Выборочное среднее находят по формуле:

$$\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_{i}m_{i}$$,

где $$n$$ – объем выборки.

$$\overline{X}=\frac{1}{10}(2\cdot1+4\cdot3+5\cdot2+6\cdot1+8\cdot1+10\cdot2 )=5,8$$.

Сравните:

$$\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_{i}m_{i}$$ и $$M(X)=\sum_{i=1}^{n}x_{i}p_{i}$$.

Выборочное среднее находят по формуле:

$$\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_{i}m_{i}$$,

где $$n$$ – объем выборки.

Чтобы найти середину интервала, необходимо найти полусумму координат его концов.

Выборочная дисперсия:

$$\overline{D}=\overline{X^{2}}-(\overline{X})^{2}$$,

где $$\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_{i}m_{i}$$,

$$\overline{X^{2}}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}m_{i}$$.

$$\overline{X}=\frac{1}{16}(-2\cdot3+0\cdot6+2\cdot2+4\cdot4+6\cdot1)=\frac{5}{4}$$;

$$\overline{X^{2}}=\frac{1}{16}(4\cdot3+0\cdot6+4\cdot2+16\cdot4+36\cdot1)=\frac{15}{2}$$;

Сравните: $$\overline{D}=\overline{X^{2}}-(\overline{X})^{2}$$ и $$D(X)=M(X^{2})-M^{2}(X)$$.

Выборочное среднее квадратическое отклонение:

$$\overline{\sigma }=\sqrt{\overline{D}}$$,

где $$\overline{D}=\overline{X^{2}}-(\overline{X})^{2}$$,

$$\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_{i}m_{i}$$,

$$\overline{X^{2}}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}m_{i}$$.

Найдем середины интервалов:

Если выборочная совокупность представлена интервальным вариационным рядом, то, находя числовые характеристики, в качестве значений вариант необходимо взять середины интервалов.

Точечной оценкой математического ожидания $$a$$ генеральной совокупности является выборочная средняя:

$$a\approx \overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_{i}m_{i}$$.

Если случайная величина $$X$$ распределена по нормальному закону с параметрами $$a$$ и $$\sigma$$, то записывают:

$$X \in N(a, \sigma )$$,

где $$a=M(X)$$, $$\sigma=\sqrt{D(X)}$$.

Точечной оценкой среднего квадратического отклонения $$\sigma$$ является эмпирический стандарт:

$$s=\sqrt{\frac{n}{n-1}\cdot \overline{D}}$$,

где $$\overline{D}=\overline{X^{2}}-(\overline{X})^{2}$$,

$$\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_{i}m_{i}$$,

$$\overline{X^{2}}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}m_{i}$$.

$$\overline{X}=0,1 \cdot (0,1\cdot2+0,2\cdot3+0,3\cdot2+0,4\cdot1+0,5\cdot2)=0,28$$.

К точечным оценкам нормально распределенной $$CBX$$ относят выборочную среднюю и эмпирический стандарт.

Найдем выборочное среднее:

$$\overline{X}=\frac{1}{9}\cdot(1\cdot2+2\cdot1+3\cdot3+4\cdot1+5\cdot2)=3$$.

Решим уравнение:

$$2\Phi (t)=0, 95$$, $$\Phi (t)=0, 475$$, $$t=1, 96$$.

Тогда, $$\delta =\frac{0, 3\cdot 1, 96}{\sqrt{9}}=0, 196$$.

Доверительный интервал:

$$(3-0, 196; 3+0, 196)$$;

$$(2, 804; 3, 196)$$.

Формулу $$\delta =\frac{\sigma t_{\alpha }}{\sqrt{n}}$$ применяют в случае, если $$\sigma$$ известно.

Найдем числовые характеристики выборки:

$$\overline{X}=\frac{1}{9}\cdot(1\cdot2+2\cdot1+3\cdot3+4\cdot1+5\cdot2)=3$$;

$$\overline{X^{2}}=\frac{1}{9}\cdot(1\cdot2+4\cdot1+9\cdot3+16\cdot1+25\cdot2)=11$$;

$$\overline{D}=11-9=2$$.

