1. ОДЗ: $$x\neq1$$. 
2. Преобразуем уравнение:
    $$|x|^2-|x||x-1|-|x|=0$$, $$|x|(|x|-|x-1|-1)=0$$, откуда $$x=0$$ или $$|x|-|x-1|-1=0$$. 
3. Решим уравнение $$|x|-|x-1|-1=0$$ (рис. 2).
                                          
   3.1. Если $$x\in(-\infty;0]$$, то получим: $$-x+x-1-1=0$$, откуда $$-2\neq0$$. Следовательно, на этом промежутке решений нет.
   3.2. Если $$x\in(0;1)$$, то получим: $$x+x-1-1=0$$, откуда $$x=1\not\in(0;1)$$.
   3.3. Если $$x\in[1;+\infty)$$, то получим: $$x-x+1-1=0$$, откуда $$0=0$$. 
4. Следовательно, решением уравнения является промежуток $$[1;+\infty)$$.
   Целые решения уравнения на промежутке $$(-10;10)$$:
    $$1$$, $$2$$, $$3$$, $$4$$, $$5$$, $$6$$, $$7$$, $$8$$, $$9$$.

$$x^2 + 2x - x^2 - 2x = 0$$, $$0 = 0$$. 
Следовательно, $$x \in \textrm{R}$$.

1. Полагая $$\sqrt[5]{\frac{x+2}{x}}=a$$, получим:
    $$2a-\frac{3}{a}=5$$, $$2a^2-5a-3=0$$, откуда $$D=49$$, $$a_1=-\frac{1}{2}$$, $$a_2=3$$. 
2. Решим уравнения:
   1) $$\sqrt[5]{\frac{x+2}{x}}=-\frac{1}{2}$$, $$\frac{x+2}{x}=-\frac{1}{32}$$, $$32x+64=-x$$, $$x=-\frac{64}{33}$$;
   2) $$\sqrt[5]{\frac{x+2}{x}}=3$$, $$\frac{x+2}{x}=243$$, $$x+2=243x$$, $$x=\frac{1}{121}$$. 
3. Тогда, $$-\frac{1}{121}\cdot\frac{33}{64}=-\frac{3}{704}$$.

1. Построим параболу $$y = x^2 - 6x + 8$$ (1) (рис. 1).

   Координаты вершины:

   $$x_0 = \frac{-b}{2a} = 3$$, $$y_0 = 9 - 18 + 8 = -1$$.

   Нули функции: $$x_1 = 2$$, $$x_2 = 4$$.

2. Построим график функции $$y = |x^2 - 5x + 6|$$ (2): часть графика (1), расположенного над ось Ох, оставляем, а ту, что под осью, отражаем симметрично этой оси (рис. 2).

3. Построим прямую $$y = \frac{a}{6}$$ (3) так, чтобы она пересекала график (2) в четырех точках (рис. 2).

   Очевидно, что $$0 < \frac{a}{6} < 1$$, откуда $$0 < a < 6$$.

   Тогда, $$1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 = 120$$.

Рис. 1

Рис. 2

$$\left\{\begin{array}{l} (\sqrt{x} - 2\sqrt{y})(\sqrt{x} + 2\sqrt{y}) = 11, \\ \sqrt{x} + 2\sqrt{y} = 11; \end{array}\right.$$ $$\left\{\begin{array}{l} \sqrt{x} - 2\sqrt{y} = 1, \\ \sqrt{x} + 2\sqrt{y} = 11; \end{array}\right.$$

$$\left\{\begin{array}{l} \sqrt{x} - 2\sqrt{y} = 1, \\ 2\sqrt{x} = 12; \end{array}\right.$$ $$\left\{\begin{array}{l} \sqrt{y} = 2,5, \\ \sqrt{x} = 6; \end{array}\right.$$ $$\left\{\begin{array}{l} y = 6,25, \\ x = 36. \end{array}\right.$$

Тогда, $$\sqrt{6,25 \cdot 36} = 2,5 \cdot 6 = 15$$.

1. Разложим левую часть уравнения на множители:
   $$(x^3 - x^2) + (-4x + 4) = 0$$,
   $$x^2(x - 1) - 4(x - 1) = 0$$,
   $$(x - 1)(x^2 - 4) = 0$$,
   $$(x - 1)(x - 2)(x + 2) = 0$$, откуда $$x_1 = 1$$, $$x_2 = 2$$, $$x_3 = -2$$. 
2. Найдем сумму корней уравнения: $$1 + 2 +(- 2) = 1$$.

1. Применим формулу квадрата суммы:
   $$|(x + 1)^2| - |x^2 + 2x| - 3x = 0$$,
   $$(x + 1)^2 - |x^2 + 2x| - 3x = 0$$,
   $$|x^2 + 2x| = x^2 - x + 1$$, где $$x^2 - x + 1 \ge 0$$. 
2. Возведем обе части полученного уравнения в квадрат:
   $$(x^2 + 2x)^2 = (x^2 -x + 1)^2 $$,
   $$(x^2 + 2x)^2 - (x^2 -x + 1)^2 = 0$$. 
3. Применим формулу разности квадратов:
   $$(3x - 1)(2x^2 + x + 1) = 0$$, откуда $$3x - 1 = 0$$ или $$2x^2 + x + 1 = 0$$, где $$D < 0$$. 
4. Корень уравнения: $$x = \frac{1}{3}$$.

1. Подберем целый корень уравнения:
   если $$x=1$$, то $$1+2-3=0$$. 
2. Выполним деление многочленов: 
   
3. Решим уравнение:
   $$x^2+3x+3=0$$, откуда $$x\in\varnothing$$, так как $$D=9-12=-3<0$$. 
4. Уравнение $$x^3+2x^2-3=0$$ имеет единственный корень: $$x=1$$.

$$\frac{x + 2}{x^2 + 1} - \frac{x + 2}{x^2 - 1} = 0$$,

$$(x + 2) \cdot \left(\frac{1}{x^2 + 1} - \frac{1}{x^2 - 1}\right) = 0$$,

$$(x + 2) \cdot \frac{-2}{(x^2 + 1)(x^2 - 1)} = 0$$,

откуда $$x = -2$$.