$$\frac{1-\textrm{tg}^{2}2\beta }{2\textrm{tg}2\beta}=\frac{1}{2}$$,
$$\textrm{tg}^{2}2\beta +\textrm{tg}2\beta -1=0$$,
откуда, $$\textrm{tg}_{1}2\beta =\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$$, $$\textrm{tg}_{2}2\beta =\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$$.
Тогда: $$\left|\textrm{tg}_{1}2\beta \right|=0,5\left(\sqrt{5}+1 \right)$$; $$\left|\textrm{tg}_{2}2\beta \right|=0,5\left(\sqrt{5}-1 \right)$$.

1. По формуле $$\cos^2x + \sin^2x = 1$$ получим:
   $$\cos^2x = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$$, откуда $$\cos{x} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$, так как $$\frac{\pi}{2} < x < \pi$$. 
2. По формуле $$\textrm{tg}x = \frac{\sin{x}}{\cos{x}}$$ получим:
   $$\textrm{tg}x = -\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = -3^{-0,5}$$.

1. $$\sin2\alpha = \frac{2\textrm{tg}\alpha}{1 + \textrm{tg}^2\alpha}$$,  $$\sin2\alpha= \frac{2 \cdot (-2)}{1 + (-2)^2} = -\frac{4}{5}$$. 
2. $$\cos 2\alpha = \frac{1 -\textrm{tg}^2\alpha}{1 + \textrm{tg}^2\alpha}$$,  $$\cos 2\alpha= \frac{1 - (-2)^2}{1 + (-2)^2} = -\frac{3}{5}$$. 
3. $$5 \cdot \left(-\frac{4}{5}\right) + 3 \cdot \frac{5}{3} = -4 + 5 = 1$$.

1. $$\sin 0,5\beta =\sqrt{1-0,75}=0,5$$. 
2. $$B=\frac{\sin \beta +1}{\cos \beta }$$, $$B=\frac{2\sin 0,5\beta \cdot \cos 0,5\beta +1}{{\cos }^{2}0,5\beta -{\sin }^{2}0,5\beta }$$,
   $$B=\frac{2\cdot 0,5\cdot 0,5\sqrt{3}+1}{0,75-0,25}=\frac{0,5\sqrt{3}+1}{0,5}=\sqrt{3}+2$$.

1. $$A=\cos \left(\frac{\pi }{6}-\alpha \right)\cos \left(\frac{\pi }{6}+\alpha \right)$$,
   $$A=\frac{1}{2}\left(\cos 2\alpha +\cos \frac{\pi }{3} \right)$$,
   $$A=\frac{1}{2}\left(\cos 2\alpha +\frac{1}{2} \right)$$. 
2. $$B=\sin \left(\frac{\pi }{3}-\alpha \right)\sin \left(\frac{\pi }{3}+\alpha \right)$$,
   $$B=\frac{1}{2}\left(\cos 2\alpha -\cos \frac{2\pi }{3} \right)$$,
   $$B=\frac{1}{2}\left(\cos 2\alpha +\frac{1}{2} \right)$$. 
3. $$A:B=1$$.

1. Пусть $$\textrm{arcctg}0,5=\alpha $$, откуда $$\textrm{ctg} \alpha =0,5$$, $$\textrm{tg}\alpha =2$$. 
2. Пусть $$\textrm{arcctg}0,2=\beta $$, откуда $$\textrm{ctg} \beta =0,2$$, $$\textrm{tg}\beta =5$$. 
3. Тогда, $$A=9\textrm{tg}\left(\alpha +\beta \right)$$,
   $$A=\frac{9\left(\textrm{tg}\alpha +\textrm{tg}\beta \right)}{1-\textrm{tg}\alpha \cdot \textrm{tg}\beta}$$, $$A=\frac{9\left(2+5 \right)}{1-2\cdot 5}=-7$$.

1. $${\cos }^{4}\left(x-\frac{11\pi }{4}+2\pi \right)={\cos }^{4}\left(x-\frac{3\pi }{4} \right)$$. 
2. $${\sin }^{4}\left(\frac{21\pi }{4}+x-6\pi \right)={\sin }^{4}\left(x-\frac{3\pi }{4} \right)$$. 
3. $$A=1\cdot \left( {\cos }^{2}\left(x-\frac{3\pi }{4} \right)-{\sin }^{2}\left(x-\frac{3\pi }{4} \right)\right)$$,
   $$A=\cos \left(2x-\frac{3\pi }{2} \right) =\cos \left(\frac{3\pi}{2}-2x\right)$$,
   $$A=-\sin{2x}=-\sin{30}^{\circ }=-\frac{1}{2}$$.

1. $$A=\cos\left(\frac{3\pi}{2} + \pi -\textrm{arccos}0,25\right)$$,
   $$A = \cos\left(\frac{5\pi}{2} - 2\pi - \textrm{arccos}0,25\right)$$,
   $$A= \cos\left(\frac{\pi}{2} - \textrm{arccos}0,25\right) = \sin(\textrm{arccos}0,25)$$. 
2. Пусть $$\textrm{arccos}0,25 = \alpha$$, откуда $$\cos\alpha = 0,25$$. 
3. Тогда, $$\sin\alpha = \sqrt{1 - 0,0625} = \sqrt{0,9375}$$. 
4. Так как $$0 < \sqrt{0,9375} <1$$, то $$0 + 1 = 1$$.