Загрузка
ТестыСправкаQualiMe РегистрацияВход
ТестыСправкаQualiMe
РегистрацияВход
Тесты Студент
Математическая модель задачи ИТ
45.000

Математическая модель задачи ИТ

Дневной рацион корма зверей в зоопарке должен содержать не менее $$25$$ ед. питательного вещества $$A$$, $$45$$ ед. вещества $$B$$ и $$32$$ ед. вещества $$C$$. Используются три вида корма: $$K_1$$, $$K_2$$ и $$K_3$$. Один килограмм корма $$K_1$$ содержит питательных веществ $$A$$, $$B$$ и $$C$$ соответственно $$3$$ ед., $$2$$ ед. и $$0$$ ед., корма $$K_2$$ – $$1$$ ед., $$6$$ ед. и $$5$$ ед., а корма $$K_3$$ – $$4$$ ед., $$2$$ ед. и $$1$$ ед. Стоимость $$1$$ кг корма $$K_1$$ равна $$50$$ ден. ед., корма $$K_2$$ – $$60$$ ден. ед. и корма $$K_3$$ – $$40$$ ден. ед. Сколько корма каждого вида необходимо расходовать ежедневно, чтобы затраты на него были минимальными? 
Математическая модель задачи имеет вид:

Математическая модель задачи о смесях (диетах)
  1. План: $$X=(x_1; x_2; . . . ; x_n)$$. 
  2. Целевая функция качества:
    $$min f(X)=c_1\cdot x_1+c_2\cdot x_2+…+c_n\cdot x_n$$. 
  3. Система ограничений:
    $$\begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2+…+a_{1n}x_n\geq b_1, \\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+…+a_{2n}x_n\geq b_2, \\ … \\ a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+…+a_{mn}x_n\geq b_m. \end{cases}$$ 
  4. Условия не отрицательности переменных:
    $$x_i\geq 0$$, $$i=\overline{1, n}$$.
Где: $$b_j$$ $$(j=\overline{1, m})$$ – объемы ресурсов;
$$c_i$$ $$(i=\overline{1, n})$$ – затраты на одну единицу каждого вида продукции;
$$a_{ji}$$ – содержание $$j$$-го вида ресурса в одной единице $$i$$-го вида продукции.

Составим таблицу данных:

Питательные вещества

Корм

Кол-во

вещества

К1

К2

К3

А

3

1

4

25

В

2

6

2

45

С

0

5

1

32

Стоимость 1 кг корма (ден. ед.)

50

60

40

 

План кормления (кг)

x1

x2

x3

 
Составим математическую модель задачи.
  1. План кормления: $$X=(x_1;x_2;x_3)$$. 
  2. Целевая функция: $$minf(X)=50x_1+60x_2+40x_3$$. 
  3. Система ограничений: 
    $$\begin{cases} 3x_1+x_2+4x_3\geq 25, \\ 2x_1+6x_2+2x_3\geq 45, \\ 5x_2+x_3\geq 32. \end{cases}$$ 
  4. Условия не отрицательности переменных:
    $$x_1\geq 0$$, $$x_2\geq 0$$, $$x_3\geq 0$$ .

Симметричные формы записи задач:

  1. $$X=(x_1; x_2; . . . x_n)$$; 
    $$maxf(X)=\sum_{i=1}^{n}c_ix_i$$;
    $$\sum_{i=1}^{n}a_{ji}x_i\leq b_j$$;
    $$x_i\geq 0$$, $$i=\overline{1, n}$$;

