Свойства пределов:

1. $$\lim_{x\rightarrow x_{0}}c=c$$;
2. $$\lim_{x\rightarrow x_{0}}x=x_{0}$$;
3. $$\lim_{x\rightarrow x_{0}}\left (c\cdot f\left ( x \right ) \right )=c\lim_{x\rightarrow x_{0}} f\left ( x \right )$$;
4. $$\lim_{x\rightarrow x_{0}}\left ( f \left( x \right )\pm g\left ( x \right ) \right )=\lim_{x\rightarrow x_{0}} f\left ( x \right )\pm \lim_{x\rightarrow x_{0}} g\left ( x \right )$$;
5. $$\lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f\left ( x \right )}{g\left ( x \right )}=$$$$\frac{\lim_{x\rightarrow x_{0}}f\left ( x \right )}{\lim_{x\rightarrow x_{0}}g\left ( x \right )}$$.

$$L=\lim_{x\rightarrow -2}\frac{7x^{2}+4x-3}{2x^{2}+3x+1}$$,
$$L=\frac{\lim_{x\rightarrow -2} (7x^{2}+4x-3 )}{\lim_{x\rightarrow -2} (2x^{2}+3x+1)}$$,
$$L=\frac{\lim_{x\rightarrow -2} 7x^{2}+\lim_{x\rightarrow -2} 4x-\lim_{x\rightarrow -2} 3}{\lim_{x\rightarrow -2}2x^{2}+\lim_{x\rightarrow -2}3x+\lim_{x\rightarrow -2}1}$$,
$$L=\frac{28-8-3}{8-6+1}=\frac{17}{3}$$.

$$\lim_{x\rightarrow a} f\left ( x \right )=f\left ( a \right )$$.

1. Неопределенность $$\frac{0}{0}$$ может возникнуть при нахождении предела дробно-рациональных функций $$y=\frac{f\left ( x \right )}{g\left ( x \right )}$$ при $$x\rightarrow a$$. 
2. Чтобы раскрыть эту неопределенность, необходимо сократить дробь на критический множитель $$x-a$$.

1. Так как $$f(2)=\frac{4-4}{4-4}=\frac{0}{0}$$, то необходимо сократить дробь на критический множитель $$x-2$$. 
2. Для этого разложим числитель и знаменатель дроби на множители:
   $$P={\lim_{x\rightarrow 2}}\frac{x\left ( x-2 \right )}{\left ( x-2 \right )\left (x+2 \right )}$$.
3. Найдем предел:
   $$P=\lim_{x\rightarrow 2}\frac{x}{x+2}=\frac{2}{4}=0,5$$.

Разложить многочлены на множители можно различными способами.

1. Вынесение общего множителя за скобки.
2. Способ группировки.
3. Формулы сокращенного умножения:

   разность квадратов: $$a^{2}-b^{2}=\left ( a-b \right )\left ( a+b \right )$$,

   квадрат суммы (разности): $$a^{2}\pm 2ab+b^{2}=\left (a \pm b \right )^{2}$$,

   сумма (разность) кубов: $$a^3\pm b^3=(a\pm b)(a^2\mp ab+b^2)$$.

4. Формула разложения квадратного трехчлена на множители:

   $$ax^{2}+bx+c=a\left ( x-x_{1} \right )\left ( x-x_{2} \right )$$,

   где $$x_{1}$$ и $$x_{2}$$ - корни этого трехчлена.

5. Делением многочленов уголком.

1. Если имеем неопределенность вида $$\infty \pm \infty$$, то необходимо ее преобразовать в неопределенность $$\frac{\infty}{\infty}$$. 
2. Чтобы раскрыть неопределенность $$\frac{\infty }{\infty }$$, необходимо числитель и знаменатель дроби разделить на высшую степень переменной знаменателя.

1. Так как имеем неопределенность вида $$\infty+\infty$$, то выполним преобразования: $$2x+\frac{x}{x^{2}+3}=\frac{2x^{3}+6x+x}{x^{2}+3}=\frac{2x^{3}+7x}{x^{2}+3}$$.
   Получим неопределенность вида $$\frac{\infty}{\infty}$$. 
2. Разделим числитель и знаменатель дроби на $$x^{2}$$:
   $$L=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{2x+\frac{7}{x}}{1+\frac{3}{x}}$$.
3. Найдем предел:
   $$L=\frac{\lim_{x\rightarrow\infty}2x+\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{7}{x}}{\lim_{x\rightarrow\infty}1+\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{3}{x}}$$, $$L=\frac{\infty+0}{1+0}=\infty$$.

$$\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{1}{x}=0$$;
$$\lim_{x\rightarrow \infty}x=\infty$$.

