Загрузка

Предел числовой последовательности и функции

Значение предела $$\lim_{x\rightarrow -2}\frac{7x^{2}+4x-3}{2x^{2}+3x+1}$$ равно:

Свойства пределов:

  1. $$\lim_{x\rightarrow x_{0}}c=c$$;
  2. $$\lim_{x\rightarrow x_{0}}x=x_{0}$$;
  3. $$\lim_{x\rightarrow x_{0}}\left (c\cdot f\left ( x \right ) \right )=c\lim_{x\rightarrow x_{0}} f\left ( x \right )$$;
  4. $$\lim_{x\rightarrow x_{0}}\left ( f \left( x \right )\pm g\left ( x \right ) \right )=\lim_{x\rightarrow x_{0}} f\left ( x \right )\pm \lim_{x\rightarrow x_{0}} g\left ( x \right )$$;
  5. $$\lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f\left ( x \right )}{g\left ( x \right )}=$$$$\frac{\lim_{x\rightarrow x_{0}}f\left ( x \right )}{\lim_{x\rightarrow x_{0}}g\left ( x \right )}$$.

    $$\lim_{x\rightarrow -2}\frac{7x^{2}+4x-3}{2x^{2}+3x+1}=$$
$$=\frac{\lim_{x\rightarrow -2}  (7x^{2}+4x-3  )}{\lim_{x\rightarrow -2} (2x^{2}+3x+1)}=$$
$$=\frac{\lim_{x\rightarrow -2} 7x^{2}+\lim_{x\rightarrow -2} 4x-\lim_{x\rightarrow -2} 3}{\lim_{x\rightarrow -2}2x^{2}+\lim_{x\rightarrow -2}3x+\lim_{x\rightarrow -2}1}$$$$=\frac{28-8-3}{8-6+1}=\frac{17}{3}$$.

Если функция $$y=f\left ( x \right )$$ непрерывна в точке $$a$$, то предел функции равен значению функции в этой точке:

$$\lim_{x\rightarrow a} f\left ( x \right )=f\left ( a \right )$$.

Выберите один из вариантов

Предел функции $$f(x)=\frac{x^{2}-2x}{x^{_{2}}-4}$$ в точке $$x=2$$ равен:

Неопределенность $$\frac{0}{0}$$ может возникнуть при нахождении предела дробно-рациональных функций $$y=\frac{f\left ( x \right )}{g\left ( x \right )}$$ при $$x\rightarrow a$$. Чтобы раскрыть эту неопределенность, необходимо сократить дробь на критический множитель $$x-a$$ .

Так как $$\lim_{x\rightarrow 2}\frac{x^{2}-2x}{x^{_{2}}-4} =\frac{4-4}{4-4}=\frac{0}{0}$$ , то необходимо сократить дробь на критический множитель $$x-2$$.

Для этого разложим числитель и знаменатель дроби на множители и получим: $${\lim_{x\rightarrow 2}}\frac{x\left ( x-2 \right )}{\left ( x-2 \right )\left (x+2 \right )}=\lim_{x\rightarrow 2}\frac{x}{x+2}=\frac{2}{4}=0, 5$$.

Разложить многочлены на множители можно различными способами:

  1. вынесением общего множителя за скобки;
  2. способом группировки;
  3. по формулам сокращенного умножения:

    разности квадратов: $$a^{2}-b^{2}=\left ( a-b \right )\left ( a+b \right )$$,

    квадрата суммы (разности): $$a^{2}\pm 2ab+b^{2}=\left (a \pm b \right )^{2}$$,

    суммы (разности) кубов: $$a^3\pm b^3=(a\pm b)(a^2\mp ab+b^2)$$;

  4. по формуле разложения квадратного трехчлена на множители:

    $$ax^{2}+bx+c=a\left ( x-x_{1} \right )\left ( x-x_{2} \right )$$,

    где $$x_{1}$$ и $$x_{2}$$ - корни этого трехчлена;

  5. делением многочленов уголком.
Выберите один из вариантов

Число, обратное значению предела $$\lim_{x\rightarrow 2}\frac{-5x^{2}+11x-2}{3x^{2}-x-10}$$, равно:

  1. Чтобы раскрыть неопределенность $$\frac{0}{0}$$, необходимо сократить дробь на критический множитель $$x-a$$ .
  2. Формула разложения квадратного трехчлена на множители: $$ax^{2}+bx+c=a\left ( x-x_{1} \right )\left ( x-x_{2} \right )$$,

    где $$x_{1}$$ и $$x_{2}$$ $$-$$ корни этого трехчлена.

