1. ОДЗ: $$1 - x^2 \ge 0$$, откуда $$-1 \le x \le 1$$. 
2. $$\left[\begin{array}{l} x^2 - 3x = 1 - x^2, \\ x^2 - 3x = -1 + x^2; \end{array}\right.$$ $$\left[\begin{array}{l} 2x^2 - 3x - 1 = 0, \\ - 3x = -1; \end{array}\right.$$ $$\left[\begin{array}{l} x = \frac{3 - \sqrt{17}}{4}, \\ x = \frac{3 + \sqrt{17}}{4} > 1, \\ x = \frac{1}{3}. \end{array}\right.$$ 
3. Так как $$k = 2$$, а $$x_0 = \frac{1}{3}$$, то $$x_0^{-k} = 9$$.

$$\left(\frac{x^2}{4} + \frac{9}{x^2}\right) + \left(\frac{x}{2} + \frac{3}{x}\right) = 3$$.

Полагая $$\frac{x}{2} + \frac{3}{x} = a$$, получим:

$$\left(\frac{x}{2} + \frac{3}{x}\right)^2 = a^2$$, $$\frac{x^2}{4} + 2 \cdot \frac{x}{2} \cdot \frac{3}{x} + \frac{9}{x^2} = a^2$$, $$\frac{x^2}{4} + \frac{9}{x^2} = a^2 - 3$$.

Тогда: $$a^2 + a - 6 = 0$$, откуда $$a_1 = -3$$, $$a_2 = 2$$.

Решим уравнения:

1. $$\frac{x}{2} + \frac{3}{x} = -3$$, $$x^2 - 6x + 6 = 0$$,

   откуда $$x_1x_2 = 6$$, так как $$D = 36 - 24 = 12 > 0$$;

2. $$\frac{x}{2} + \frac{3}{x} = 2$$, $$x^2 - 4x + 6 = 0$$,

   откуда $$x \in \varnothing$$, так как $$D = 16 - 24 = -8 < 0$$.

Тогда, $$2x_1x_2 = 12$$.

1. ОДЗ: $$x \ge 0$$, $$y \ge 0$$. 
2. Выполним преобразования:
    $$\left\{\begin{array} (\sqrt{x} + \sqrt{y + 1})^2 = 1, \\ (\sqrt{x + 1} + \sqrt{y})^2 = 1; \end{array}\right.$$ $$\left\{\begin{array}{1} x + y + 1 + 2\sqrt{x(y + 1)} = 1, \\ x + y + 1 + 2\sqrt{y(x + 1)} = 1. \end{array}\right.$$
   Получим:
   $$\sqrt{x(y + 1)} = \sqrt{y(x + 1)}$$, $$xy + x = xy + y$$, откуда $$x = y$$. 
3. Подставим это значение в первое уравнение системы:
    $$\sqrt{x} + \sqrt{x + 1} = 1$$, $$(\sqrt{x} + \sqrt{x + 1})^2 = 1$$,
    $$x + 2\sqrt{x}\sqrt{x + 1} + x + 1 = 1$$, $$\sqrt{x(x + 1)} = -x$$, где $$x \le 0$$. 
4. Учитывая ОДЗ, получим: $$x = 0$$, $$y = 0$$.

1. $$x_1 + x_2 = (5 - \sqrt{3}) + (5 + \sqrt{3}) = 10$$.
2. $$x_1 \cdot x_2 = (5 - \sqrt{3})(5 + \sqrt{3}) = 25 - 3 = 22$$.

3. Запишем искомое уравнение в виде:

   $$x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2 = 0$$,

   $$x^2 - 10x + 22 = 0$$.

1. Полагая $$\sqrt[4]{x + 8} = a$$, получим:
   $$a^2 - a - 2 = 0$$, откуда $$D = 1$$, $$a_1 = -1$$, $$a_2 = 2$$. 
2. Решим уравнение:
   $$\sqrt[4]{x + 8} = 2$$, $$x + 8 = 16$$, $$x = 8$$. 
3. Тогда, $$(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8) : 8 = 4,5$$.

Запишем уравнение в виде:

$$|x^2 - 1|^2 - 13|x^2 - 1| + 42 = 0$$.

Получим уравнения:

1. $$|x^2 - 1| = 6 \Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{array}{l} x^2 - 1 = 6, \\ x^2 - 1 = -6, \end{array}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{array}{l} x^2 = 7, \\ x^2 = -5, \end{array}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$x = \pm \sqrt{7}$$;
2. $$|x^2 - 1| = 7 \Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{array}{l} x^2 - 1 = 7, \\ x^2 - 1 = -7, \end{array}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{array}{l} x^2 = 8, \\ x^2 = -6, \end{array}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$x = \pm \sqrt{8}$$.

Тогда, $$-\sqrt{7} \cdot \sqrt{7} \cdot (-\sqrt{8}) \cdot \sqrt{8} = 56$$.

ОДЗ: $$x^2 - 12x + 39 \ge 0$$.

$$(x + 7)(\sqrt{x^2 - 12x + 39} - 2) = 0$$.

Решим уравнения:

1. $$x + 7 = 0$$, $$x = -7$$;

2. $$\sqrt{x^2 - 12x + 39} = 2$$, $$x^2 - 12x + 35 = 0$$,

   откуда $$x_1 = 5$$, $$x_2 = 7$$.

Тогда, $$-7 \cdot 5 \cdot 7 = -245$$.

$$5 - \sqrt{x^2 + 3} = -8$$, $$\sqrt{x^2 + 3} = 13$$,

$$x^2 + 3 = 169$$, $$x^2 = 166$$, $$x = \pm \sqrt{166}$$.

Тогда, $$-\sqrt{166} \cdot \sqrt{166} = -166$$.