1. Чтобы раскрыть неопределенность $$\frac{\infty}{\infty}$$ необходимо числитель и знаменатель дроби разделить на высшую степень переменной знаменателя. 
2. Свойства пределов:
   $$\lim_{x \rightarrow\infty}\frac{1}{x}=0$$; $$\lim_{x\rightarrow\infty}c=c$$.

1. Разделим числитель и знаменатель дроби на $$x^{2}$$:
   $$L=\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{\frac{x}{x^2}+\frac{3}{x^2}}{\frac{1}{x^2}+\frac{\sqrt{4x^{4}-2x}}{x^2}}$$,
   $$L=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{\frac{1}{x}+\frac{3}{x^{2}}}{\frac{1}{x^{2}}+\sqrt{4-\frac{2} {x^{3}}}}$$. 
2. Найдем значение предела:
   $$L=\frac{0+0}{0+\sqrt{4-0}}=0$$.

$$\lim_{x\rightarrow a-0} f\left ( x \right )=\infty$$, $$\lim_{x\rightarrow a+0} f\left ( x \right )=\infty$$.

1. Найдем область определения функции:

   $$D \left ( f \right )=\textrm{R}/x\neq \pm 3$$.

2. Так как $$\lim_{x\rightarrow 3} \frac{3-x}{\left (x-3 \right )\left (x+3 \right )}=\lim_{x\rightarrow 3} \frac{-1}{x+3}=-\frac{1}{6}$$,

   а $$\lim_{x\rightarrow -3} \frac{3-x}{\left (x-3 \right )\left (x+3 \right )}=\lim_{x\rightarrow -3} \frac{-1}{x+3}=-\infty$$, 
   то $$x=-3$$ $$-$$ вертикальная асимптота.

1. Асимптотой линии называют прямую, к которой неограниченно приближается данная линия, когда ее точка неограниченно удаляется от начала координат. 
2. Вертикальные асимптоты необходимо искать среди точек разрыва функции.

1. Чтобы раскрыть неопределенность $$\frac{0}{0}$$ в точке $$x=a$$, необходимо сократить дробь на критический множитель $$x-a$$.
2. Формула разложения квадратного трехчлена на множители:
   $$ax^{2}+bx+c=a\left ( x-x_{1} \right )\left ( x-x_{2} \right )$$,

   где $$x_{1}$$ и $$x_{2}$$ $$-$$ корни этого трехчлена.

1. Найдем значение функции $$f(x)=\frac{-5x^{2}+11x-2}{3x^{2}-x-10}$$ в точке $$x=2$$:
   $$f(2)=\frac{-5\cdot 4+11\cdot 2-2}{3\cdot 4-2-10}=\frac{0}{0}$$.
   Так как имеем неопределенность вида $$\frac{0}{0}$$, то необходимо сократить дробь $$\frac{-5x^{2}+11x-2}{3x^{2}-x-10}$$ на критический множитель $$x-2$$.
2. Разложим числитель дроби на множители.
   Найдем корни квадратного трехчлена $$f_1(x)=-5x^{2}+11x-2$$:
   $$D=121-40=81$$, $$x_{1}=\frac{-11-9}{-10}=2$$, $$x_{2}=\frac{-11+9}{-10}=\frac{1}{5}$$.
   Запишем разложение трехчлена на множители:
   $$f_1(x)=-5\left (x-2 \right )\left (x-\frac{1}{5} \right )$$,
   $$f_1(x)=\left (x-2 \right )\left (-5x+1 \right )$$. 
3. Разложим  знаменатель дроби на множители.
   Найдем корни квадратного трехчлена $$f_2(x)=3x^{2}-x-10$$:
   $$D=1+120=121$$, $$x_{1}=\frac{1-11}{6}=-\frac{5}{3}$$, $$x_{2}=\frac{1+11}{6}=2$$.
   Запишем разложение трехчлена на множители:
   $$f_2(x)=3\left (x+\frac{5}{3} \right )\left (x-2 \right )$$,
   $$f_2(x)=\left (3x+5 \right )\left (x-2 \right )$$. 
4. Вычислим предел:
   $$L=\lim_{x\rightarrow 2}\frac{\left (x-2 \right )\left (-5x+1 \right )}{\left (3x+5 \right )\left (x-2 \right )}$$, $$L=\lim_{x\rightarrow 2}\frac{-5x+1}{3x+5}=-\frac{9}{11}$$.
   Тогда, $$\left (-\frac{9}{11} \right )^{-1}=-\frac{11}{9}$$.

