Выражения, содержащие обратные тригонометрические функции ИТ
Значение выражения $$8\sqrt{15}\sin(2\textrm{arccos}0,25)$$ равно:
- Формула двойного аргумента:
$$\sin 2x=2\sin{x}\cos{x}$$. - Основное тригонометрическое тождество:
$$\sin^2x+\cos^2x=1$$.
- Полагая $$\textrm{arccos}0,25=\alpha$$, получим: $$\cos\alpha =0,25$$.
- Применяя формулу двойного аргумента, запишем:
$$A=8\sqrt{15}\sin (2\alpha )$$,
$$A=8\sqrt{15}\cdot 2\sin\alpha \cos\alpha$$. - Найдем $$\sin\alpha$$:
$$\sin\alpha =\sqrt{1-\cos^2\alpha }$$;
$$\sin\alpha =\sqrt{1-\frac{1}{16}}=\frac{\sqrt{15}}{4}$$. - Тогда, $$A=8\sqrt{15}\cdot 2\frac{\sqrt{15}}{4}\cdot \frac{1}{4}=15$$.
В случае подстановки $$\textrm{arccos}0,25=\alpha$$ выражение $$\sin \alpha =\pm \sqrt{1-\cos^2\alpha }$$ всегда положительное:
$$\sin\alpha = \sqrt{1-\cos^2\alpha }$$.
$$\sin\alpha = \sqrt{1-\cos^2\alpha }$$.
Введите ответ в поле
Значение выражения $$\frac{\textrm{ctg}\left (\textrm{arcsin}(-1)-2\textrm{arccos}\left (-\frac{\sqrt{3}}{2}\right )\right )}{\textrm{ctg}\frac{5\pi}{3}}$$ равно:
Формулы преобразования функций отрицательного аргумента:
- $$\textrm{arcsin}(-\alpha )=-\textrm{arcsin}\alpha$$;
- $$\textrm{arccos}(-\alpha )=\pi -\textrm{arccos}\alpha$$;
- $$\textrm{ctg}(-\alpha )=-\textrm{ctg}\alpha$$.
- Преобразуем числитель дроби:
$$A=\textrm{ctg}\left (-\textrm{arcsin}1-2\left (\pi -\textrm{arccos}\frac{\sqrt{3}}{2}\right )\right )$$,
$$A=\textrm{ctg}\left(-\frac{\pi }{2}-2\left(\pi -\frac{\pi }{6}\right)\right)$$,
$$A=\textrm{ctg}\left(-\frac{\pi }{6}-2\pi\right )$$,
$$A=\textrm{ctg}\left(-\frac{\pi }{6}\right)=-\sqrt{3}$$. - Преобразуем знаменатель дроби:
$$B=\textrm{ctg}\frac{5\pi}{3}=\textrm{ctg}\left(\frac{5\pi}{3}-2\pi\right)$$,
$$B=\textrm{ctg}\left(-\frac{\pi}{3}\right)=-\textrm{ctg}\frac{\pi}{3}=-\frac{1}{\sqrt{3}}$$. - Найдем значение данного выражения:
$$-\sqrt{3}\cdot(-\sqrt{3})=3$$.
$$\textrm{ctg}(\alpha \pm \pi n )=\textrm{ctg}\alpha$$, где $$n\in \textrm{Z}$$.
Введите ответ в поле
Значение выражения $$\textrm{arctg}(\textrm{ctg}500^{\circ})$$ (в градусах) равно:
- Равенство $$\textrm{arctg}(\textrm{tg}x)=x$$ справедливо при $$x\in(-90^{\circ};90^{\circ})$$.
- $$\textrm{tg}(-x)=-\textrm{tg}x$$.
- $$\textrm{arctg}(-x)=-\textrm{arctg}x$$.
- Если аргумент функции имеет вид $$(90^{\circ} \pm \alpha)$$, то:
1) ставим знак исходной функции;
2) функцию заменяем на кофунцию;
3) $$90^{\circ}$$ отбрасываем, $$\alpha$$ переписываем.
- Учитывая, что областью значений функции $$y=\textrm{arctg}x$$ является промежуток $$(-90^{\circ};90^{\circ})$$, преобразуем $$\textrm{ctg}500^{\circ}$$:
$$\textrm{ctg}500^{\circ}=\textrm{ctg} (500^{\circ}-2\cdot 180^{\circ})=\textrm{ctg}140^{\circ}$$.
