Алгебраические уравнения КТ 5
Модуль разности корней уравнения $$\sqrt[3]{x^2 - 3x + 2}\sqrt{x^2 - x - 2} = 0$$ равен:
ОДЗ: $$x^2 - x - 2 \ge 0$$.
Решим уравнения:
- $$x^2 - 3x + 2 = 0$$, откуда $$x_1 = 2$$, $$x_2 = 1 \notin$$ ОДЗ;
- $$x^2 - x - 2 = 0$$, откуда $$x_1 = 2$$, $$x_2 = -1$$.
Тогда, $$|2 + 1| = 3$$.
Если $$k$$ – количество корней уравнения $$|3 + x| \cdot |2 - x| = 3x + 2$$, а $$x_0$$ – наибольший из корней, то произведение чисел $$k$$ и $$x_0$$ равно:
Найдем нули функций, записанных под знаками модулей:
$$x_1 = -3$$, $$x_2 = 2$$.
Решим уравнения на полученных промежутках (рис. 1).
-
Если $$x \in (-\infty; -3]$$, то получим:
$$(-3 - x)(2 - x) = 3x + 2$$,
$$x^2 - 2x - 8 = 0$$,
откуда $$x_1 = -2$$, $$x_2 = 4$$.
Следовательно, на этом промежутке решений нет.
-
Если $$x \in (-3; 2]$$, то получим:
$$(3 + x)(2 - x) = 3x + 2$$,
$$x^2 + 4x - 4 = 0$$,
откуда $$x_1 = -2 + 2\sqrt{2}$$, $$x_2 = -2 - 2\sqrt{2}$$.
Следовательно $$x = -2 - 2\sqrt{2}$$ – корень уравнения.
-
Если $$x \in (2; +\infty)$$, то получим:
$$(3 + x)(-2 + x) = 3x + 2$$,
$$x^2 - 2x - 8 = 0$$,
откуда $$x_1 = -2$$, $$x_2 = 4$$.
Следовательно, $$x = 4$$ – корень уравнения.
Так как $$k = 2$$, а $$x_0 = 4$$, то $$kx_0 = 2 \cdot 4 = 8$$.
- $$\sqrt[6]{3x - 2} = \frac{1}{2}$$, $$3x - 2 = \frac{1}{64}$$, $$x = \frac{43}{64}$$;
- $$\sqrt[6]{3x - 2} = 1$$, $$3x - 2 = 1$$, $$x = 1$$.
- ОДЗ: $$7 - 2x \ge 0$$, откуда $$x \le 3,5$$.
- $$\left[\begin{array}{l} 2x - 7 = 7 - 2x, \\ 2x - 7 = -7 + 2x; \end{array}\right.$$ $$\left[\begin{array}{l} x \in \varnothing, \\ x \in ОДЗ. \end{array}\right.$$
- Целые неотрицательные решения: $$0$$, $$1$$, $$2$$, $$3$$.
Количество упорядоченных пар чисел, которые образуют решение системы уравнений $$\left\{\begin{array}{l} x + xy + y = 5, \\ x^2 + y^2 + x^2y^2 = 15, \end{array}\right.$$ равно:
Полагая $$x + y = a$$, а $$xy = b$$, получим:
$$x^2 + y^2 + 2xy = a$$, $$x^2 + y^2 = a^2 - 2b$$.
Решим систему уравнений:
$$\left\{\begin{array}{l} a + b = 5, \\ a^2 + b^2 - 2b = 15, \end{array}\right.$$
Так как $$a = 5 - b$$, то $$(5 - b)^2 + b^2 - 2b = 15$$,
$$b^2 - 6b + 5 = 0$$, откуда $$b_1 = 1$$, $$b_2 = 5$$.
Тогда: $$a_1 = 4$$, $$a_2 = 0$$.
Получим системы уравнений:
- $$\left\{\begin{array}{l} x + y = 4, \\ xy = 1; \end{array}\right.$$ $$\left\{\begin{array}{l} y = 4 - x, \\ x^2 - 4x + 1 = 0; \end{array}\right.$$
- $$\left\{\begin{array}{l} x + y = 0, \\ xy = 5; \end{array}\right.$$ $$\left\{\begin{array}{l} y = - x, \\ x^2 = -5. \end{array}\right.$$
Первая система имеет два решения, а вторая система решений не имеет.
Если числа $$x_1$$ и $$x_2$$ – корни уравнения $$3x^2 - 4x + 1 = 0$$, то значение выражения $$\frac{(x_1x_2)^{-1}}{x_1 + x_2}$$ равно:
Так как $$D = 16 - 12 = 4 > 0$$, то
$$x_1 + x_2 = \frac{4}{3}$$, а $$x_1x_2 = \frac{1}{3}$$.
Тогда, $$\frac{(x_1x_2)^{-1}}{x_1 + x_2} = 3 \cdot \frac{3}{4} = 2,25$$.
- Умножим первое уравнение на число $$2$$:
$$\left\{\begin{array}{l} 2x + 4y = -1, \\ x^2 + 4y = -2. \end{array}\right.$$ - Вычитая из второго уравнения системы первое уравнение, получим:
$$x^2 - 2x + 1 = 0$$, $$(x - 1)^2 = 0$$, $$x = 1$$.
Тогда, $$2 + 4y = -1$$, $$y = -0,75$$. - $$|1 + 0,75| = 1,75$$.
Сумма квадратов корней уравнения $$\sqrt{7 - \sqrt[3]{x^2 - 10}} = 3$$ равна:
$$7 - \sqrt[3]{x^2 - 10} = 9$$, $$\sqrt[3]{x^2 - 10} = -2$$, $$x^2 - 10 = -8$$, $$x^2 = 2$$, $$x = \pm\sqrt{2}$$.
Тогда, $$2 + 2 = 4$$.
- $$\sqrt[3]{2 - x} = 0$$, откуда $$x = 2$$;
- $$\sqrt[3]{2 - x} = -2$$, откуда $$x = 10$$;
- $$\sqrt[3]{2 - x} = 1$$, откуда $$x = 1$$.