  2. $$X=(x_1; x_2; . . . x_n)$$;
    $$minf(X)=\sum_{i=1}^{n}c_ix_i$$;
    $$\sum_{i=1}^{n}a_{ji}x_i\geq b_j$$;
    $$x_i\geq 0$$, $$i=\overline{1, n}$$.
Выберите несколько вариантов ответов
Приведите модель задачи к предпочтительному виду:
  1. $$max f(x)=5x_1+x_2+x_3$$; 
  2. $$\begin{cases} 4x_1-x_3\leq 15, \\ x_1+x_2\leq 6, \\ 2x_2+x_3\leq 4; \end{cases}$$ 
  3. $$x_i\geq 0$$, $$i=\overline{1, 3}$$.
  1. Чтобы привести модель задачи к каноническому виду, необходимо:
    1) к левым частям неравенств типа $$\leq$$ прибавить неотрицательные дополнительные переменные;
    2) в целевую функцию дополнительные переменные ввести с коэффициентами, равными $$0$$. 
  2. Каноническая модель ЗЛП имеет предпочтительный вид, если в каждом из уравнений системы ограничений присутствует предпочтительная переменная. 
  3. Переменная называется предпочтительной, если она присутствует только в одном из уравнений системы ограничений и только с коэффициентом, равным $$1$$.
  1. Приведем модель задачи к каноническому виду с помощью дополнительных переменных $$x_4$$, $$x_5$$ и $$x_6$$.
    В целевую функцию дополнительные переменные введем с коэффициентами, равными нулю:
    $$max f(x)=5x_1+x_2+x_3+0x_4+0x_5+0x_6$$.
    К левой части первого неравенства системы ограничений прибавим переменную $$x_4$$, к левой части второго неравенства прибавим переменную $$x_5$$, а к левой части третьего неравенства – переменную $$x_6$$:
    $$\begin{cases} 4x_1-x_3+x_4=15, \\ x_1+x_2+x_5=6, \\ 2x_2+x_3+x_6=4; \end{cases}$$ $$x_i\geq 0$$, $$i=\overline{1, 6}$$. 
  2. Математическая модель задачи имеет предпочтительный вид, так как в каждом уравнении системы ограничений есть предпочтительная переменная.
    В первом уравнении системы ограничений предпочтительной является переменная $$x_4$$, так как она присутствует только в этом уравнении и ее коэффициент равен числу $$1$$.
    Во втором уравнении системы ограничений предпочтительной является переменная $$x_5$$, так как она присутствует только в этом уравнении и ее коэффициент равен числу $$1$$.
    В третьем уравнении системы ограничений предпочтительной является переменная $$x_6$$, так как она присутствует только в этом уравнении и ее коэффициент равен числу $$1$$.
  1. Если в канонической модели задачи отсутствуют предпочтительные переменные, то вводим неотрицательные искусственные переменные. 
  2. В целевую функцию искусственные переменные в случае ее максимизации вводим с коэффициентом $$–M$$, а в случае минимизации – с коэффициентом $$+M$$.
Выберите несколько вариантов ответов
Приведите к предпочтительному виду модель задачи:
  1. $$maxf(X)=3x_1-x_2+5x_3$$; 
  2.  $$\left\{\begin{matrix} x_1+3x_2=5, \\ x_2-x_3=16;\end{matrix}\right. $$ 
  3.  $$x_i \geq0$$, $$i=\overline{1; 3}$$.
  1. Каноническая модель ЗЛП имеет предпочтительный вид, если в каждом из уравнений системы ограничений присутствует предпочтительная переменная. 
  2. Переменная называется предпочтительной, если она присутствует только в одном из уравнений системы ограничений и только с коэффициентом, равным единице. 
  3. Если в канонической модели задачи отсутствуют предпочтительные переменные, то вводим неотрицательные искусственные переменные. 
  4. В целевую функцию искусственные переменные в случае ее максимизации вводим с коэффициентом, равным $$–M$$.
  1. Модель задачи уже имеет канонический вид. 
  2. Приведем эту модель к предпочтительному виду:
    1) в первом уравнении системы ограничений есть предпочтительная переменная $$x_1$$;
    2) так как во втором уравнении системы ограничений отсутствует предпочтительная переменная, то вводим искусственную переменную $$\omega \geq0$$;
    3) в целевую функцию переменную $$\omega$$ вводим с коэффициентом, равным $$–M$$. 
  3. Получим:
    $$maxf(X)=3x_1-x_2+5x_3-M\omega$$;
    $$\left\{\begin{array}{lr} \underline{x_1}+3x_2=5, \\ x_2-x_3+\underline{\omega}=16. \end{array}\right. $$
  1. Во втором уравнении $$x_2-x_3=16$$ переменная $$x_2$$ не является предпочтительной, так как она присутствует в первом уравнении системы ограничений. 
  2. Переменная $$x_3$$ не является предпочтительной, так как она имеет коэффициент $$-1$$.
Выберите несколько вариантов ответов
Приведите к каноническому виду модель задачи:
  1. $$minf(X)=3x_1-x_2$$; 
  2. $$\begin{cases} 2x_1+x_2\geq 3, \\ x_1-x_2\leq -2; \end{cases}$$ 
  3. $$x_i\geq 0$$, $$i=\overline{1, 2}$$.
  1. Канонический вид математической модели задачи.
    План: $$X=(x_1; x_2; . . . ; x_n)$$.
    Целевая функция качества:
    $$max (min) f(X)=c_1x_1+c_2x_2+…+c_nx_n$$.
    Система ограничений:
    $$\begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2+…+a_{1n}x_n=b_1, \\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+…+a_{2n}x_n=b_2, \\ … \\ a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+…+a_{mn}x_n=b_m. \end{cases}$$
    Условия неотрицательности переменных:
    $$x_i\geq 0$$, $$i=\overline{1, n}$$. 
