Загрузка

Законы распределения случайных величин

В цехе имеется $$15$$ станков. Вероятность того, что каждый из станков находится в рабочем состоянии, равна $$80$$ %. Среднее значение числа рабочих станков равно:

Математическое ожидание $$CBX$$ , распределенной по биномиальному закону, находят по формуле:

$$M(X)=np$$.

Запишем параметры распределения:
$$n=15$$ , $$p=0,8$$.
Найдем математическое ожидание:
$$M(X)=15\cdot 0,8=12$$.

Числа $$n$$ и $$p$$ называют параметрами биномиального распределения $$CBX$$.

Выберите один из вариантов

В цехе имеется $$15$$ станков. Вероятность того, что каждый из станков находится в рабочем состоянии, равна $$80$$ %. Наивероятнейшее число станков, которые не будут работать, равно:

Наивероятнейшим числом появления события $$A$$ называют такое число $$k_0$$, которому соответствует наибольшая биномиальная вероятность $$P_n(k_0)$$.

Наивероятнейшее число $$k_0$$ находят их системы неравенств:

$$np-q < k_0 < np+p$$.

Так как $$n=15$$, $$q=0,8$$, а $$p=1-0,8=0,2$$, то

$$15\cdot 0,2-0,8 < k_0 < 15\cdot 0,2+0,2$$

$$3-0,8 < k_0 < 3+0,2$$,

$$2,2 < k_0 < 3,2$$, откуда $$k_0=3$$.

Наивероятнейшее число $$k_0$$ принимает только целые значения.

Выберите один из вариантов

В каждой из четырех урн имеется по $$6$$ синих и $$3$$ красных шара. Из всех урн извлекают по одному шару. Вероятность того, что красный шар появится $$3$$ раза, равна:

Вероятность того, что в серии из $$n$$ независимых испытаний событие $$A$$ появится ровно $$k$$ раз (биномиальную вероятность) можно найти по формуле Бернулли:

$$P_n(k)=C_n^kp^kq^{n-k}$$,

где $$p$$ – вероятность появления события $$A$$ в каждом испытании,

$$C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}$$.

Найдем вероятность извлечения красного шара из каждой урны (появление события $$A$$):

$$P(A)=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}=p$$ .

Тогда, $$P(\overline{A})=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}=q$$ .

По формуле Бернулли найдем вероятность того, что событие $$A$$ появится $$3$$ раза: $$P_4(3)=C_4^3p^3q^{4-3}=\frac{4!}{3!\cdot 1!}\cdot \left ( \frac{1}{3} \right )^3\cdot \left ( \frac{2}{3} \right )^1=\frac{4}{1}\cdot \frac{1}{27}\cdot \frac{2}{3}=\frac{8}{81}$$ .

$$1!=1$$ и $$0!=1$$.
Выберите один из вариантов

В каждой из четырех урн имеется по $$6$$ синих и $$3$$ красных шара. Из всех урн извлекают по одному шару. Вероятность того, что синий шар появится не более двух раз, равна:

Вероятность того, что в серии из $$n$$ независимых испытаний событие $$A$$ появится ровно $$k$$ раз (биномиальную вероятность) можно найти по формуле Бернулли:

$$P_n(k)=C_n^kp^kq^{n-k}$$ ,

где $$p$$ – вероятность появления события $$A$$ в каждом испытании,

$$C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}$$.

Найдем вероятность извлечения синего шара из каждой урны (появление события $$A$$):

$$P(A)=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}=p$$ .

Тогда, $$P(\overline{A})=1-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}=q$$ .

Найдем вероятность того, что событие $$A$$ появится не более двух раз:

$$P_4(0)+P_4(1)+P_4(2)=C_4^0p^0q^4+C_4^1p^1q^3+C_4^2p^2q^2=$$

$$=\frac{4!}{4!\cdot 0!}\cdot \left ( \frac{2}{3} \right )^0\cdot \left ( \frac{1}{3} \right )^4+\frac{4!}{1!\cdot 3!}\cdot \left ( \frac{2}{3} \right )^1\cdot \left ( \frac{1}{3} \right )^3+$$

$$+\frac{4!}{2!\cdot 2!}\cdot \left ( \frac{2}{3} \right )^2\cdot \left ( \frac{1}{3} \right )^2=$$

$$=1\cdot 1\cdot \frac{1}{81}+\frac{4}{1}\cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{1}{27}+\frac{6}{1}\cdot \frac{4}{9}\cdot \frac{1}{9}=\frac{33}{81}$$ .

