Непрерывные случайные величины ИТ
Если случайная величина задана функцией распределения
$$F(x)=\begin{cases} 0,x\leq -0,5\pi,\\ \textrm{cos}x,-0,5\pi < x\leq 0,\\1, x > 0,\end{cases}$$
$$F(x)=\begin{cases} 0,x\leq -0,5\pi,\\ \textrm{cos}x,-0,5\pi < x\leq 0,\\1, x > 0,\end{cases}$$
то функция плотности распределения вероятностей имеет вид:
Если $$F(x)$$ – функция распределения вероятностей, то функцию плотности вероятностей находят по формуле:
$$p(x)=F'(x)$$.
Найдем производные функции $$F(x)$$:
$$p(x)=\begin{cases} 0', x\leq -0,5\pi,\\ (\textrm{cos}x)', -0,5\pi< x\leq 0,\\1', x>0; \end{cases}$$
$$p(x)=\begin{cases} 0, x\leq -0,5\pi,\\ -\textrm{sin}x, -0,5\pi < x\leq 0,\\ 0, x > 0. \end{cases}$$
Плотностью распределения непрерывной случайной величины $$X$$ в точке $$x$$ называют функцию:
$$p(x)=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{P(x\leq X < x+ \Delta x)}{\Delta x}$$
Выберите один из вариантов
Случайная величина $$X$$ задана функцией распределения:
$$F(x)=\begin{cases} 0, x\leq 0,\\ \textrm{arctg}x, 0 \lt x\leq 0,25\pi,\\ 1, x > 0,25\pi. \end{cases}$$
Математическое ожидание квадрата $$CBX$$ равно:
Математическое ожидание квадрата непрерывной $$CBX$$ с плотностью распределения $$p(x)$$, все значения которой принадлежат отрезку $$[\alpha; \beta]$$, находят по формуле:
$$M(X^2)=\int_{\alpha }^{\beta }x^2p(x)dx$$.
- Найдем функцию плотности вероятностей:
$$p(x)=\begin{cases} 0, x\leq 0,\\ \frac{1}{1+x^2}, 0 \lt x\leq 0,25\pi,\\ 0, x > 0,25\pi. \end{cases}$$ - Найдем математическое ожидание квадрата $$CBX$$:
$$M(X^2)=\int_0^{0,25\pi} \frac{x^2dx}{1+x^2}$$, $$M(X^2)=\int_0^{0,25\pi} \frac{(1+x^2)-1}{1+x^2}dx$$,
$$M(X^2)=\int_0^{0,25\pi} 1-\frac{1}{1+x^2}dx$$, $$M(X^2)=(x-\textrm{arctg}x)|_0^{0,25\pi}$$,
$$M(X^2)=0,25\pi-1$$.
Табличные интегралы:
- $$\int dx=x+C$$;
- $$\int \frac{dx}{1+x^2}=\textrm{arctg}x+C$$.
Выберите один из вариантов
Известна функция плотности вероятностей:
$$p(x)=\begin{cases} 0,x\leq 0 ,\\ \textrm{cos} {x},0 < x\leq 0,5\pi,\\ 0,x > 0,5\pi. \end{cases}$$
Вероятность того, что $$CBX$$ примет значение из промежутка $$[0,25\pi;0,5\pi]$$, равна:
Вероятность того, что $$CBX$$ примет значение из промежутка $$[0,25\pi;0,5\pi]$$, равна:
Вероятность того, что непрерывная $$CBX$$ примет значение из промежутка $$[\alpha;\beta)$$ можно найти по формуле:
$$P(\alpha \leq X<\beta )=\int_{\alpha }^{\beta }p(x)dx$$.
Так как при $$0,25\pi \leq x\leq 0,5\pi$$ функция плотности вероятностей имеет вид $$p(x)= \textrm{cos}x$$, то:
$$p=\int_{0,25\pi}^{0,5\pi}\textrm{cos}xdx$$,
$$p=\textrm{sin}x|_{0,25\pi}^{0,5\pi}$$,
$$p=\textrm{sin}0,5\pi-\textrm{sin}0,25\pi$$,
$$p=1-\frac{\sqrt{2}}{2}$$.