  2. Чтобы привести модель задачи к каноническому виду, при условии, что все правые части неравенств-ограничений неотрицательные, необходимо:
    1) из левых частей неравенств типа $$\geq$$ вычесть неотрицательные дополнительные переменные;
    2) в целевую функцию дополнительные переменные ввести с коэффициентами, равными нулю.
  1. Преобразуем второе неравенство системы ограничений, так как его правая часть отрицательная.
    Умножим обе части этого неравенства на число $$–1$$, изменив при этом смысловой знак неравенства:
    $$x_1-x_2\leq -2$$, $$-x_1+x_2\geq 2$$. 
  2. Приведем модель задачи к каноническому виду, вводя дополнительные переменные $$x_3$$ и $$x_4$$.
    В целевую функцию дополнительные переменные введем с коэффициентами, равными нулю:
    $$min f(X)=3x_1-x_2+0\cdot x_3+0\cdot x_4$$.
    Из левой части первого неравенства системы ограничений вычтем переменную $$x_3$$, а из левой части второго неравенства вычтем переменную $$x_4$$:
    $$\begin{cases} 2x_1+x_2\geq 3, \\ -x_1+x_2\geq 2; \end{cases}$$ $$\begin{cases} 2x_1+x_2-x_3=3, \\ -x_1+x_2-x_4=2. \end{cases}$$
  3. Условия неотрицательности переменных:
    $$x_i\geq 0$$, $$i=\overline{1, 4}$$.
  1. Приводить модель задачи к каноническому виду можно только при условии, что все правые части неравенств-ограничений неотрицательные. 
  2. Дополнительные переменные можно вводить только в левые чести неравенств-ограничений.
Выберите несколько вариантов ответов
Приведите к каноническому виду модель задачи:
  1. $$maxf(X)=3x_1-x_2$$; 
  2. $$\begin{cases} 2x_1+x_2\leq 3, \\ x_1-x_2\leq 12; \end{cases}$$ 
  3. $$x_i\geq 0$$, $$i=\overline{1, 2}$$.
  1. Канонический вид математической модели задачи.
    План: $$X=(x_1; x_2; . . . ; x_n)$$.
    Целевая функция качества:
    $$max (min) f(X)=c_1x_1+c_2x_2+…+c_nx_n$$.
    Система ограничений:
    $$\begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2+…+a_{1n}x_n=b_1, \\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+…+a_{2n}x_n=b_2, \\ … \\ a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+…+a_{mn}x_n=b_m. \end{cases}$$
    Условия неотрицательности переменных:
    $$x_i\geq 0$$, $$i=\overline{1, n}$$. 
  2. Чтобы привести модель задачи к каноническому виду, при условии, что все правые части неравенств-ограничений неотрицательные, необходимо:
    1) к левым частям неравенств типа $$\leq$$ прибавить неотрицательные дополнительные переменные;
    2) в целевую функцию дополнительные переменные ввести с коэффициентами, равными нулю.
Приведем модель задачи к каноническому виду с помощью дополнительных переменных $$x_3$$ и $$x_4$$.
  1. В целевую функцию дополнительные переменные введем с коэффициентами, равными нулю:
    $$max f(X)=3x_1-x_2+0\cdot x_3+0\cdot x_4$$. 
  2. К левой части первого неравенства системы ограничений прибавим переменную $$x_3$$, а к левой части второго неравенства прибавим переменную $$x_4$$:
    $$\begin{cases} 2x_1+x_2+x_3=3, \\ x_1-x_2+x_4=12. \end{cases}$$ 
  3. Условия неотрицательности переменных:
    $$x_i\geq 0$$, $$i=\overline{1, 4}$$.
Каноническая форма записи ЗЛП:
    $$max(min)f(X)=\sum_{i=1}^{n}c_ix_i$$;
    $$\sum_{i=1}^{n}a_{ji}x_i=b_j$$;
    $$x_i\geq 0$$, $$i=\overline{1, n}$$.
Выберите несколько вариантов ответов
На швейной фабрике для пошива трех моделей женских костюмов используется хлопок, лен и вискоза. На производство $$1$$ ед. модели $$M_1$$ требуется $$2,4$$ м хлопка, $$0,5$$ м льна и $$0,3$$ м вискозы. На производство $$1$$ ед. модели $$M_2$$ требуется соответственно $$0,2$$ м, $$1,8$$ м и $$1$$ м тех же тканей. А на производство $$1$$ ед. модели $$M_3$$ требуется $$1,2$$ м хлопка и $$2,5$$ м льна. Цех располагает $$100$$ м хлопка, $$350$$ м льна и $$50$$ м вискозы. Прибыль от реализации $$1$$ ед. модели $$M_1$$ составляет $$150$$ ден. ед., модели $$M_2$$ – $$220$$ ден. ед., а модели $$M_3$$ – $$390$$ ден. ед.
Составьте математическую модель задачи, на основании которой можно определите план выпуска продукции, обеспечивающий максимальную прибыль, и приведите ее к каноническому виду.
Математическая модель задачи о планировании производства
  1. План: $$X=(x_1; x_2; . . . ; x_n)$$. 
  2. Целевая функция качества:
    $$max f(X)=c_1\cdot x_1+c_2\cdot x_2+…+c_n\cdot x_n$$. 
  3. Система ограничений:
    $$\begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2+…+a_{1n}x_n\leq b_1, \\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+…+a_{2n}x_n\leq b_2, \\ … \\ a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+…+a_{mn}x_n\leq b_m. \end{cases}$$ Условия не отрицательности переменных: $$x_i\geq 0$$, $$i=\overline{1, n}$$.
Где: $$b_j$$ $$(j=\overline{1, m})$$ – объемы ресурсов;
$$c_i$$ $$(i=\overline{1, n})$$ – прибыль от реализации одной единицы каждого вида продукции;
$$a_{ji}$$ – расход $$j$$-го вида ресурса на выпуск одной единицы $$i$$-го вида продукции.
Составим таблицу данных:                            