Применим формулу приведения:
$$\textrm{ctg}140^{\circ}=\textrm{ctg}(90^{\circ}+50^{\circ})=-\textrm{tg}50^{\circ}$$. - Так как $$50^{\circ}\in(-90^{\circ};90^{\circ})$$ и $$\textrm{arctg}(-x)=-\textrm{arctg}x$$, то
$$\textrm{arctg}(-\textrm{tg}50^{\circ})=-\textrm{arctg}(\textrm{tg}50^{\circ})=-50^{\circ}$$.
- $$\textrm{ctg}(x±180^{\circ}\cdot n)=\textrm{ctg}{x}$$, где $$n\in\textrm{Z}$$.
- $$\textrm{tg}(x±180^{\circ}\cdot n)=\textrm{tg}{x}$$, где $$n\in\textrm{Z}$$.
- $$\textrm{sin}(x±360^{\circ}\cdot n)=\textrm{sin}{x}$$, где $$n\in\textrm{Z}$$.
- $$\textrm{cos}(x±360^{\circ}\cdot n)=\textrm{cos}{x}$$, где $$n\in\textrm{Z}$$.
Введите ответ в поле
Имеют смысл следующие из выражений:
- $$\sin(-2)$$;
- $$\cos 307^{\circ}$$;
- $$\textrm{arcctg}(-\pi )$$;
- $$\textrm{arccos}\frac{3}{\sqrt{5}}$$;
- $$\textrm{arcsin}(-2,8)$$.
- Тригонометрические функции и их области определения:
1) функция $$y=\sin{x}$$, область определения: $$x\in \textrm{R}$$;
2) функция $$y=\cos{x}$$, область определения: $$x\in \textrm{R}$$;
3) функция $$y=\textrm{tg}x$$, область определения: $$x\ne \frac{\pi}{2}+\pi n$$, $$n\in \textrm{Z}$$;
4) функция $$y=\textrm{ctg}x$$, область определения: $$x\ne 0+\pi n$$, $$n\in \textrm{Z}$$. - Обратные тригонометрические функции и их области определения:
1) функция $$y=\textrm{arcsin}x$$, область определения: $$x\in [-1;1]$$;
2) функция $$y=\textrm{arccos}x$$, область определения: $$x\in [-1;1]$$;
3) функция $$y=\textrm{arctg}x$$, область определения: $$x\in \textrm{R}$$;
4) функция $$y=\textrm{arcctg}x$$, область определения: $$x\in \textrm{R}$$.
- Выражения $$\sin(-2)$$, $$\cos 307^{\circ}$$ и $$\textrm{arcctg}(-\pi )$$ имеют смысл, так как область определения этих функций – любое действительное число.
- Выражение $$\textrm{arcsin}(-2,8)$$ не имеет смысла, так как $$-2,8\notin \begin{bmatrix} -1;1 \end{bmatrix}$$.
- Выражение $$\textrm{arccos}\frac{3}{\sqrt{5}}=\textrm{arccos}\sqrt{1,8}$$ лишено смысла, так как $$\sqrt{1,8}\notin \begin{bmatrix} -1;1 \end{bmatrix}$$.
Различайте записи:
$$\sin 2^{\circ}$$ и $$\sin{2}$$.
Выберите несколько вариантов ответов
Значение выражения $$\frac{2\textrm{tg}^{3}600^{\circ}}{\textrm{tg}(\textrm{arcsin}(\sin 150^{\circ})+\textrm{arccos}(\cos 390^{\circ}))}$$ равно:
- Если аргумент функции имеет вид $$(180^{\circ} \pm \alpha )$$, то:
1) ставим знак исходной функции;
2) функцию переписываем;
3) $$180^{\circ}$$ отбрасываем, $$\alpha$$ переписываем. - Равенство $$\textrm{arcsin}(\sin {x})=x$$ справедливо при $$x\in [-90^{\circ};90^{\circ}]$$.
- Равенство $$\textrm{arccos}(\cos {x})=x$$ справедливо при $$x\in [0^{\circ};180^{\circ}]$$.
- Преобразуем числитель дроби:
$$A=2\left(\textrm{tg}600^{\circ}\right )^{3}=2\left(\textrm{tg}(3\cdot 180^{\circ}+60^{\circ})\right )^{3}$$,
$$A=2\left(\textrm{tg}60^{\circ}\right )^{3}=2(\sqrt{3})^{3}=6\sqrt{3}$$. - Преобразуем знаменатель дроби:
$$B=\textrm{tg}(\textrm{arcsin}(\sin (180^{\circ}-30^{\circ}))+\textrm{arccos}(\cos (360^{\circ}+30^{\circ})))$$,
$$B=\textrm{tg}(\textrm{arcsin} (\sin 30^{\circ})+\textrm{arccos} (\cos 30^{\circ}))$$,
$$B=\textrm{tg}(30^{\circ}+30^{\circ})=\textrm{tg}(60^{\circ})=\sqrt{3}$$. - Найдем значение данного выражения:
$$\frac{6\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=6$$.