Разложим числитель и знаменатель дроби на множители:

  1. Найдем корни квадратного трехчлена $$-5x^{2}+11x-2$$:

    $$D=121-40=81$$, $$x_{1}=\frac{-11-9}{-10}=2$$, $$x_{2}=\frac{-9+11}{-10}=\frac{1}{5}$$.

    Запишем:

    $$-5x^{2}+11x-2=-5\left ( x-2 \right )\left ( x-\frac{1}{5} \right )=\left ( x-2 \right )\left ( -5x+1 \right )$$.

  2. Найдем корни квадратного трехчлена $$3x^{2}-x-10$$:

    $$D=1+120=121$$, $$x_{1}=\frac{1-11}{6}=-\frac{5}{3}$$, $$x_{2}=\frac{1+11}{6}=2$$.

    Запишем:

    $$3x^{2}-x-10=3\left ( x+\frac{5}{3} \right )\left ( x-2 \right )=\left ( 3x+5 \right )\left ( x-2 \right )$$.

Вычислим предел:

$$\lim_{x\rightarrow 2}\frac{\left (x-2 \right )\left (-5x+1 \right )}{\left (3x+5 \right )\left (x-2 \right )}=\lim_{x\rightarrow 2}\frac{-5x+1}{3x+5}=-\frac{9}{11}$$.

Тогда, $$\left ( -\frac{9}{11} \right )^{-1}=-\frac{11}{9}$$.

Число, обратное числу $$a$$, находят по формуле: $$a^{-1}=\frac{1}{a}$$.

Выберите один из вариантов

Значение предела $$\lim_{x\rightarrow 2}\frac{\sqrt{x+14}-4}{x^{3}-8}$$ равно:

Чтобы раскрыть неопределенность $$\frac{0}{0}$$, необходимо сократить дробь на критический множитель $$x-a$$ .

Если имеем дробно-иррациональную функцию, то предварительно необходимо умножить числитель и знаменатель дроби на выражение сопряженное выражению, содержащему радикал.

Умножим числитель и знаменатель дроби на выражение $$\sqrt{x+14}+4$$ и применим формулы разности квадратов и разности кубов: 
$$\lim_{x\rightarrow 2}\frac{ (\sqrt{x+14}-4  ) (\sqrt{x+14}+4  )}{(x^{3}-8)( \sqrt{x+14}+4)}=$$ $$\lim_{x\rightarrow 2}\frac{x+14-16}{( x^{3}-8 )({\sqrt{x+14}+4)}}=$$
$$=\lim_{x\rightarrow 2}\frac{x-2}{\left (x-2 \right )\left (x^{2}+2x+4 \right )(\sqrt {x+14}+4) } =$$
$$=\lim_{x\rightarrow 2}\frac{1}{\left (x^{2}+2x+4 \right )\left ( \sqrt{x+14}+4 \right )}$$$$=\frac{1}{12\cdot 8}=\frac{1}{96}$$.

Формулы сокращенного умножения:

  1. разности квадратов: $$a^{2}-b^{2}=\left ( a-b \right )\left ( a+b \right )$$;
  2. суммы (разности) кубов: $$a^{3}\pm b^{3}=\left ( a\pm b \right )\left ( a^{2}\mp ab+b^{2} \right )$$ .
Выберите один из вариантов

Абсолютная величина значения предела $$\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{6-20x^{3}}{4x^{3}+5x-2}$$ равна:

  1. Чтобы раскрыть неопределенность $$\frac{\infty }{\infty }$$, необходимо числитель и знаменатель дроби разделить на высшую степень переменной знаменателя.
  2. Свойство пределов:

    $$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1}{x}=\infty$$.