Вероятность того, что непрерывная $$CBX$$ примет значения из промежутков $$(\alpha ;\beta )$$, $$(\alpha ;\beta ]$$ и $$[\alpha ;\beta ]$$ также находят по формуле:
$$P(\alpha \leq X<\beta )=\int_{\alpha }^{\beta }p(x)dx$$.
Выберите один из вариантов
Случайная величина $$X$$ задана функцией плотности вероятностей:
$$p(x)=\begin{cases} 0, x\leq 0 ,\\ 2\textrm{cos}2x, 0 \lt x\leq 0,25\pi,\\ 0, x > 0,25\pi. \end{cases}$$
Математическое ожидание равно:
- Математическое ожидание непрерывной $$CBX$$ с плотностью распределения $$p(x)$$, все значения которой принадлежат отрезку $$[\alpha; \beta]$$, находят по формуле:
$$M(X)=\int_{\alpha }^{\beta }xp(x)dx$$. - Формула интегрирования по частям:
$$\int u\cdot dv=u\cdot v-\int v\cdot du$$.
Математическое ожидание:
$$M(X)=2\int_{0}^{0,25\pi}x\textrm{cos}2xdx$$.
Применим формулу интегрирования по частям:
Применим формулу интегрирования по частям:
- 1) если $$u=x$$, то $$du=dx$$;
- если $$dv=\textrm{cos}2xdx$$, то $$v=\frac{1}{2}\int \textrm{cos}2xd(2x)$$, $$v=\frac{1}{2}\textrm{sin}2x$$.
Формула изменения дифференциала:
$$\int f(x)dx=\int \frac{f(x)d(g(x))}{g'(x)}$$.
Выберите один из вариантов
Случайная величина $$X$$ задана функцией плотности распределения вероятностей:
$$p(x)=\begin{cases} 0,x\leq 0 ,\\ x, 0 < x\leq 1,\\0, x > 1.\end{cases}$$
Среднее квадратическое отклонение $$CBX$$ равно:
- Дисперсию непрерывной $$CBX$$ с плотностью распределения $$p(x)$$, все значения которой принадлежат отрезку $$[\alpha; \beta]$$, находят по формуле:
$$D(X)=M(X^2)-M^2(X)$$. - Математическое ожидание $$CBX$$:
$$M(X)=\int_{\alpha }^{\beta }xp(x)dx2$$. - Математическое ожидание квадрата $$CBX$$:
$$M(X^2)=\int_{\alpha }^{\beta }x^2p(x)dx$$. - Среднеквадратическое отклонение $$CBX$$:
$$\sigma(X)=\sqrt{D(X)}$$.
- Найдем математическое ожидание $$CBX$$:
$$M(X)=\int_{0}^{1}x^2dx=\frac{x^3}{3}|_{0}^{1}=\frac{1}{3}$$. - Найдем математическое ожидание квадрата $$CBX$$:
$$M(X^2)=\int_{0}^{1}x^3dx=\frac{x^4}{4}|_{0}^{1}=\frac{1}{4}$$. - Найдем дисперсию $$CBX$$:
$$D(X)=\frac{1}{4}-\frac{1}{9}=\frac{5}{36}$$. - Найдем среднеквадратическое отклонение $$CBX$$:
$$\sigma (X)=\sqrt{\frac{5}{36}}=\frac{\sqrt{5}}{6}$$.
Если все значения $$CBX$$ принадлежат промежутку $$(-\infty ;+\infty )$$, то
$$D(X)=\int_{-\infty }^{+\infty }x^2p(x)dx-(M(X))^2$$,
при условии, что интеграл сходится.
Выберите один из вариантов
Случайная величина $$X$$ задана функцией распределения:
$$F(x)=\begin{cases} 0, x\leq 1,\\ f(x), 1 \lt x\leq 2,\\ 1, x \gt 2. \end{cases}$$
Функция $$f(x)$$ имеет вид:
Свойства функции распределения вероятностей:
- $$0 \leq F(x) \leq 1$$;
- функция $$F(x)$$ неубывающая;
- функция $$F(x)$$ непрерывна слева.
