Преобразования рациональных выражений ИТ
В результате приведения одночлена $$(-2x)^2\cdot \left(-x^2\right)^3\cdot\left(xy^2\right)^1\cdot \left(-5yx^2\right)^0$$ к стандартному виду получим:
- Одночленом называют алгебраическое выражение, представленное в виде произведения чисел и переменных.
- Одночлен имеет стандартный вид, если он имеет только один числовой множитель, а каждый буквенный множитель встречается в его записи только один раз. Числовой множитель называют коэффициентом одночлена.
- Свойства степеней:
$$a^0=1$$; $$a^1=a$$;
$$a^n\cdot a^m=a^{n+m}$$;
$$\left(a^n\right)^m=a^{n\cdot m}$$;
$$(a\cdot b)^n=a^n\cdot b^n$$.
На основании свойств степеней получим:
$$A=(-2)^2\cdot x^2\cdot (-1)^3\cdot x^{2\cdot 3}\cdot x\cdot y^2\cdot 1$$,
$$A=4\cdot (-1) \cdot x^{2+6+1}\cdot y^2$$,
$$A=-4\cdot x^{9}\cdot y^2$$.
При возведении отрицательного числа в четную степень всегда получаем положительное число, а в нечетную степень – отрицательное.
Выберите один из вариантов
В результате сокращения дроби $$\frac{(9-x^2)^2+(2x-6)^3}{x^2-4x+3}$$ получим:
- Формула разности квадратов:
$$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$$. - Формула квадрата суммы (разности):
$$(a±b)^2=a^2±2ab+b^2$$. - Свойство степеней:
$$(ab)^n=a^{n}b^{n}$$. - Разложение квадратного трехчлена $$f(x)=ax^2+bx+c$$ на линейные множители:
$$f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$$, где $$x_1$$ и $$x_2$$ – корни квадратного трехчлена. - Корни квадратного трехчлена $$f(x)=ax^2+bx+c$$ находят по формулам:
$$x_{1, 2}=\frac{-b±\sqrt{D}}{2a}$$, где $$D=b^2-4ac$$ и $$D\ge 0$$.
1. Преобразуем числитель дроби:
1) разложим выражения, записанные в скобках, на множители:
$$A=\left((3-x)(3+x)\right)^2+(-2(3-x))^3$$,
$$A=(3-x)^2(3+x)^2-2^3(3-x)^3$$;
2) вынесем за скобки общий множитель:
$$A=(3-x)^2\left((3+x)^2-8(3-x)\right)$$;
3) выполним преобразования в скобках:
$$A=(3-x)^2\left(9+6x+x^2-24+8x\right)$$,
$$A=(3-x)^2\left(x^2+14x-15\right)$$;
4) разложим многочлен $$x^2+14x-15$$ на множители, найдя предварительно его корни:
$$D=14^2+4\cdot 15=16^2$$, $$x_1=\frac{-14-16}{2}=-15$$, $$x_2=\frac{-14+16}{2}=1$$.
Запишем числитель дроби:
$$A=(3-x)^2(x+15)(x-1)$$,
$$A=(x-3)^2(x+15)(x-1)$$.
2. Разложим на множители знаменатель дроби:
$$B=x^2-4x+3$$.
Так как $$D=16-12=2^2$$, $$x_1=\frac{4-2}{2}=1$$, $$x_2=\frac{4+2}{2}=3$$, то
$$B=(x-1)(x-3)$$.
3. Запишем и сократим дробь:
$$C=\frac{(x-3)^2(x+15)(x-1)}{(x-3)(x-1)}$$,
$$C=(x-3)(x+15)$$.
1. Корни уравнения $$x^2+14x-15=0$$ можно найти с помощью теоремы Виета.
Так как $$x_1+x_2=-14$$, а $$x_1\cdot x_2=-15$$, то $$x_1=-15$$, а $$x_2=1$$.