- $$\textrm{tg}(\alpha \pm 180^{\circ}\cdot n )=\textrm{tg}\alpha$$, где $$n\in \textrm{Z}$$.
- $$\textrm{ctg}(\alpha \pm 180^{\circ}\cdot n )=\textrm{ctg}\alpha$$, где $$n\in \textrm{Z}$$.
- $$\textrm{cos}(\alpha \pm 360^{\circ}\cdot n )=\textrm{cos}\alpha$$, где $$n\in \textrm{Z}$$.
- $$\textrm{sin}(\alpha \pm 360^{\circ}\cdot n )=\textrm{sin}\alpha$$, где $$n\in \textrm{Z}$$.
Введите ответ в поле
Значение выражения $$\textrm{arccos}(\sin 825^{\circ})$$ (в градусах) равно:
- Равенство $$\textrm{arccos}(\cos x)=x$$ справедливо при $$x\in [0^{\circ};180^{\circ}]$$.
- Если аргумент функции имеет вид $$(90^{\circ} \pm \alpha )$$, то:
1) ставим знак исходной функции;
2) функцию заменяем на кофунцию;
3) $$90^{\circ}$$ отбрасываем, $$\alpha$$ переписываем.
- Учитывая, что областью значений функции $$y=\textrm{arccos}x$$ является промежуток $$[0^{\circ};180^{\circ}]$$, преобразуем $$\sin 825^{\circ}$$:
$$\sin 825^{\circ}$$=$$\sin (825^{\circ}-720^{\circ})=\sin 105^{\circ}$$.
Применим формулу приведения:
$$\sin 105^{\circ}=\sin(90^{\circ}+15^{\circ})=\cos 15^{\circ}$$. - Так как $$15^{\circ}\in[0^{\circ};180^{\circ}]$$, то $$\textrm{arccos}(\cos 15^{\circ})=15^{\circ}$$.
$$\sin(x± 360^{\circ}\cdot n)=\sin{x}$$, где $$n\in\textrm{Z}$$.
Введите ответ в поле
Значение выражения $$\textrm{arcsin}(\cos 825^{\circ})$$ (в градусах) равно:
- Равенство $$\textrm{arcsin}(\sin{x})=x$$ верно при $$x\in[-90^{\circ};90^{\circ}]$$.
- Если аргумент функции имеет вид $$(90^{\circ} \pm \alpha )$$, то:
1) ставим знак исходной функции;
2) функцию заменяем на кофунцию;
3) $$90^{\circ}$$ отбрасываем, $$\alpha$$ переписываем.
- Учитывая, что областью значений функции $$y=\textrm{arcsin}x$$ является промежуток $$[-90^{\circ};90^{\circ}]$$, преобразуем $$\cos 825^{\circ}$$:
$$\cos 825^{\circ}$$=$$\cos (825^{\circ}-720^{\circ})=\cos 105^{\circ}$$.
Применим формулу приведения:
$$\cos 105^{\circ}=\cos(90^{\circ}+15^{\circ})=-\sin 15^{\circ}$$. - Так как $$15^{\circ}\in[-90^{\circ};90^{\circ}]$$ и $$\textrm{arcsin}(-x)=-\textrm{arcsin}x$$, то $$\textrm{arcsin}(-\sin 15^{\circ})=-\textrm{arcsin}(\sin 15^{\circ})=-15^{\circ}$$.
$$\cos(\alpha± 360^{\circ}\cdot n)=\cos\alpha$$, где $$n\in\textrm{Z}$$.
Введите ответ в поле
Значение выражения $$\textrm{arcsin}\left(\sin \frac{47\pi}{8}\right)-\textrm{arccos}\left(\cos \frac{47\pi}{8}\right)$$ (в градусах) равно:
- Равенство $$\textrm{arcsin}(\sin x)=x$$ справедливо при $$x\in \begin{bmatrix} -\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2} \end{bmatrix}$$.
- Равенство $$\textrm{arccos}(\cos x)=x$$ справедливо при $$x\in \begin{bmatrix} 0;\pi \end{bmatrix}$$.