Эту задачу можно решить иначе.
Поскольку сумма всех биномиальных вероятностей равна единице, то

$$P_4(0)+P_4(1)+P_4(2)=1-P_4(3)-P_4(4)=1-C_4^3p^3q^1-C_4^4p^4q^0$$, $$1-\frac{4!}{3!\cdot 1!}\cdot \left ( \frac{2}{3} \right )^3\cdot \left ( \frac{1}{3} \right )^1-\frac{4!}{4!\cdot 0!}\cdot \left ( \frac{2}{3} \right )^4\cdot \left ( \frac{1}{3} \right )^0=$$
$$=1-\frac{4}{1}\cdot \frac{8}{27}\cdot \frac{1}{3}-1\cdot \frac{16}{81}\cdot 1$$ $$=\frac{33}{81}$$ .

Выберите один из вариантов

В теплице было посеяно $$200$$ семян цветов. Вероятность того, что цветок не прорастет, равна $$0,02$$. Вероятность того, что не прорастет не более трех семян, равна:

В случае, если число $$n$$ достаточное большое, а $$p$$ достаточно мало, то имеем распределение Пуассона, а вероятность того, что в серии из $$n$$ независимых испытаний событие $$A$$ появится ровно $$k$$ раз можно найти по формуле:

$$P_n(k)\approx \frac{a^ke^{-a}}{k!}$$,
где $$a=np$$параметр распределения.

Таблица значений функции $$\frac{\lambda ^k}{k!}e^{-\lambda }$$

Так как $$n=200$$ , а $$p=0,02$$ , то $$a=np=200\cdot 0,02=4$$ .

Используя формулу Пуассона и таблицу значений функции $$\frac{\lambda ^k}{k!}e^{-\lambda }$$ , получим:
$$\sum _{k=0}^3P_{200}(k)\approx P_{200}(0)+P_{200}(1)+P_{200}(2)+P_{200}(3)=$$
$$=$$ $$\frac{4^0e^{-4}}{0!}+\frac{4^1e^{-4}}{1!}+\frac{4^2e^{-4}}{2!}+\frac{4^3e^{-4}}{3!}=$$
$$=$$$$0,0183+0,0733+0,1456+0,1954=0,4326$$.

Распределение Пуассона представляет собою предельный случай биномиального распределения.

Выберите один из вариантов

Вес пойманной рыбы подчиняется нормальному закону распределения с параметрами
$$a=500$$ г и $$\sigma =25$$ г. Вероятность того, что масса пойманной рыбы составит от $$450$$ г до $$520$$ г, равна:

Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины $$X$$ в заданный интервал $$(\alpha , \beta)$$ находят по формуле:
$$P(\alpha <X<\beta )=\Phi \left ( \frac{\beta -a }{\sigma } \right )-\Phi \left ( \frac{\alpha -a}{\sigma } \right )$$,
где $$\Phi (x)$$ – функция Лапласа.

$$P(450<X<520)=\Phi \left ( \frac{520-500}{25} \right )-\Phi \left ( \frac{450-500}{25} \right )=$$
$$=\Phi (0,8)-\Phi (-2)=\Phi (0,8)+\Phi (2)=0,2881+0,4772=0,7653$$

Свойства функции Лапласа:
$$\Phi (-x)=-\Phi (x)$$ ;
$$\lim_{x\rightarrow +\infty }\Phi (x)=0,5$$.

Выберите один из вариантов

Масса моркови в одной банке салата имеет нормальное распределение с параметрами $$a=250$$ г и дисперсией $$16$$ $$г^2$$. Вероятность того, что масса моркови в наугад взятой банке отличается от среднего значения не более чем на $$5$$ г, равна:

Вероятность отклонения случайной величины $$X$$ от математического ожидания на величину не превышающую $$\delta$$ находят по формуле:

$$P(\left | X-a \right |<\delta )=2\Phi \left ( \frac{\delta }{\sigma } \right )$$ ,
где $$\Phi \left (\frac{\delta }{\sigma } \right )=\Phi (x)$$ – функция Лапласа.

Согласно условию задачи:

$$a=250$$ , $$\sigma =\sqrt{16}=4$$ , $$\delta =5$$ .