Аналогично для уравнения $$x^2-4x+3=0$$ запишем:
$$x_1+x_2=4$$, а $$x_1\cdot x_2=3$$ и получим $$x_1=1$$, а $$x_2=3$$.
2. У выражения, записанного в четной степени, можно менять знак.
Например:
$$(a+b)^2=(-a-b)^2$$,
$$(a-b+c)^4=(-a+b-c)^4$$.
3. Чтобы вынести общий множитель многочлена, возведенного в некоторую степень, необходимо этот множитель возвести в ту же степень, в которую возведен многочлен.
Выберите один из вариантов
Если $$s_1$$ степень многочлена $$-5x^3(2-0,2x)-(1+x)(x-2)$$, а $$s_2$$ сумма степеней одночленов, входящих в его состав, то значение выражения $$s_1+s_2$$ равно:
- Многочленом называют алгебраическое выражение, представленное в виде суммы нескольких одночленов.
- Многочлен имеет стандартный вид, если все одночлены имеют стандартный вид и среди них нет подобных.
- Чтобы умножить одночлен на многочлен, необходимо умножить одночлен на каждый член многочлена и полученные произведения сложить.
- Чтобы умножить многочлен на многочлен, необходимо каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена и полученные произведения сложить.
- Степенью одночлена называют сумму показателей степеней всех входящих в него букв (переменных). Если одночлен представлен отличным от нуля числом, то его степень равна $$0$$. Нулевым одночленам не приписывают никакую степень.
- Степенью многочлена стандартного вида называют наибольшую из степеней, входящих в него одночленов.
1. Приведем многочлен к стандартному виду:
$$A=-5x^3\cdot 2+5x^3\cdot 0,2x+(1+x)(2-x)$$,
$$A=-10x^3+x^4+1\cdot 2-1\cdot x+2\cdot x-x\cdot x$$,
$$A=-10x^3+x^4+2-x+2x-x^2$$,
$$A= x^4-10x^3-x^2+x+2$$.
2. В состав многочлена входят $$5$$ одночленов:
1) $$x^4$$ – его степень равна $$4$$;
2) $$-10x^3$$ – его степень равна $$3$$;
3) $$-x^2$$ – его степень равна $$2$$;
4) $$x$$ – его степень равна $$1$$;
5) $$2$$ – его степень равна $$0$$.
Следовательно, $$s_2=4+3+2+1+0=10$$.
3. Поскольку наибольшая из степеней одночленов равна $$4$$, то $$s_1=4$$.
4. Тогда, $$s_1+s_2=14$$.
Преобразовывая выражение $$-(1+x)(x-2)$$, мы внесли «–» во вторые скобки:
$$-(1+x)(x-2)=(1+x)(2-x)$$.
Введите ответ в поле
Разложение многочлена $$2a^2-2ab-4b^2$$ на множители имеет вид:
- Под группировкой членов многочлена понимают объединение нескольких слагаемых алгебраической суммы, то есть заключение их в скобки. При этом слагаемые объединяют так, чтобы они имели общий множитель. После вынесения общих множителей за скобки, слагаемые также должны иметь общий множитель.
- Формула разности квадратов:
$$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$$.
1. Запишем многочлен в виде:
$$a^2+a^2-2ab-4b^2$$.
Сгруппируем слагаемые:
$$(a^2-2ab)+(a^2-4b^2)$$.
2. Из первых скобок вынесем общий множитель, а ко вторым скобкам применим формулу разности квадратов:
$$a(a-2b)+(a-2b)(a+2b)$$.
3. Вынесем за скобки общий множитель и приведем подобные слагаемые:
$$(a-2b)(a+a+2b)=(a-2b)(2a+2b)$$.
4. Вынесем за скобки общий множитель $$2$$:
$$2(a-2b)(a+b)$$.
Чтобы вынести за скобки общий множитель, необходимо каждое слагаемое алгебраической суммы разделить на этот множитель.
Выберите один из вариантов
В результате сокращения дроби $$\frac{5xy+x^2y-2x-10}{2-xy}$$ получим:
Под группировкой членов многочлена понимают объединение нескольких слагаемых алгебраической суммы, то есть заключение их в скобки.
