Тригонометрические выражения КТ 2
Если $$\textrm{tg}\alpha = -3$$, а $$\textrm{ctg}\beta = 2$$, то значение выражения $$\textrm{tg}(\alpha + \beta)$$ равно:
- $$\textrm{tg}\beta = \frac{1}{\textrm{ctg}\beta} = 0,5$$.
- $$\textrm{tg}(\alpha + \beta) = \frac{\textrm{tg}\alpha + \textrm{tg}\beta}{1 - \textrm{tg}\alpha \cdot \textrm{tg}\beta}$$,
$$\textrm{tg}(\alpha + \beta) = \frac{-3 + 0,5}{1 + 3 \cdot 0,5} = -1$$.
Введите ответ в поле
Если $$\alpha=80^{\circ}$$, а $$\beta=35^{\circ}$$, то значение выражения $$\frac{\textrm{tg}2\alpha\cos^{-1}2\beta-\textrm{tg}2\beta\cos^{-1}2\alpha}{\cos^{-1}2\alpha+\cos^{-1}2\beta}$$ равно:
- Преобразуем числитель дроби:
$$A=\frac{\sin 2\alpha}{\cos 2\alpha\cos 2\beta}- \frac{\sin 2\beta}{\cos 2\beta\cos 2\alpha}$$, $$A=\frac{\sin 2\alpha-\sin 2\beta}{\cos 2\alpha\cos 2\beta}$$. - Преобразуем знаменатель дроби:
$$B=\frac{1}{\cos 2\alpha}+\frac{1}{\cos 2\beta}$$, $$B=\frac{\cos 2\beta+\cos 2\alpha}{\cos 2\alpha\cos 2\beta}$$. - Разделим числитель дроби на ее знаменатель:
$$\frac{A}{B}= \frac{\sin 2\alpha-\sin 2\beta}{\cos 2\alpha+\cos 2\beta}$$. - Применим формулы преобразования сумм в произведения:
$$\frac{A}{B}=\frac{2\sin(\alpha-\beta)\cos(\alpha+\beta)}{2\cos(\alpha+\beta)\cos(\alpha-\beta)}$$,
$$\frac{A}{B}=\frac{\sin(\alpha-\beta)}{\cos(\alpha-\beta)}$$, $$\frac{A}{B}=\textrm{tg}(\alpha-\beta)$$. - Найдем значение данного выражения:
$$\frac{A}{B}=\textrm{tg}(80^{\circ}-35^{\circ})=\textrm{tg}45^{\circ}=1$$.
Введите ответ в поле
Значение выражения $$32\cos \frac{\pi }{15}\cos \frac{2\pi }{15}\cos \frac{4\pi }{15}\sin \frac{\pi }{30}$$ равно:
$$A=\frac{16\cos \frac{\pi }{15}\cos \frac{2\pi }{15}\cos \frac{4\pi }{15}\cdot \left(2\sin \frac{\pi }{30}\cos \frac{\pi }{30} \right)}{\cos \frac{\pi }{30}}$$,
$$A=\frac{8\cdot \left(2\sin \frac{\pi }{15}\cos \frac{\pi }{15} \right)\cos \frac{2\pi }{15}\cos \frac{4\pi }{15}}{\cos \frac{\pi }{30}}$$,
$$A=\frac{4\cdot \left(2\sin \frac{2\pi }{15}\cos \frac{2\pi }{15} \right)\cos \frac{4\pi }{15}}{\cos \frac{\pi }{30}}=\frac{2\cdot 2\sin \frac{4\pi }{15}\cos \frac{4\pi }{15}}{\cos \frac{\pi }{30}}$$,
$$A=\frac{2\sin \frac{8\pi }{15}}{\cos \frac{\pi }{30}}=\frac{2\cdot \sin \left(\frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{30} \right)}{\cos \frac{\pi }{30}}=\frac{2\cdot \cos \frac{\pi }{30}}{\cos \frac{\pi }{30}}=2$$.
Введите ответ в поле
Значение выражения $$10\cos^2\textrm{arcsin}\sqrt{0,4}$$ равно:
Пусть $$\textrm{arcsin}\sqrt{0,4} = \alpha$$, откуда $$\sin\alpha = \sqrt{0,4}$$.
Тогда, $$10\cos^2\alpha = 10 \cdot (1 - \sin^2\alpha) = 10 \cdot (1 - 0,4) = 6$$.
Введите ответ в поле
Если $$\textrm{tg}^2\alpha + \textrm{ctg}^2\alpha = 11$$, то значение выражения $$\textrm{tg}\alpha - \textrm{ctg}\alpha$$ равно:
$$\textrm{tg}^2\alpha + \textrm{ctg}^2\alpha -2\textrm{tg}\alpha \cdot \textrm{ctg}\alpha = 11 - 2\textrm{tg}\alpha \cdot \textrm{ctg}\alpha$$,
$$(\textrm{tg}\alpha - \textrm{ctg}\alpha)^2 = 11-2 =9$$.
$$(\textrm{tg}\alpha - \textrm{ctg}\alpha)^2 = 11-2 =9$$.