- $$A=\textrm{arcsin}\left(\sin \left(5\frac{7}{8}\pi-6\pi\right)\right)=\textrm{arcsin}\left(\sin\left(- \frac{\pi}{8}\right)\right)$$,
$$A=-\textrm{arcsin}\left(\sin\frac{\pi}{8}\right)=-\frac{\pi}{8}$$. - $$B=\textrm{arccos}\left(\cos\left(5\frac{7}{8}\pi-6\pi\right)\right)=\textrm{arccos}\left(\cos \left(-\frac{\pi}{8}\right)\right)$$,
$$B=\textrm{arccos}\left(\cos\frac{\pi}{8}\right)=\frac{\pi}{8}$$. - $$A-B=-\frac{\pi}{8}-\frac{\pi}{8}=-\frac{\pi}{4}=-45^{\circ}$$.
- $$\sin(-x)=-\sin{x}$$.
- $$\cos(-x)=\cos{x}$$.
- $$\textrm{sin}(x±2\pi n)=\textrm{sin}{x}$$, где $$n\in\textrm{Z}$$.
- $$\textrm{cos}(x±2\pi n)=\textrm{cos}{x}$$, где $$n\in\textrm{Z}$$.
Введите ответ в поле
Значение выражения $$\textrm{arcctg}(\textrm{ctg}513^{\circ})$$ (в градусах) равно:
- Равенство $$\textrm{arcctg}(\textrm{ctg}x)=x$$ справедливо при $$x\in(0^{\circ};180^{\circ})$$.
- $$\textrm{ctg}(-x)=-\textrm{ctg}x$$.
- $$\textrm{arcctg}(-x)=180^{\circ}-\textrm{arcctg}x$$.
- Учитывая, что областью значений функции $$y=\textrm{arcсtg}x$$ является промежуток $$(0^{\circ};180^{\circ})$$, преобразуем $$\textrm{ctg} 513^{\circ}$$:
$$\textrm{ctg}513^{\circ}=\textrm{ctg} (513^{\circ}-3\cdot 180^{\circ})=\textrm{ctg}(-27^{\circ})$$.
Учитывая нечетность функции $$y=\textrm{ctg}x$$, получим:
$$\textrm{ctg}(-27^{\circ})=-\textrm{ctg}27^{\circ}$$. - Так как $$27^{\circ}\in(0^{\circ};180^{\circ})$$ и $$\textrm{arcctg}(-x)=180^{\circ}-\textrm{arcctg}x$$, то
$$\textrm{arcctg}(-\textrm{ctg}27^{\circ})=180^{\circ}-\textrm{arcctg}(\textrm{ctg}27^{\circ})=180^{\circ}-27^{\circ}=153^{\circ}$$.
- $$\textrm{ctg}(x±180^{\circ}\cdot n)=\textrm{ctg}{x}$$, где $$n\in\textrm{Z}$$.
- $$\textrm{tg}(x±180^{\circ}\cdot n)=\textrm{tg}{x}$$, где $$n\in\textrm{Z}$$.
- $$\textrm{sin}(x±360^{\circ}\cdot n)=\textrm{sin}{x}$$, где $$n\in\textrm{Z}$$.
- $$\textrm{cos}(x±360^{\circ}\cdot n)=\textrm{cos}{x}$$, где $$n\in\textrm{Z}$$.
Введите ответ в поле
Значение выражения $$\cos(2\textrm{arctg}3)$$ равно:
Универсальная тригонометрическая подстановка:
$$\cos 2\alpha=\frac{1-\textrm{tg}^{2}\alpha}{1+\textrm{tg}^{2}\alpha}$$.
- Полагая $$\textrm{arctg}3=\alpha$$ получим: $$\textrm{tg}\alpha=3$$.
- Выражение $$A=\cos(2\textrm{arctg}3)$$ примет вид: $$A=\cos 2\alpha$$.
- Применяя формулу $$\cos 2\alpha=\frac{1-\textrm{tg}^{2}\alpha}{1+\textrm{tg}^{2}\alpha}$$, получим:
$$A=\frac{1-9}{1+9}=-0,8$$.
Универсальная тригонометрическая подстановка:
- $$\cos 2\alpha=\frac{1-\textrm{tg}^{2}\alpha}{1+\textrm{tg}^{2}\alpha}$$.
- $$\sin2\alpha=\frac{2\textrm{tg}\alpha}{1+\textrm{tg}^{2}\alpha}$$.
- $$\textrm{tg}2\alpha=\frac{2\textrm{tg}\alpha}{1-\textrm{tg}^{2}\alpha}$$.
Введите ответ в поле