Трансцендентные выражения КТ 4
Если $${2}^{x}=\sqrt{2}$$, то значение выражения $$2\cdot {16}^{x}-{2}^{4x}-{4}^{2x-2}$$ равно:
$$A=2\cdot {2}^{4x}-{2}^{4x}-{2}^{4x-4}={2}^{4x}-\frac{{2}^{4x}}{16}$$,
$$A={\left(\sqrt{2} \right)}^{4}-\frac{{\left(\sqrt{2} \right)}^{4}}{16}=4-0,25=3,75$$.
- Запишем выражение в виде:
$$\frac{1}{\textrm{log}_5(x + 1)^2}$$. - Решим уравнения:
1) $$x + 1 = 0$$, откуда $$x = -1$$;
2) $$\textrm{log}_5(x + 1)^2 = 0$$, $$(x + 1)^2 = 1$$, откуда $$x + 1 = 1$$ или $$x + 1 = -1$$.
Тогда $$x = 0$$ или $$x = -2$$. - Среднее арифметическое полученных чисел:
$$\frac{-1 + 0 - 2}{3} = -1$$.
- $${\log }_{2}5$$;
- $${\log }_{2}\left(-5\right)$$;
- $$ {\log }_{2}\left(\sqrt{2}-1\right)$$;
- $${\log }_{2}\left(1-\sqrt{2}\right)$$;
- $$ {\log }_{2}0$$.
Не имеют смысла выражения:
$${\log }_{2}\left(-5\right)$$, $${\log }_{2}\left(1-\sqrt{2}\right)$$ и $${\log }_{2}0$$,
так как $$-5<0$$, $$1-\sqrt{2}<0$$ и число $$0$$ неположительное.
В результате преобразования выражения $$\frac{\ln 125}{\ln 2}-\frac{\lg 5}{\lg 2}$$ получим:
$$\frac{\ln {5}^{3}}{\ln 2}-\frac{\lg 5}{\lg 2}=3{\log }_{2}5-{\log }_{2}5=2{\log }_{2}5$$.
- $$A=\textrm{log}_{2^2}2 - \textrm{log}_{2^4}2 +\textrm{log}_{2^6}2$$,
$$A=\frac{1}{2}\textrm{log}_22-\frac{1}{4}\textrm{log}_22+\frac{1}{6}\textrm{log}_22$$,
$$A= \frac{1}{2} - \frac{1}{4} + \frac{1}{6} = \frac{5}{12}$$. - $$A^{-1}=\left(\frac{5}{12}\right)^{-1}=\frac{12}{5}$$.
Если $${\log }_{b}a=-6$$, то значение выражения $${\log }_{ab}{b}^{5}\cdot \left(5{\log }_{ab}a \right)$$ равно:
$$A=25{\log }_{ab}b\cdot {\log }_{ab}a=\frac{25}{{\log }_{b}ab\cdot{\log }_{a}ab }$$,
$$A=\frac{25}{\left({\log }_{b}a+{\log }_{b}b\right)\cdot\left({\log }_{a}a+{\log }_{a}b\right)}$$,
$$A=\frac{25}{\left(-6+1 \right)\cdot \left(1-\frac{1}{6} \right)}=\frac{25\cdot 6}{-5\cdot 5}=-6$$.