Число, обратное числу $$a\ne 0$$, находят по формуле: $$a^{-1}=\frac{1}{a}$$.

1. Чтобы раскрыть неопределенность $$\frac{\infty }{\infty }$$, необходимо числитель и знаменатель дроби разделить на высшую степень переменной знаменателя.
2. Свойство пределов:

   $$\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{1}{x}=0$$.

1. Разделим числитель и знаменатель дроби на $$x^{3}$$:
   $$L=\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{\frac{6}{x^{3}}-20}{4+\frac{5}{x^{2}}-\frac{2}{x^{3}}}$$.
2. Найдем предел:
   $$L=\frac{\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{6}{x^{3}}-\lim_{x\rightarrow \infty }20}{\lim_{x\rightarrow \infty }4+\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{5}{x^{2}}-\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{2}{x^{3}}}$$,
   $$L=\frac{0-20}{4+0-0}=-5$$. 
3. Найдем абсолютную величину предела: $$\left | -5 \right |=5$$.

Абсолютная величина числа $$-$$ это модуль этого числа.

1. Асимптотой линии называют прямую, к которой неограниченно приближается данная линия, когда ее точка неограниченно удаляется от начала координат. 
2. Уравнение наклонной асимптоты функции $$y=f\left ( x \right )$$ имеет вид: $$y=kx+b$$, где
   $$k=\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{f\left ( x \right )}{x}$$,
   $$b=\lim_{x\rightarrow \infty } \left (f\left ( x \right )-kx \right )$$.

1. Найдем $$k$$:
   $$k=\lim_{x\rightarrow \infty } \frac{x^{2}+5x}{\left (x-3 \right )x}$$, $$k=\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{x+5}{x-3}$$, $$k=\lim_{x\rightarrow \infty } \frac{1+\frac{5}{x}}{1-\frac{3}{x}}=\frac{1+0}{1-0}=1$$. 
2. Найдем $$b$$:
   $$b=\lim_{x\rightarrow \infty }\left ( \frac{x^{2}+5x}{x-3}-x \right )$$, $$b=\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{x^{2}+5x-x^{2}+3x}{x-3}$$, $$b=\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{8x}{x-3}=\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{8}{1-\frac{3}{x}}=8$$. 
3. Наклонная асимптота: $$y=x+8$$.

Если $$k=0$$ , то имеем горизонтальную асимптоту $$y=b$$.

1. Чтобы раскрыть неопределенность $$\frac{0}{0}$$ в точке $$x=a$$, необходимо сократить дробь на критический множитель $$x-a$$. 
2. Если имеем дробно-иррациональную функцию, то предварительно необходимо умножить числитель и знаменатель дроби на выражение сопряженное выражению, содержащему радикал.

1. Умножим числитель и знаменатель дроби на выражение $$\sqrt{x+14}+4$$:
   $$P=\lim_{x\rightarrow 2}\frac{ (\sqrt{x+14}-4) (\sqrt{x+14}+4 )}{(x^{3}-8)( \sqrt{x+14}+4)}$$.  
2. Применим формулы разности квадратов и разности кубов:
   $$P=\lim_{x\rightarrow 2}\frac{x+14-16}{( x^{3}-8 )({\sqrt{x+14}+4)}}$$,
   $$P=\lim_{x\rightarrow 2}\frac{x-2}{\left (x-2 \right )\left (x^{2}+2x+4 \right )(\sqrt {x+14}+4}$$,
   $$P=\lim_{x\rightarrow 2}\frac{1}{\left (x^{2}+2x+4 \right )\left ( \sqrt{x+14}+4 \right )}$$,
   $$P=\frac{1}{12\cdot 8}=\frac{1}{96}$$.

Формулы сокращенного умножения:

1. разности квадратов: $$a^{2}-b^{2}=\left ( a-b \right )\left ( a+b \right )$$;
2. суммы (разности) кубов: $$a^{3}\pm b^{3}=\left ( a\pm b \right )\left ( a^{2}\mp ab+b^{2} \right )$$ .

$$\lim_{x \rightarrow a }\left(f(x)\right)^{g(x)}=\left(\lim_{x \rightarrow a }f(x)\right)^{\lim_{x \rightarrow a }g(x)}$$.

$$L=\lim_{x \rightarrow -1 }\left(x^{2}+5x\right)^{3x+2}$$,
$$L=\left(\lim_{x \rightarrow -1 }(x^{2}+5x)\right)^{\lim_{x \rightarrow -1}(3x+2)}$$,
$$L=(1-5)^{(-3+2)}=-0,25$$.

$$a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}$$, где $$a \neq 0$$.