- Пусть $$f(x)=2-2^x$$.
Найдем ее значения на отрезке $$[1; 2]$$: $$f(1)=2-2=0$$, $$f(2)=2-4=-2\ne 1$$.Следовательно, $$f(x)\ne 2-2^x$$. - Пусть $$f(x)=\textrm{arctg}(x-1)$$.
Найдем ее значения на отрезке $$[1; 2]$$: $$f(1)=0$$, $$f(2)=0,25\pi \ne 1$$.
Следовательно, $$f(x)\ne \textrm{arctg}(x-1)$$. - Пусть $$f(x)=-x^2+4x-3$$.
Найдем ее значения на отрезке $$[1; 2]$$: $$f(1)=1\ne 0$$, $$f(2)=1$$.
Следовательно, $$f(x)= x^2-2x+1$$ (Рис. 1). - Пусть $$f(x)=(x-1)^3$$.
Найдем ее значения на отрезке $$[1; 2]$$: $$f(1)=0$$, $$f(2)=1$$.
Следовательно, $$f(x)=(x-1)^3$$ (Рис. 2). - Пусть $$f(x)=\textrm{ln}x$$.
Найдем ее значения на отрезке $$[1; 2]$$: $$f(0)=1= 0$$, $$f(2) \ne 1$$.
Следовательно, $$f(x)\ne \textrm{ln}x$$.
- На Рисунке 3 изображен график плотности вероятностей функции
$$F(x)=\begin{cases} 0, x\leq 1,\\ -x^2+4x-3, \lt x\leq 2,\\ 1, x \gt 2. \end{cases}$$ - На Рисунке 4 изображен график плотности вероятностей функции
$$F(x)=\begin{cases} 0, x\leq 1,\\ (x-1)^3, 1 \lt x\leq 2,\\ 1, x \gt 2. \end{cases}$$
Выберите несколько вариантов ответов
Случайная величина $$X$$ задана функцией распределения: 
$$F(x)=\begin{cases} 0, x\leq 0,\\ \textrm{sin}x, 0 \lt x\leq 0,5\pi,\\ 1, x > 0,5\pi. \end{cases}$$
График функции плотностей вероятностей имеет вид:
Если $$F(x)$$ – функция распределения вероятностей, то функцию плотности вероятностей находят по формуле:
$$p(x)=F'(x)$$.
Найдем функцию плотностей вероятностей: 
$$p(x)=\begin{cases} 0', x\leq 0,\\ (\textrm{sin}x) ', 0 \lt x\leq 0,5\pi,\\ 1', x > 0,5\pi, \end{cases}$$
$$p(x)=\begin{cases} 0, x\leq 0,\\ \textrm{cos}x, 0 \lt x\leq 0,5\pi,\\ 0, x > 0,5\pi. \end{cases}$$
График этой функции изображен на Рисунке 4.
На Рисунке 1 изображен график функции распределения вероятностей:
$$F(x)=\begin{cases} 0, x\leq 0,\\ \textrm{sin}x, 0 \lt x\leq 0,5\pi,\\ 1, x > 0,5\pi. \end{cases}$$
Выберите один из вариантов
Случайная величина $$X$$ задана функцией распределения:
$$F(x)=\begin{cases} 0, x\leq 0,\\ \textrm{arcsin}x, 0 \lt x\leq 1,\\ 1, x > 1. \end{cases}$$
Квадрат математического ожидания случайной величины $$X$$ равен:
Математическое ожидание непрерывной $$CBX$$ с плотностью распределения $$p(x)$$, все значения которой принадлежат отрезку $$[\alpha; \beta]$$, находят по формуле:
$$M(X)=\int_{\alpha }^{\beta }xp(x)dx$$.