Ресурсы

Выпускаемая продукция

 

М1

М2

М3

Запас ресурса

Хлопок (м)

2,4

0,2

1,2

100

Лен (м)

0,5

1,8

2,5

350

Вискоза (м)

0,3

1

0

50

Прибыль (ден. ед.)

150

220

390

 

План

х1

х2

х3

 
  1. Составим математическую модель задачи. 
    План выпуска продукции: $$X=(x_1; x_2; x_3)$$.
    Целевая функция (максимизация прибыли): 
    $$max f(X)=150x_1+220x_2+390x_3$$.
    Система ограничений:
    $$\begin{cases} 2,4x_1+0,2x_2+1,2x_3\leq 100, \\ 0,5x_1+1,8x_2+2,5x_3\leq 350, \\ 0,3x_1+x_2\leq 50. \end{cases}$$
    Условия неотрицательности переменных: $$x_1\geq 0$$, $$x_2\geq 0$$, $$x_3\geq 0$$. 
  2. Приведем модель задачи к каноническому виду, вводя неотрицательные дополнительные переменные $$x_4$$, $$x_5$$ и $$x_6$$:
    $$max f(X)=150x_1+220x_2+390x_3+0x_4+0x_5+0x_6$$;
    $$\begin{cases} 2,4x_1+0,2x_2+1,2x_3+x_4=100, \\ 0,5x_1+1,8x_2+2,5x_3+x_5=350, \\ 0,3x_1+x_2+x_6=50; \end{cases}$$
    $$x_i\geq 0$$, $$i=\bar{1,6}$$.
  1. Канонический вид математической модели задачи.
    План: $$X=(x_1; x_2; . . . ; x_n)$$.
    Целевая функция качества:
    $$max (min) f(X)=c_1x_1+c_2x_2+…+c_nx_n$$.
    Система ограничений:
    $$\begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2+…+a_{1n}x_n=b_1, \\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+…+a_{2n}x_n=b_2, \\ … \\ a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+…+a_{mn}x_n=b_m. \end{cases}$$
    Условия неотрицательности переменных:
    $$x_i\geq 0$$, $$i=\overline{1, n}$$. 
  2. Чтобы привести модель задачи к каноническому виду, при условии, что все правые части неравенств-ограничений неотрицательные, необходимо:
    1) к левым частям неравенств типа $$\leq$$ прибавить неотрицательные дополнительные переменные;
    2) в целевую функцию дополнительные переменные ввести с коэффициентами, равными нулю.
Выберите несколько вариантов ответов