При этом слагаемые объединяют так, чтобы они имели общий множитель.
После вынесения общих множителей за скобки, слагаемые также должны иметь общий множитель.
1. Разложим числитель дроби на множители способом группировки:
$$A=(5xy+x^2y)+(-2x-10)$$,
$$A=xy(5+x)-2(x+5)$$,
$$A=(x+5)(xy-2)$$.
2. Сократим дробь:
$$B=\frac{(x+5)(xy-2)}{2-xy}$$,
$$B=-\frac{(x+5)(xy-2)}{xy-2}=-(x+5)$$.
Чтобы раскрыть скобки, перед которыми стоит знак минус, необходимо скобки опустить и изменить знаки всех одночленов, записанных в скобках.
Выберите один из вариантов
Остаток от деления многочленов $$x^3+8x^2+13x-7$$ и $$x^2+5x-2$$ равен:
Деление многочленов выполняется аналогично делению целых чисел.
Делят старший член многочлена-делимого на старший член многочлена-делителя, затем частное умножают на многочлен-делитель и полученное произведение вычитают из многочлена-делимого.
Многочлен-первый остаток аналогичным образом делят на многочлен-делитель.
Деление продолжают до тех пор, пока не получат остаток $$0$$ или степень многочлена-остатка не будет меньше степени многочлена-делителя.
Выполним уголком деление многочленов: 
Остаток равен $$-1$$.
Правильно вычитайте многочлены.
Так, например, остаток получен так:
$$-7-(-6)=-7+6=-1$$.
Введите ответ в поле
Если $$xy=-2$$, а $$x+y=1$$, то значение выражения $$x^6+y^6$$ равно:
- Формула квадрата суммы (разности):
$$(a±b)^2=a^2±2ab+b^2$$. - Формула суммы (разности) кубов:
$$a^3 ±b^3=(a+b)(a^2∓ab+b^2)$$.
1. Преобразуем выражение $$A=x^6+y^6$$.
Применим формулу суммы кубов:
$$A=(x^2+y^2)(x^4-x^2y^2+y^4)$$.
Дополним выражение $$B=x^4-x^2y^2+y^4$$ до квадрата суммы:
$$B=x^4-x^2y^2+y^4+2x^2y^2-2x^2y^2$$,
$$B=x^4+2x^2y^2+y^4)-3x^2y^2$$,
$$B=\left(x^2+y^2\right)^2-3(xy)^2$$.
Следовательно, $$A=(x^2+y^2)\left((x^2+y^2)^2-3(xy)^2\right)$$.
2. Возведем обе части равенства $$x+y=1$$ в квадрат:
$$x^2+2xy+y^2=1$$.
Учитывая, что $$xy=-2$$, запишем:
$$x^2-4+y^2=1$$, откуда $$x^2+y^2=5$$.
3. Так как $$A=(x^2+y^2)\left((x^2+y^2)^2-3(xy)^2\right)$$, $$xy=-2$$, $$x^2+y^2=5$$, то
$$A=5\cdot(25-12)=65$$.
Дополняя выражение $$(x^4-x^2y^2+y^4)$$ до квадрата суммы, мы одновременно прибавили и вычли выражение $$2x^2y^2$$.
Введите ответ в поле
В результате упрощения дроби $$\frac{(3a-7)^2+(3a+7)^2}{(3a-7)^2-(3a+7)^2}$$ получим:
Формула квадрата суммы (разности):
$$(a±b)^2=a^2±2ab+b^2$$.
1. Применим формулы квадрата разности и суммы и приведем подобные слагаемые:
$$A=\frac{(9a^2-42a+49)+( 9a^2+42a+49)}{(9a^2-42a+49)-(9a^2+42a+49)}$$,
$$A=\frac{9a^2-42a+49+9a^2+42a+49}{9a^2-42a+49-9a^2-42a-49}$$,
$$A=\frac{2\cdot 9a^2 +2\cdot 49}{-2\cdot 42a}$$.
