Трансцендентные уравнения КТ 1
Сумма наибольшего отрицательного и наименьшего положительного корней уравнения $$\cos^2x + 3\sin (90^{\circ} - x) + 2 = 0$$ равна:
$$\cos^2x + 3\cos{x} + 2 = 0$$, откуда:
- $$\cos{x} = -2$$, значит $$x \in \varnothing$$;
- $$\cos{x} = -1$$, значит $$x = \pi + 2\pi n$$, где $$n \in \textrm{Z}$$.
При $$n = -1$$ получим: $$x = -\pi$$.
При $$n = 0$$ получим: $$x = \pi$$.
Тогда, $$-\pi + \pi = 0$$.
Количество корней уравнения $$\frac{\sin 2x}{\textrm{ctg}x}= \textrm{tg}x$$, принадлежащих отрезку $$[-3\pi; 3\pi]$$, равно:
Имеем уравнение: $$\frac{2\sin{x} \cdot \cos{x}}{\frac{\cos{x}}{\sin{x}}} = 0$$.
ОДЗ: $$\frac{\cos{x}}{\sin{x}} \neq 0$$, откуда $$\sin{x} \neq 0$$ и $$\cos{x} \neq 0$$.
Следовательно, корней нет.
Среднее арифметическое корней (или корень, если он единственный) уравнения $$\textrm{lg}x^2 + \textrm{lg}(x + 1) = \textrm{lg}(x^3 + 3x - 2)$$ равно:
ОДЗ: $$x > -1$$ и $$x^3 + 3x - 2 > 0$$.
$$\textrm{lg}(x^3 + x^2) = \textrm{lg}(x^3 + 3x - 2)$$,
$$x^3 + x^2 = x^3 + 3x - 2$$,
$$x^2 - 3x + 2 = 0$$,
откуда $$x_1 = 1$$, $$x_2 = 2$$.
Тогда, $$(1 + 2) : 2 = 1,5$$.
- ОДЗ: $$\frac{x + 5}{x - 5} > 0$$.
- Решение уравнения:
$$\textrm{log}_2(x - 5)^{-2} = \textrm{log}_2\frac{x + 5}{x - 5}$$,
$$\frac{1}{(x - 5)^2} = \frac{x + 5}{x - 5}$$,
$$\frac{1}{x - 5} = x + 5$$,
$$x^2 - 25 = 1$$, откуда $$x = \pm \sqrt{26}$$. - Сумма квадратов корней уравнения: $$26 + 26 = 52$$.
- $$\left(4 + \sqrt{15}\right)^x + \left(4 - \sqrt{15}\right)^x = 8$$.
Пусть $$\left(4 + \sqrt{15}\right)^x = a$$.
Так как $$\left(4 + \sqrt{15}\right)^x \cdot \left(4 - \sqrt{15}\right)^x = 1$$, то $$\left(4 - \sqrt{15}\right)^x = \frac{1}{a}$$.
Получим: $$a + \frac{1}{a} = 8$$, $$a^2 - 8a + 1 = 0$$, откуда
$$D = 60$$, $$a_1 = 4 - \sqrt{15}$$, $$a_2 = 4 + \sqrt{15}$$. - Решим уравнения:
1) $$\left(4 + \sqrt{15}\right)^x = 4 - \sqrt{15}$$, откуда $$x = -1$$;
2) $$\left(4 + \sqrt{15}\right)^x = 4 + \sqrt{15}$$, откуда $$x = 1$$. - Сумма модулей корней уравнения: $$|-1| + |1| = 2$$.
Число, обратное корню уравнения $$\frac{0,25}{64^{0,5x - 1}} = \frac{\sqrt{2^x}}{4^{3x}}$$, равно:
$$\frac{2^{-2}}{2^{6(0,5x- 1)}} = \frac{2^{0,5x}}{2^{6x}}$$, $$2^{-2 - 3x + 6} = 2^{0,5x - 6x}$$,
$$4 - 3x = -5,5x$$, откуда $$x = -1,6$$.
Тогда, $$(-1,6)^{-1} = \left(-\frac{8}{5}\right)^{-1} = -\frac{5}{8}$$.
Сумма корней уравнения $$(6 - x)^{x^2 - 3x} = (6 - x)^{10}$$ равна:
- Если $$6 - x > 0$$, то $$x^2 - 3x - 10 = 0$$, откуда $$x_1 = -2$$, $$x_2 = 5$$.
- Если $$6 - x = 1$$, то $$x = 5$$.
- Если $$6 - x = 0$$, то $$x=6$$. Проверка: $$0^{18}=0^{10}$$.
Следовательно, $$x=6$$ – корень уравнения.
- $$3^{2x + x + 1 - 5x} = 3^5$$, $$1 - 2x = 5$$, $$x = -2$$.
- $$6^{-2 + 2} = 6^0 = 1$$.