Алгебраические уравнения КТ 3
- Запишем уравнение в виде:
$$x(x^2 + 3x - 5) = 0$$, откуда $$x_1 = 0$$ или $$x^2 + 3x - 5 = 0$$.
Так как $$D = 9 + 20 = 29 > 0$$, то $$x_2 + x_3 = -3$$. - Найдем среднее арифметическое корней уравнения:
$$\frac{x_1 + x_2 + x_3}{3} = \frac{0 - 3}{3} = -1$$.
Если $$p$$ – произведение корней уравнения $$\sqrt{7}x^2 - 7 = 0$$, а $$k$$ – количество корней уравнения $$\sqrt{7}x^2 + 7 = 0$$, то $$p^k$$ равно:
-
$$\sqrt{7}x^2 = 7$$, $$x^2 = \sqrt{7}$$, $$x = \pm\sqrt[4]{7}$$.
Следовательно, $$p = -\sqrt[4]{7} \cdot \sqrt[4]{7} = -\sqrt{7}$$. -
$$\sqrt{7}x^2 = -7$$, $$x^2 = -\sqrt{7}$$, $$x \in \varnothing$$.
Следовательно, $$k = 0$$. - $$p^k = (-\sqrt{7})^0 = 1$$.
Множество решений уравнения $$\sqrt[3]{x^3 + 2} = -x$$ имеет вид:
$$x^3 + 2 = -x^3$$, $$2x^3 = -2$$, $$x^3 = -1$$, $$x = -1$$.
Количество корней уравнения $$\frac{x^3 - 15x^2 + 54x}{\sqrt{x^2 - x - 56}} = 0$$ равно:
ОДЗ: $$x^2 - x - 56 > 0$$.
Решим уравнение:
$$x(x^2 - 15x + 54) = 0$$.
Получим:
- $$x = 0 \notin$$ ОДЗ;
- $$x^2 - 15x + 54 = 0$$, откуда $$x_1 = 9$$, $$x_2 = 6 \notin$$ ОДЗ.
- Построим параболу $$y = x^2 - 6x + 8$$ (1) (рис. 1).
Координаты вершины: $$x_0 = \frac{-b}{2a} = 3$$, $$y_0 = 9 - 18 + 8 = -1$$.
Нули функции: $$x_1 = 2$$, $$x_2 = 4$$. - Построим график функции $$y = |x|^2 - 6|x| + 8$$ (2):
часть графика (1), расположенного правее оси $$Oy$$, оставляем и ее же отражаем симметрично этой оси (рис. 2). - Построим прямую $$y = a$$ (3) так, чтобы она пересекала график (2) в четырех точках (рис. 2).
Очевидно, что $$-1 < a < 8$$. - Найдем среднее арифметическое всех целых значений $$a$$:
$$(0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7) : 8 = 3,5$$.
- Рассмотрим первое уравнение системы.
Полагая $$\sqrt{\frac{y}{x}} = a > 0$$, получим:
$$a - \frac{2}{a} = 1$$, $$a^2 - a - 2 = 0$$, откуда $$a_1 = 2$$, $$a_2 = -1 < 0$$.
Тогда: $$\sqrt{\frac{y}{x}} = 2$$, откуда $$y = 4x$$. - Рассмотрим второе уравнение системы.
$$\sqrt{5x + 4x} + \sqrt{5x - 4x} = 4$$,
$$3\sqrt{x} + \sqrt{x} = 4$$, $$4\sqrt{x} = 4$$, $$x = 1$$.
Тогда, $$y = 4$$. - $$yx^{-1} = 4 \cdot 1 = 4$$.
- Возведем обе части уравнения в квадрат и применим формулу разности квадратов:
$$(6x - 7)^2 = (x - 2)^2$$, $$(6x - 7)^2-(x - 2)^2=0$$,
$$(5x - 5)(7x - 9) = 0$$, откуда $$x = 1$$ или $$x = \frac{9}{7}$$. - $$\left|1 - \frac{9}{7}\right|^{-1} = 3,5$$.
Куб среднего арифметического всех действительных корней уравнения $$x^3 + 4|x| = 0$$ равен:
Запишем уравнение в виде: $$4|x| = -x^3$$.
Так как $$x \le 0$$, то
$$-4x = -x^3$$, $$x(x + 2)(x - 2) = 0$$,
откуда $$x_1 = 0$$, $$x_2 = -2$$, $$x_3 = 2$$ (посторонний корень).
Тогда, $$\left(\frac{0 - 2}{2}\right)^3 = -1$$.
Произведение всех действительных корней уравнения $$(x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4) = 3$$ равно:
$$((x - 1)(x - 4))((x - 2)(x - 3)) = 3$$,
$$(x^2 - 5x + 4)(x^2 - 5x + 6) = 3$$.
Полагая $$x^2 - 5x + 5 = a$$, получим:
$$(a - 1)(a + 1) = 3$$, $$a^2 = 4$$, откуда $$a = \pm2$$.
Имеем уравнения:
- $$x^2 - 5x + 3 = 0$$, откуда $$x_1x_2 = 3$$, так как $$D = 25 - 12 = 13 > 0$$;
- $$x^2 - 5x + 7 = 0$$, откуда $$x \in \varnothing$$, так как $$D = 25 - 28 = -3 < 0$$.
- Пусть $$\sqrt{2x^2 - 3x + 2} = a$$.
Тогда: $$2x^2 - 3x + 2 = a^2$$, $$2x^2 - 3x = a^2 - 2$$.
Получим: $$a^2 - a - 2 = 0$$, откуда $$D = 1$$, $$a_1 = -1$$, $$a_2 = 2$$. - Решим уравнение:
$$\sqrt{2x^2 - 3x + 2} = 2$$, $$2x^2 - 3x - 2 = 0$$,
откуда $$x_1x_2 = \frac{-2}{2} = -1$$, так как $$D > 0$$.