2. Сократим дробь на $$2$$:
$$A=\frac{9a^2 +49}{-42a}=-\frac{9a^2 +49}{42a}$$.
Сократить дробь $$\frac{(3a-7)^2+(3a+7)^2}{(3a-7)^2-(3a+7)^2}$$ нельзя, так как в ее числителе и знаменателе имеются общие слагаемые, а не множители.
Выберите один из вариантов
Результат упрощения выражения $$\frac{2x^{-1}}{2^{-1}}:\frac{2+x^{-1}}{x+2^{-1}}$$ имеет вид:
Определение степени:
$$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$$, $$a^{n}=\frac{1}{a^{-n}}$$.
1. Согласно определению степени с отрицательным показателем, преобразуем первую дробь:
$$A=\frac{2\cdot 2}{x}=\frac{4}{x}$$.
2. Преобразуем вторую дробь:
$$B=\frac{2+\frac{1}{x}}{x+\frac{1}{2}}$$.
Умножим числитель и знаменатель дроби на $$2x$$:
$$B=\frac{2x\left(2+\frac{1}{x}\right)}{2x\left(x+\frac{1}{2}\right)}=\frac{2(2x+1)}{x(2x+1)}=\frac{2}{x}$$.
3. Выполним деление дробей:
$$\frac{4}{x}:\frac{2}{x}=\frac{4x}{2x}=2$$.
Различайте записи:
$$(2x)^{-1}=\frac{1}{2x}$$ и $$2x^{-1}=\frac{2}{x}$$.
Выберите один из вариантов
В результате упрощения выражения $$\frac{3a^2+1-4a}{9a-4-5a^2}$$ получим:
- Разложение квадратного трехчлена $$f(x)=ax^2+bx+c$$ на линейные множители:
$$f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$$, где $$x_1$$ и $$x_2$$ – корни квадратного трехчлена. - Корни квадратного трехчлена $$f(x)=ax^2+bx+c$$ находят по формулам:
$$x_{1, 2}=\frac{-b±\sqrt{D}}{2a}$$, где $$D=b^2-4ac$$ и $$D\ge 0$$.
Запишем выражение в виде:
$$-\frac{3a^2-4a+1}{5a^2-9a+4}$$.
1. Разложим на множители числитель дроби $$A=3a^2-4a+1$$.
Найдем корни квадратного трехчлена.
Так как $$D=16-12=2^2$$, $$a_1=\frac{4-2}{6}=\frac{1}{3}$$, $$a_2=\frac{4+2}{6}=1$$, то
$$A=3\left(a-\frac{1}{3}\right)(a-1)$$,
$$A=3\left(a-\frac{1}{3}\right)(a-1)$$,
$$A=(3a-1)(a-1)$$.
2. Разложим на множители знаменатель дроби $$B=5a^2-9a+4$$.
Найдем корни квадратного трехчлена.
Так как $$D=81-80=1^2$$, $$a_1=\frac{9-1}{10}=\frac{4}{5}$$, $$a_2=\frac{9+1}{10}=1$$, то
$$B=5\left(a-\frac{4}{5}\right)(a-1)$$,
$$B=(5a-4)(a-1)$$.
$$B=5\left(a-\frac{4}{5}\right)(a-1)$$,
$$B=(5a-4)(a-1)$$.
3. Запишем и сократим дробь:
$$C=-\frac{(3a-1)(a-1)}{(5a-4)(a-1)}$$,
$$C=-\frac{3a-1}{5a-4}$$.
$$C=-\frac{(3a-1)(a-1)}{(5a-4)(a-1)}$$,
$$C=-\frac{3a-1}{5a-4}$$.
Ответ можно записать и иначе:
$$-\frac{3a-1}{5a-4}=\frac{1-3a}{5a-4}$$ или $$-\frac{3a-1}{5a-4}=\frac{3a-1}{4-5a}$$.
Выберите один из вариантов