Разделим числитель и знаменатель дроби на $$x^{3}$$.

Получим:

$$\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{\frac{6}{x^{3}}-20}{4+\frac{5}{x^{2}}-\frac{2}{x^{3}}}=\frac{\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{6}{x^{3}}-\lim_{x\rightarrow \infty }20}{\lim_{x\rightarrow \infty }4+\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{5}{x^{2}}-\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{2}{x^{3}}}=$$

$$=\frac{0-20}{4+0-0}=-5$$.

Тогда, $$\left | -5 \right |=5$$.

Абсолютная величина числа $$-$$ это модуль этого числа.

Выберите один из вариантов

Значение предела $$\lim_{x\rightarrow 0}\left (\frac{5x}{tg5x}+\frac{3x^{2}+2x}{x^{2}+5x}+10x^{10} \right )$$ равно:

Свойства пределов:

  1. $$\lim_{x\rightarrow x_{0}} (f ( x  )\pm g (x))=\lim_{x\rightarrow x_{0}} f ( x  )\pm \lim_{x\rightarrow x_{0}} g ( x  )$$;
  2. $$\lim_{x\rightarrow {0}} \frac{tg kx}{kx}=1$$.
$$\lim_{x\rightarrow 0} \left (\frac{5x}{tg5x}+\frac{3x^{2}+2x}{x^{2}+5x}+10x^{10} \right )=$$
$$=\lim_{x\rightarrow 0} \left (\frac{5x}{tg 5x} \right )+\lim_{x\rightarrow 0}\left (\frac{3x+2}{x+5} \right )$$
$$+\lim_{x\rightarrow 0} \left (10x^{10} \right )=$$
$$=1+\frac{2}{5}+0=\frac{7}{5}$$
.

$$\lim_{x\rightarrow 0} \frac{kx}{tgkx}=1$$

Выберите один из вариантов

Значение выражения $$5\lim_{x\rightarrow 0} \left ( \frac{sin5x}{2x} +cos7x\right )^{-1}$$ равно:

Свойства пределов:
  1. $$\lim_{x\rightarrow x_{0}} (f ( x  )\pm g ( x  )  )=\lim_{x\rightarrow x_{0}} f( x  )\pm \lim_{x\rightarrow x_{0}}g(x)$$;
  2. $$\lim_{x\rightarrow x_{0}} kf(x)=k \lim_{x\rightarrow x_{0}} f(x)$$;
  3. $$\lim_{x\rightarrow x_{0}}(f(x))^n=\left ( \lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x) \right )^n$$

Первый замечательный предел:

$$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{sinx}{x}=1$$ или $$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{sinkx}{kx}=1$$.

$$5\left (\lim_{x\rightarrow 0}\left (\frac{sin5x}{2x}+cos7x \right ) \right )^{-1}=$$

$$=5\left (\lim_{x\rightarrow 0}\frac{5}{2}\left ( \frac{sin5x}{5x}\right )+\lim_{x\rightarrow 0} \left (cos7x \right ) \right )^{-1}=$$

$$=5\left (\frac{5}{2}+1 \right )^{-1}=\frac{5\cdot 2}{7}=\frac{10}{7}$$.

$$cos 0=1$$

Выберите один из вариантов

Результат вычисления предела $$\lim_{x\rightarrow \infty }\left ( \frac{x-5}{x+4} \right )^{x}$$ равен:

$$\lim_{x\rightarrow x_{0}} \left (f\left ( x \right ) \right )^{g\left ( x \right )}=\left (\lim_{x\rightarrow x_{0}} f\left ( x \right ) \right )^{\lim_{x\rightarrow x_{0}} g\left ( x \right )}$$;

$$\lim_{x\rightarrow \infty }\left ( 1+\frac{1}{x} \right )^{x}=e$$.

