции:
$$r_{XY}=\frac{13,9-2,9\cdot 4,1}{\sqrt{2,99\cdot 2,19}}=\frac{201}{\sqrt{299\cdot 219}}\approx 0,785$$.

Статистическую зависимость называют корреляционной, если изменение одной из случайных величин вызывает изменение среднего значения другой.

Коэффициент корреляции показывает тесноту связи между признаками $$X$$ и $$Y$$.

Выберите один из вариантов