Тогда,

$$P(\left | X-250 \right |<5)=2\Phi \left ( \frac{5}{4} \right )=2\Phi (1,25)=2\cdot 0,3944=0,7888$$ .

$$\sigma (X)=\sqrt{D(X)}$$

Выберите один из вариантов

Длины заготовок деталей подчинены нормальному закону с параметрами
$$a=50$$ мм и $$\sigma =2$$ мм. Величина отклонения длины заготовки от нормы в $$80$$ % случаев не превзойдет:

Вероятность отклонения случайной величины $$X$$ от математического ожидания на величину не превышающую $$\delta$$ находят по формуле:

$$P(\left | X-a \right |<\delta )=2\Phi \left ( \frac{\delta }{\sigma } \right )$$ ,
где
$$\Phi \left (\frac{\delta }{\sigma } \right )=\Phi (x)$$ – функция Лапласа.

Согласно условию задачи $$P(\left | X-50 \right |<\delta )=0,8$$ .

Тогда: $$2\Phi \left ( \frac{\delta }{2} \right )=0,8$$ , откуда $$\Phi \left ( \frac{\delta }{2} \right )=0,4$$ .

Так как по таблице значений функции Лапласа:

$$\Phi (1,29)\approx 0,4$$ ,
то $$\frac{\delta }{2}=1,29$$ ,
откуда $$\delta =2,58$$ мм.

Функция Лапласа имеет вид:

$$\Phi (x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\int_{0}^{x}e^{-\frac{t^2}{2}}dt$$.

Выберите один из вариантов

Вероятность продаж товара в день составляет $$50$$ %. Вероятность того, что из партии в $$900$$ единиц товара будет продано $$460$$ штук, равна:

Локальная теорема Лапласа:

Если вероятность $$p$$ появления события $$A$$ в каждом из $$n$$ независимых испытаний постоянна, то вероятность $$P_n(k)$$ того, что во всех этих испытаниях событие $$A$$ появится ровно $$k$$ раз, приближенно выражается формулой:

$$P_n(k)\approx \frac{1}{\sqrt{npq}}\phi (x)$$ , где $$x=\frac{k-np}{\sqrt{npq}}$$ .

Значение функции $$\phi (x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}e^{-\frac{x^2}{2}}$$ находят по таблице:

Согласно условию задачи:

$$n=900$$ , $$k=460$$ , $$p=0,5$$ , $$q=1-0,5=0,5$$ .

Тогда, $$npq=900\cdot 0,5\cdot 0,5=9\cdot 25>10$$ .

Найдем аргумент функции $$\phi (x)$$ (малой функции Лапласа):

$$x=\frac{460-900\cdot 0,5}{\sqrt{9\cdot 25}}=\frac{10}{15}\approx 0,66$$ .

По таблице найдем значение малой функции Лапласа:

$$\phi (0,66)=0,3292$$ .

Найдем вероятность того, что событие произойдет $$460$$ раз:

$$P_{900}(460)\approx \frac{1}{\sqrt{9\cdot 25}}\cdot 0,3292=0,0219$$ .

Локальную теорему Лапласа применяют в случае, если $$npq>10$$.

Выберите один из вариантов

Вероятность продаж товара в день составляет $$50$$ %. Вероятность того, что из партии в $$900$$ единиц товара будет продано не менее $$500$$ и не более $$600$$ единиц, равна:

Интегральная теорема Лапласа:

Если вероятность $$p$$ появления события $$A$$ в каждом из $$n$$ независимых испытаний постоянна, то вероятность $$P_n(k_1,k_2)$$ того, что во всех этих испытаниях событие $$A$$ появится не менее $$k_1$$ раз и не более $$k_2$$ раз, приближенно выражается формулой:

$$P_n(k_1,k_2)\approx \Phi (x_2)-\Phi (x_1)$$

при $$x_1=\frac{k_1-np}{\sqrt{npq}}$$ , $$x_2=\frac{k_2-np}{\sqrt{npq}}$$ ,

где $$\Phi (x)$$ – функция Лапласа.

Согласно условию задачи:

$$n=900$$ , $$k_1=500$$ , $$k_2=600$$ , $$p=0,5$$ , $$q=0,5$$ .

Тогда, $$npq=900\cdot 0,5\cdot 0,5=9\cdot 25>10$$ .

Найдем аргументы функции Лапласа:

$$x_1=\frac{500-900\cdot 0,5}{15}=3,33$$ ,

$$x_2=\frac{600-900\cdot 0,5}{15}=10$$ .

Получим:

$$P_{900}(500;600)\approx \Phi (10)-\Phi (3,33)=0,5-0,49952=0,00048$$.

  1. Интегральную теорему Лапласа применяют в случае, если $$npq>10$$ .
  2. Так как $$\Phi (5)\approx 0,5$$ и $$\lim_{x\rightarrow +\infty }\Phi (x)=0,5$$, полагают:
    $$\Phi (x>5)=0,5$$ .

Выберите один из вариантов