Преобразуем дробь $$\frac{x-5}{x+4}$$:
$$\frac{x-5+4-4}{x+4}=\frac{\left ( x+4 \right )-9}{x+4}=1+\frac{-9}{x+4}$$.
Запишем:
$$\lim_{x\rightarrow \infty }\left (1+\frac{-9}{x+4} \right )^{x}$$.
Умножим показатель степени на $$\frac{-9}{x+4} $$ и на $$\frac{x+4}{-9}$$ и выполним дальнейшие преобразования:
$$\lim_{x\rightarrow \infty } \left (1+\frac{-9}{x+4} \right )^{x\cdot \frac{-9}{x+4}\cdot \frac{x+4}{-9}}=$$
$$\lim_{x\rightarrow \infty } \left (\left (1+\frac{-9}{x+4} \right )^{ \frac{x+4}{-9}} \right )^{\frac{-9}{x+4}}=e^{\lim_{x\rightarrow \infty }^{\frac{-9}{x+4}}}=e^{-9}$$.

Вычислим предел:

$$\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{-9x}{x+4}=\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{-9}{1+\frac{4}{x}}=\frac{-9}{1+0}=-9$$.

Выберите один из вариантов

Вертикальные асимптоты (асимптота) графика функции $$y=\frac{3-x}{x^{2}-9}$$ имеют вид:

Уравнение вертикальной асимптоты графика функции $$y=f\left ( x \right )$$ имеет вид $$x=a$$ при условии, что выполняется хотя бы одно из условий:

$$\lim_{x\rightarrow a-0} f\left ( x \right )=\infty$$ , $$\lim_{x\rightarrow a+0} f\left ( x \right )=\infty$$.

  1. Найдем область определения функции:

    $$D \left ( f \right )=R/x\neq \pm 3$$.

  2. Так как $$\lim_{x\rightarrow 3} \frac{3-x}{\left (x-3 \right )\left (x+3 \right )}=\lim_{x\rightarrow 3} \frac{-1}{x+3}=-\frac{1}{6}$$ ,

    а $$\lim_{x\rightarrow -3} \frac{3-x}{\left (x-3 \right )\left (x+3 \right )}=\lim_{x\rightarrow -3} \frac{-1}{x+3}=-\infty$$ ,

    то $$x=-3$$ $$-$$ вертикальная асимптота.

Асимптотой линии называют прямую, к которой неограниченно приближается данная линия, когда ее точка неограниченно удаляется от начала координат.

Вертикальные асимптоты необходимо искать среди точек разрыва функции.

Выберите один из вариантов

Наклонная асимптота графика функции $$f(x)=\frac{x^{2}+5x}{x-3}$$ имеет вид:

Асимптотой линии называют прямую, к которой неограниченно приближается данная линия, когда ее точка неограниченно удаляется от начала координат.
Уравнение наклонной асимптоты графика функции $$y=f\left ( x \right )$$ имеет вид:
$$y=kx+b$$ ,
где $$k=\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{f\left ( x \right )}{x}$$ , $$b=\lim_{x\rightarrow \infty } \left (f\left ( x \right )-kx \right )$$ .

Найдем $$k$$ и $$b$$:

$$k=\lim_{x\rightarrow \infty } \frac{x^{2}+5x}{\left (x-3 \right )x}=\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{x+5}{x-3}=$$$$\lim_{x\rightarrow \infty } \frac{1+\frac{5}{x}}{1-\frac{3}{x}}=\frac{1+0}{1-0}=1$$;

$$b=\lim_{x\rightarrow \infty }\left ( \frac{x^{2}+5x}{x-3}-x \right )=\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{x^{2}+5x-x^{2}+3x}{x-3}=$$

$$=\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{8x}{x-3}=\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{8}{1-\frac{3}{x}}=8$$.

Наклонная асимптота: $$y=x+8$$.

Если $$k=0$$ , то имеем горизонтальную асимптоту $$y=b$$.

Выберите один из вариантов