- Найдем функцию плотности вероятностей:
$$p(x)=\begin{cases} 0, x\leq 0,\\ \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, 0 \lt x\leq 1,\\ 0, x > 1. \end{cases}$$ - Найдем математическое ожидание:
$$M(X)=\int_0^1 \frac{xdx}{\sqrt{1-x^2}}$$, $$M(X)=\int_0^1 \frac{xd(1-x^2)}{\sqrt{1-x^2}(-2x)}$$,
$$M(X)=-\frac{1}{2}\int_0^1 \frac{d(1-x^2)}{\sqrt{1-x^2}}$$, $$M(X)=-\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{1-x^2}|_0^1$$,
$$M(X)=-\sqrt{1-x^2}|_0^1=1$$. - Найдем квадрат математического ожидания: $$M^2(X)=1^2=1$$.
- Формула изменения дифференциала:
$$\int f(x)dx=\int \frac{f(x)d(g(x))}{g'(x)}$$. - Табличный интеграл:
$$\int \frac{dx}{\sqrt x}=2\sqrt x+C$$.
Введите ответ в поле
Известна функция распределения случайной величины:
$$F(x)=\begin{cases} 0,x\leq 0 ,\\ \textrm{sin} {x},0 < x\leq 0,5\pi,\\1, x > 0,5\pi.\end{cases}$$
Вероятность того, что $$CBX$$ примет значение из промежутка $$[0,5\pi;\pi)$$, равна:
Вероятность того, что непрерывная $$CBX$$ примет значение из промежутка $$[\alpha; \beta )$$ можно найти по формуле:
$$P(\alpha \leq X < \beta)=F(\beta)-F(\alpha)$$.
Так как при $$x=0,5\pi$$ функция распределения имеет вид $$F(x)=\sin x$$,
а при $$x=\pi$$ функция распределения имеет вид $$F(x)=1$$, то:
$$p=P(0,5\pi \leq X<\pi)$$,
$$p=F(\pi)-F(0,5\pi)$$,
$$p=1-\sin 0,5\pi$$,
$$p=1-1=0$$.
Вероятность того, что непрерывная $$CBX$$примет значения из промежутков $$(\alpha; \beta )$$ , $$[\alpha; \beta ]$$ и $$(\alpha; \beta ]$$ также находят по формуле:
$$P(\alpha \leq X < \beta)=F(\beta)-F(\alpha)$$,
так как вероятность того, что $$CBX$$ примет только одно значение из заданного промежутка, равна нулю: $$P(X=\alpha)=0$$, $$P(X=\beta)=0$$.
Введите ответ в поле
Случайная величина $$X$$ задана функцией распределения:
$$F(x)=\begin{cases}0,x\leq -0,5, \\ 2x+1, -0,5< x\leq 0,\\1, x > 0.\end{cases}$$
Математическое ожидание равно:
Математическое ожидание равно:
- Если $$F(x)$$ – функция распределения вероятностей, то функцию плотности вероятностей находят по формуле:
$$p(x)=F'(x)$$. - Математическое ожидание непрерывной $$CBX$$ с плотностью распределения $$p(x)$$, все значения которой принадлежат отрезку $$[\alpha; \beta]$$, находят по формуле:
$$M(X)=\int_{\alpha }^{\beta }xp(x)dx$$.
- Найдем функцию плотности вероятностей:
$$p(x)=\begin{cases} 0', x\leq -0,5,\\ (2x+1) ', -0,5 \lt x\leq 0,\\ 1', x > 0; \end{cases}$$ $$p(x)=\begin{cases} 0, x\leq -0,5,\\ 2, -0,5 \lt x\leq 0,\\ 0, x > 0. \end{cases}$$ - Найдем математическое ожидание:
$$M(X)=\int_{-0,5}^0 2xdx$$, $$M(X)=x^2|_{-0,5}^0=-0,25$$.
Если все значения $$CBX$$ принадлежат промежутку $$(-\infty ;+\infty )$$, то
$$M(X)=\int_{-\infty }^{+\infty }xp(x)dx$$,
при условии, что интеграл сходится.
Введите ответ в поле