Выполнять заказ по производству $$35$$ изделий первого вида и $$40$$ изделий второго вида взялись две бригады. Производительность первой бригады составляет соответственно $$4$$ и $$2$$ изделия в единицу времени, а фонд рабочего времени этой бригады $$10$$ ед. Производительность второй бригады – соответственно $$2$$ и $$5$$ изделий, а ее фонд рабочего времени – $$15$$ ед. Затраты, связанные с производством единицы изделия, для первой бригады равны соответственно $$9$$ и $$20$$ тыс. ден. ед. , для второй бригады – $$15$$ и $$30$$ тыс. ден. ед. Найдите оптимальный план размещения заказа при условии, что фонд рабочего времени первой бригады должен быть использован полностью.

Математическая модель задачи имеет вид:

Математическая модель задачи о размещении заказа
  1. План: $$X=(x_1; x_2; . . . ; x_n)$$. 
  2. Целевая функция качества:
    $$min f(X)=c_1x_1+c_2x_2+…+c_nx_n$$. 
  3. Система ограничений:
    $$\begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2+…+a_{1n}x_n\leq b_1, \\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+…+a_{2n}x_n\leq b_2, \\ … \\ a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+…+a_{mn}x_n\leq b_m. \end{cases}$$ 
  4. Условия неотрицательности переменных:
    $$x_i\geq 0$$, $$i=\overline{1, n}$$.
Где: $$b_j$$ $$(j=\overline{1, m})$$ – объемы ресурсов;
$$c_i$$ $$(i=\overline{1, n})$$ – затраты на изготовление одной единицы каждого вида продукции;
$$a_{ji}$$ – расход $$j$$-го вида ресурса на выпуск одной единицы $$i$$-го вида продукции.

Составим таблицу данных:

Составим математическую модель задачи.
  1. План выпуска продукции:
    $$X=(x_1;x_2;x_3;x_4)$$. 
  2. Целевая функция: 
    $$minf(X)=9x_1+20x_2+15x_3+30x_4$$. 
  3. Система ограничений: 
    $$\begin{cases} x_1+x_3= 35, \\ x_2+x_4= 40, \\ 0,25x_1+0,5x_2= 10,\\ 0,5x_3+0,2x_4\leq 15; \end{cases}$$ 
  4. Условия неотрицательности и целочисленности переменных:
    $$x_1\geq 0$$, $$x\in Z$$, $$i=\overline{1,4}$$.
    Если $$T$$ – общее время выполнения работы, $$k$$ – количество изделий, выпущенных за это время, $$t$$ – время выпуска одного изделия, то $$T=k\cdot t$$, откуда $$t=T: k$$. 
    Так, если $$T=1$$, $$k_1=4$$, то $$t_1=1: 4=0, 25$$. 
    Аналогично: $$t_2=1: 2=0, 5$$; $$t_3=1: 2=0, 5$$; $$t_4=1: 5=0, 2$$.
Выберите несколько вариантов ответов
Приведите к предпочтительному виду модель задачи:
  1. $$minf(X)=x_1+5x_3$$; 
  2. $$\left\{\begin{array}{lr} x_1+6x_3=11,\\ 15x_1+x_2\geq0,\\ x_1+3x_3\leq-7; \end{array}\right.$$ 
  3. $$x_i\geq0$$, $$i=\overline{1;3}$$.
  1. Чтобы привести модель задачи к каноническому виду, при условии, что все правые части неравенств-ограничений неотрицательные, необходимо из левых частей неравенств типа $$\geq$$ вычесть неотрицательные дополнительные переменные, а в в целевую функцию дополнительные переменные ввести с коэффициентами, равными нулю. 
  2. Переменная называется предпочтительной, если она присутствует только в одном из уравнений системы ограничений и только с коэффициентом, равным единице. 
  3. Если в канонической модели задачи отсутствуют предпочтительные переменные, то вводим неотрицательные искусственные переменные. 
  4. В целевую функцию искусственные переменные в случае ее минимизации вводим с коэффициентом, равным $$+M$$.
  1. Преобразуем второе неравенство системы ограничений.
    Умножим обе его части на число $$-1$$ и изменим смысловой знак неравенства: $$-x_1-3x_3\geq7$$. 
  2. Приведем модель задачи к каноническому виду с помощью неотрицательных дополнительных переменных $$x_4$$ и $$x_5$$.
    Целевая функция:
    $$f(X)=x_1+5x_3+0 \cdot x_4+0 \cdot x_5$$.
    Система ограничений:
    $$\left\{\begin{array}{lr} x_1+6x_3=11, \\ 15x_1+x_2\geq0, \\ -x_1-3x_3\geq7; \end{array}\right.$$$$\left\{\begin{array}{lr} x_1+6x_3=11, \\ 15x_1+x_2-x_4=0, \\ -x_1-3x_3-x_5=7. \end{array}\right.$$ 
  3. Приведем модель задачи к предпочтительному виду с помощью неотрицательных искусственных переменных $$\omega_1$$ и $$\omega_2$$.
    Целевая функция:
    $$minf(X)=x_1+5x_3+0x_4+x_5+M\omega_1+M\omega_2$$. 
    Система ограничений:
    $$\left\{\begin{array}{lr} x_1+6x_3+\underline{\omega_1}=11, \\ 15x_1+\underline{x_2}-x_4=0, \\ -x_1-3x_3-x_5+\underline{\omega_2}=7. \end{array}\right.$$
    Условия неотрицательности переменных: $$x_i\geq0$$, $$i=\overline{1; 5}$$; $$\omega_1\geq0$$, $$\omega_2\geq0$$.
В целевую функцию обе искусственные переменные входят с одним и тем же коэффициентом $$+M$$.
Выберите несколько вариантов ответов
Для кондитерского цеха требуется рассчитать оптимальный план выпуска печенья двух видов: $$\Pi _1$$ и $$\Pi _2$$. Для производства печенья используют муку, сахар и масло, запасы которых равны соответственно $$150$$ кг, $$60$$ кг и $$40$$ кг.  Для производства одного килограмма печенья $$\Pi _1$$ требуется $$0,4$$ кг муки, $$0,3$$ кг сахара и $$0,2$$ кг масла, а для $$\Pi _2$$ требуется $$0,6$$ кг муки, $$0,2$$ кг сахара и $$0,1$$ кг масла. Прибыль от выпуска одного килограмма печенья составляет: для $$\Pi _1$$– $$15$$ ден. ед., для $$\Pi _2$$ – $$10$$ ден. ед. 
 Математическая модель задачи имеет вид:
Математическая модель задачи о распределении ресурсов
  1. План: $$X=(x_1; x_2; . . . ; x_n)$$. 
  2. Целевая функция качества:
    $$max f(X)=c_1\cdot x_1+c_2\cdot x_2+…+c_n\cdot x_n$$. 
  3. Система ограничений:
    $$\begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2+…+a_{1n}x_n\leq b_1, \\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+…+a_{2n}x_n\leq b_2, \\ … \\ a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+…+a_{mn}x_n\leq b_m. \end{cases}$$ 
  4. Условия не отрицательности переменных:
    $$x_i\geq 0$$, $$i=\overline{1, n}$$.
Где: $$b_j$$ $$(j=\overline{1, m})$$ – объемы ресурсов; 
$$c_i$$ $$(i=\overline{1, n})$$ – прибыль от реализации одной единицы каждого вида продукции; 
$$a_{ji}$$ – расход $$j$$-го вида ресурса на выпуск одной единицы $$i$$-го вида продукции.
Составим таблицу данных: 
                                                                                  

Ресурсы

Выпускаемая продукция

Запас

ресурса (кг)

П1

П2

мука

0,4

0,6

150

сахар

0,3

0,2

60

масло

0,2

0,1

40

Прибыль от выпуска

1 кг печенья (ден. ед.)