Найдем эмпирический стандарт:

$$s=\sqrt{\frac{9\cdot2}{8}}=1, 5$$.

По таблице распределения Стьюдента получим:

$$t_{0, 05, 8}=1, 860$$.

Тогда, $$\delta =\frac{1, 86\cdot1, 5}{3}=0, 93$$.

Доверительный интервал:

$$(3-0, 93; 3+0, 93)$$;

$$(2, 07; 3, 93)$$.

Формулу $$\delta =\frac{t_{\frac{\alpha }{2}, n-1}}{\sqrt{n}}\cdot s$$ применяют в случае, если $$\sigma$$ неизвестно.

Найдем числовые характеристики выборки:

$$\overline{X}=\frac{1}{9}\cdot(1\cdot2+2\cdot1+3\cdot3+4\cdot1+5\cdot2)=3$$;

$$\overline{X^{2}}=\frac{1}{9}\cdot(1\cdot2+4\cdot1+9\cdot3+16\cdot1+25\cdot2)=11$$;

$$\overline{D}=11-9=2$$.

Найдем эмпирический стандарт:

$$s=\sqrt{\frac{9\cdot2}{8}}=1, 5$$.

По таблице значений $$\chi ^{2}$$-распределения получим:

$$\chi ^{2}_{1}\left ( \frac{1, 99 }{2}; 8 \right )=1, 34$$, откуда $$\chi _{1}=\sqrt{1, 34}$$.

$$\chi ^{2}_{2}\left ( \frac{0, 01}{2}; 8 \right )=21, 96$$, откуда $$\chi _{2}=\sqrt{21, 96}$$.

Доверительный интервал:

$$\frac{1, 5\sqrt{8}}{\sqrt{21, 96}}< \sigma < \frac{1, 5\sqrt{8}}{\sqrt{1, 34}}$$;

$$5\sqrt{\frac{2}{61}}< \sigma < 15\sqrt{\frac{1}{67}}$$.

Случайная величина $$X$$ распределена по нормальному закону с параметрами $$a$$ и $$\sigma$$, если ее функция распределения имеет вид:

$$F(x)=\frac{1}{\sqrt{2}\pi \sigma }\int_{-\infty }^{x}e^{-\frac{(t-a)^{2}}{2\sigma ^{2}}}dt$$.

Выборочный коэффициент корреляции находят по формуле:

$$r_{XY}=\frac{\overline{XY}-\overline{X}\cdot\overline{Y}}{\overline{\sigma}_{X}\cdot\overline{\sigma}_{Y}}$$.

Числовые характеристики выборки:

$$\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{k}x_{i}n_{x_{i}}$$,

$$\overline{X^{2}}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{k}x_{i}^{2}n_{x_{i}}$$,

$$\overline{D}_{X}=\overline{X^{2}}-\left ( \overline{X} \right )^{2}$$,

$$\overline{\sigma }_{X}=\sqrt{\overline{D}_{X}}$$;

$$\overline{Y}=\frac{1}{n}\sum_{j=1}^{m}y_{j}n_{y_{j}}$$,

$$\overline{Y^{2}}=\frac{1}{n}\sum_{j=1}^{m}y_{j}^{2}n_{y_{j}}$$,

$$\overline{D}_{Y}=\overline{Y^{2}}-\left ( \overline{Y} \right )^{2}$$, $$\overline{\sigma }_{Y}=\sqrt{\overline{D}_{Y}}$$;

$$\overline{XY}=\frac{1}{n}\sum_{j=1}^{m}y_{j}\sum_{i=1}^{k}x_{i}n_{xy}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{k}x_{i}\sum_{j=1}^{m}y_{j}n_{xy}$$.

Заполним корреляционную таблицу:

Статистическую зависимость называют корреляционной, если изменение одной из случайных величин вызывает изменение среднего значения другой.

Коэффициент корреляции показывает тесноту связи между признаками $$X$$ и $$Y$$.