Тогда:
- $$\textrm{tg}\alpha-\textrm{ctg}\alpha=3$$;
- $$\textrm{tg}\alpha-\textrm{ctg}\alpha=-3$$.
Выберите один из вариантов
В результате преобразования выражения $$\frac{\sin \alpha }{\sin \frac{\alpha }{3}}-\frac{\cos \alpha }{\cos \frac{\alpha }{3}}$$ получим:
$$A=\frac{\sin \alpha \cdot \cos \frac{\alpha}{3} -\cos \alpha \cdot \sin \frac{\alpha }{3}}{\sin \frac{\alpha }{3}\cdot \cos \frac{\alpha }{3}}$$,
$$A=\frac{2\cdot \sin \frac{2\alpha }{3}}{2\cdot \sin \frac{\alpha }{3}\cdot \cos \frac{\alpha }{3}}$$,
$$A=\frac{2\cdot \sin \frac{2\alpha }{3}}{\sin \frac{2\alpha }{3}}=2$$.
Введите ответ в поле
Значение выражения $$\frac{\textrm{tg}{435}^{\circ}+\textrm{ctg}\left(-{375}^{\circ} \right)+\textrm{tg}{720}^{\circ}}{\sin{10}^{\circ}\cos{110}^{\circ}}$$ равно:
$$A=\frac{\textrm{tg}\left({435}^{\circ}-{360}^{\circ}\right)+\textrm{ctg}\left(-{375}^{\circ}+{360}^{\circ} \right)+\textrm{tg}\left({720}^{\circ}-{720}^{\circ}\right)}{\sin{10}^{\circ}\cos{110}^{\circ}}$$,
$$A=\frac{\textrm{tg}{75}^{\circ}+\textrm{ctg}\left(-{15}^{\circ} \right)+\textrm{tg}{0}^{\circ}}{\sin{10}^{\circ}\cos{110}^{\circ}}$$,
$$A=\frac{\textrm{tg}\left({90}^{\circ}-{15}^{\circ}\right)-\textrm{ctg}{15}^{\circ}+0}{\sin{10}^{\circ}\cos{110}^{\circ}}$$,
$$A=\frac{\textrm{ctg}{15}^{\circ}-\textrm{ctg}{15}^{\circ}}{\sin{10}^{\circ}\cos{110}^{\circ}}$$,
$$A=\frac{0}{\sin{10}^{\circ}\cos{110}^{\circ}}=0$$.
Введите ответ в поле
Если $$\sin 2\alpha=\frac{1}{5}$$, то значение выражения $$\sin^2\left(\alpha+\frac{9\pi}{4}\right)$$ равно:
- Применим формулу понижения степени:
$$A=\frac{1}{2}(1-\textrm{cos}(2\cdot 2,25\pi+2\cdot\alpha))$$,
$$A=\frac{1}{2}(1-\cos(4,5\pi+2\alpha))$$,
$$A=\frac{1}{2}(1-\cos(0,5\pi+2\alpha))$$. - Применим формулу приведения:
$$A=\frac{1}{2}(1+\sin 2\alpha)$$. - Найдем значение данного выражения:
$$A=0,5(1+0,2)=0,6$$.
Введите ответ в поле
Если $$\textrm{tg}3x = 1$$, то значение $$\cos{3x}$$ равно:
По формуле $$1 + \textrm{tg}^23x = \frac{1}{\cos^23x}$$ получим:
$$1 + 1 = \frac{1}{\cos^23x}$$, $$\cos^23x = \frac{1}{2}$$,
откуда $$\cos {3x}= \pm\frac{1}{\sqrt{2}} = \pm\frac{\sqrt{2}}{2}$$.
Выберите один из вариантов
Если $$\textrm{tg}\alpha =\sqrt{3}$$, то значение выражения $$\sqrt{3}\sin 2\alpha -0,5\cos 2\alpha $$ равно:
$$A=\frac{2\sqrt{3}\cdot \textrm{tg}\alpha}{1+\textrm{tg}^{2}\alpha }-\frac{1-\textrm{tg}^{2}\alpha }{2\left(1+\textrm{tg}^{2}\alpha \right)}$$,
$$A=\frac{4\sqrt{3}\cdot \textrm{tg}\alpha -1+\textrm{tg}^{2}\alpha}{2\left(1+\textrm{tg}^{2}\alpha \right)}$$,
$$A=\frac{4\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}-1+3}{2\left(1+3 \right)}=1,75$$.
Введите ответ в поле