15

10

 

План выпуска (кг)

x1

x2

 
Составим математическую модель задачи. 
  1. План выпуска продукции: $$X=(x_1;x_2)$$. 
  2. Целевая функция: 
    $$max f(x)=15x_1+10x_2$$. 
  3. Система ограничений:
    $$\begin{cases} 0,4x_1+0,6x_2\leq 150, \\ 0,3x_1+0,2x_2\leq 60, \\ 0,2x_1+0,1x_2\leq 40. \end{cases}$$ 
  4. Условия не отрицательности переменных:
    $$x_1\geq 0$$, $$x_2\geq 0$$.
  1. Математической моделью задачи называют отражение реальной (производственной, экономической) ситуации в виде функций, уравнений и неравенств. 
  2. Линейным программированием (ЛП) называют раздел математического программирования, если все функции математической модели задачи линейные.
Выберите несколько вариантов ответов

В цех распила поступило $$600$$ бревен длиной $$6$$ м. Их необходимо разрезать на заготовки $$A$$ и $$B$$ длиной соответственно $$2,5$$ м и $$3$$ м и составить из них комплекты. В каждый комплект входит $$4$$ заготовки $$A$$ и $$5$$ заготовок $$B$$. Составьте план распила бревен, гарантирующий минимизацию отходов.

Математическая модель задачи имеет вид:

Математическая модель задачи о распиле
  1. План: $$X=(x_1; x_2; . . . ; x_n)$$. 
  2. Целевая функция качества (минимизация отходов):
    $$min f(X)=c_1x_1+c_2x_2+…+c_nx_n$$. 
  3. Система ограничений:
    $$\begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2+…+a_{1n}x_n\geq b_1, \\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+…+a_{2n}x_n\geq b_2, \\ … \\ a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+…+a_{mn}x_n\geq b_m. \end{cases}$$ 
  4. Ограничения на объем исходного материала:
    $$x_1+x_2+…+x_n\leq N$$. 
  5. Условия неотрицательности переменных:
    $$x_i\geq 0$$, $$i=\overline{1, n}$$.
Где: $$N$$ – объем исходного материала;
$$x_i$$ – количество единиц исходного материала, планируемое к распилу по каждому из вариантов;
$$b_j$$ $$(j=\overline{1, m})$$ – количество заготовок каждого вида;
$$c_i$$ $$(i=\overline{1, n})$$ – отходы от распила одной единицы исходного материала по каждому из вариантов;
$$a_{ji}$$ – количество $$j$$-го вида заготовок, полученных от распила одной единицы исходного материала по $$i$$-му варианту распила.
Составим таблицу данных: 

Заготовки

Длина

заготовок

Варианты распила

Кол-во

заготовок

Кол-во

комплектов

I

II

III

А

2,5 м

2 шт.

1 шт.

0 шт.

2x1+x2

(2x1+x2):4

Б

3 м

0 шт.

1 шт.

2 шт.

x2+2x3

(2x1+x2):5

Отходы

1м

0,5 м

0 м

 

 

План распила

x1

x2  

x3

 

 
Составим математическую модель задачи. 
  1. План: $$X=(x_1;x_2;x_3)$$,
    где $$x_1$$ – количество бревен, подлежащих распилу по варианту I,
    $$x_2$$ – количество бревен, подлежащих распилу по варианту II,
    $$x_3$$ – количество бревен, подлежащих распилу по варианту III,
    $$x_1$$, $$x_2$$, $$x_3$$ – целые неотрицательные числа. 
  2. Целевая функция: $$min f(X)=1x_1+0,5x_2$$.  
  3. Система ограничений: 
    $$\begin{cases} x_1+x_2+x_3\leq 600, \\ \frac{2x_1+x_2}{4}=\frac{x_2+2x_3}{5}; \end{cases}$$ $$\begin{cases} x_1+x_2+x_3\leq 600, \\ 10x_1+x_2-8x_3=0. \end{cases}$$
К основным видам задач ЛП, как правило, относят:
    задачи о наилучшем использовании ресурсов,
    задачи о выборе оптимальных технологий,
    задачи о размещении заказа,
    задачи о смесях и диетах,
    задачи о раскрое материалов,
    транспортные задачи и т. п.
Выберите несколько вариантов ответов
© Сиротина И.К., 2013—2026