Чтобы найти середину интервала, необходимо найти полусумму координат его концов.

1. Выборочное среднеквадратическое отклонение $$CBX$$:
   $$\overline{\sigma }=\sqrt{\overline{D}}$$.
2. Выборочная дисперсия $$CBX$$:
   $$\overline{D}=\overline{X^{2}}-(\overline{X})^{2}$$. 
3. Выборочное среднее $$CBX$$:
   $$\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_{i}m_{i}$$. 
4. Выборочное среднее квадрата $$CBX$$:
   $$\overline{X^{2}}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}m_{i}$$.

Если выборочная совокупность представлена интервальным вариационным рядом, то, находя числовые характеристики, в качестве значений вариант необходимо взять середины интервалов.

1) найти размах вариации: $$R=x_{max}-x_{min}$$;
2) определить количество интервалов: $$k$$;
3) найти длину интервала: $$h=\frac{R}{k}$$;
4) найти частоты вариант на интервалах: $$m_{i}$$;
5) найти относительные частоты вариант на интервалах: $$w_{i}=\frac{m_{i}}{n}$$.

1. Расположим значения признака в порядке возрастания:
   $$1$$; $$2$$; $$2$$; $$2$$; $$2$$; $$3$$; $$4$$; $$4$$; $$4$$; $$4$$; $$4$$; $$5$$; $$5$$; $$6$$;$$6$$; $$6$$; $$6$$; $$6$$; $$7$$; $$8$$; $$8$$; $$8$$; $$8$$; $$9$$; $$10$$; $$10$$; $$10$$; $$12$$; $$13$$; $$13$$. 
2. Построим интервальный вариационный ряд:
   $$x_{min}=1$$, $$x_{max}=13$$, $$R=13-1=12$$, $$k=4$$, $$h=12:4=3$$.

1. Гистограммой частот интервального вариационного ряда называют столбчатую диаграмму, состоящую из прямоугольников, основаниями которых являются длины интервалов, которые содержат значения вариант, высотами – частоты данных интервалов. 
2. Чтобы построить интервальный вариационный ряд, необходимо:
   1) найти размах вариации: $$R=x_{max}-x_{min}$$;
   2) определить количество интервалов: $$k$$;
   3) найти длину интервала: $$h=\frac{R}{k}$$;
   4) найти частоты вариант на интервалах: $$m_{i}$$.

1. Расположим значения случайной величины в порядке возрастания:
   $$-2$$;$$-1,9$$;$$-1,7$$; $$-1,5$$; $$-1,4$$; $$-1,4$$; $$-0,5$$; $$-0,4$$; $$0$$; $$0$$; $$0$$; $$0,1$$; $$0,8$$; $$1,1$$; $$1,2$$; $$1,5$$; $$1,6$$; $$1,9$$; $$2$$; $$2$$. 
2. Построим интервальный ряд:
   $$x_{min}=-2$$, $$x_{max}=2$$, $$R=2-(-2)=4$$, $$k=5$$, $$h=4:5=0,8$$.
   Интервалы: $$[-2; -1,2)$$, $$[-1,2; -0,4)$$, $$[-0,4; 0,4)$$, $$[0,4; 1,2)$$, $$[1,2; 2]$$. 
3. Интервальный ряд:

                                                                                  

1. Гистограммой относительных частот выборки называют столбчатую диаграмму, состоящую из прямоугольников, основаниями которых являются длины интервалов, которые содержат значения вариант, высотами – относительные частоты интервалов. 
2. Гистограмму частот и относительных частот строят для интервального вариационного ряда. 
3. Полигон частот и относительных частот строят для дискретного вариационного ряда.

1. Выборочное среднее значение $$CBX$$:
   $$\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_{i}m_{i}$$,
   где $$n$$ – объем выборки, $$x_i$$ – середины интервалов. 
2. Выборочное среднее значение квадрата $$CBX$$:
   $$\overline{X^2}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_{i}^2m_{i}$$.
3. Выборочная дисперсия $$CBX$$:
   $$\overline{D}=\overline{X^2}- \overline{X}^2$$.

$$x_1=(-2-1):2=-1,5$$;
$$x_2=(-1+0):2=-0,5$$;
$$x_3=(0+1):2=0,5$$;
$$x_4=(1+2):2=1,5$$.

$$\overline{X^2}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_{i}^2m_{i}$$,

$$x_1=(0+3):2=1,5$$;
$$x_2=(3+6):2=4,5$$;
$$x_3=(6+9):2=7,5$$;
$$x_4=(9+12):2=10,5$$.

1. Модальный интервал: $$[7; 10)$$. 
2. Тогда: $$x_{i}=7$$, $$m_{i}=6$$, $$m_{i-1}=3$$, $$m_{i+1}=5$$, $$h=10-7=3$$. 
3. Мода равна: $$m_{0}=7+\frac{3\cdot (6-3)}{12-3-5}=9,25$$.

1. $$m_{i-1}$$ – частота предмодального интервала.
2. $$m_{i+1}$$ – частота послемодального интервала.

$$\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_{i}m_{i}$$,

$$x_1=(-2-1,2):2=-1,6$$;
$$x_2=(-1,2-0,4):2=-0,8$$;
$$x_3=(-0,4+0,4):2=0$$;
$$x_4=(0,4+1,2):2=0,8$$.