Трансцендентные уравнения КТ 2
Среднее арифметическое модулей корней уравнения $$4\sin^22x - \cos 4x = 2$$, принадлежащих промежутку $$[-0,5\pi; 0,5\pi]$$, равно:
-
$$2(1 -\cos 4x)) - \cos 4x = 2$$, $$\cos 4x = 0$$,
откуда $$4x = \frac{\pi}{2} + \pi n$$, $$x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}$$, где $$n \in \textrm{Z}$$.
-
Отбор корней:
если $$n = -2$$, то $$x = -\frac{3\pi}{8}$$; если $$n = -1$$, то $$x = -\frac{\pi}{8}$$;
если $$n = 0$$, то $$x = \frac{\pi}{8}$$; если $$n = 1$$, то $$x = \frac{3\pi}{8}$$.
- $$\left(\frac{3\pi}{8} + \frac{\pi}{8} + \frac{\pi}{8} + \frac{3\pi}{8}\right) : 4 = \frac{\pi}{4}$$.
- Полагая $$\textrm{tg} \frac{\pi x}{2} = a$$, получим:
$$\frac{1 - a^2}{2a} + a = 1$$, $$a^2 - 2a + 1 = 0$$,
$$(a - 1)^2 = 0$$, $$a = 1$$.
Тогда: $$\textrm{tg} \frac{\pi x}{2} = 1$$, $$\frac{\pi x}{2} = \frac{\pi}{4} + \pi n$$, $$x = \frac{1}{2} + 2n$$, $$n \in \textrm{Z}$$. - Отбор корней с учетом, что $$0,5 \pi \approx 1,57$$:
если $$n = -1$$, то $$x = -1,5$$; если $$n = 0$$, то $$x = 0,5$$. - Сумма модулей корней уравнения:
$$|-1,5| + |0,5| = 2$$.
Полусумма корней уравнения $$\textrm{log}_2^2x - 6\textrm{log}_2x + 5 = 0$$ равна:
ОДЗ: $$x > 0$$.
Полагая $$\textrm{log}_2x = a$$, получим:
$$a^2 - 6a + 5 = 0$$, откуда $$a_1 = 1$$, $$a_2 = 5$$.
Решим уравнения:
- $$\textrm{log}_2x = 1$$, откуда $$x = 2$$;
- $$\textrm{log}_2x = 5$$, откуда $$x = 32$$.
Тогда, $$(2 + 32) : 2 = 17$$.
- Преобразуем уравнение:
$$\frac{125 \cdot 4^{\sqrt{x}}}{10^{\sqrt{x}}} - \frac{70 \cdot 10^{\sqrt{x}}}{10^{\sqrt{x}}} + \frac{8 \cdot 25^{\sqrt{x}}}{10^{\sqrt{x}}} = 0$$,
$$125 \cdot \left(\frac{2}{5}\right)^{\sqrt{x}} - 70 + 8 \cdot \left(\frac{5}{2}\right)^{\sqrt{x}} = 0$$. - Полагая $$\left(\frac{2}{5}\right)^{\sqrt{x}} = a>0$$, получим:
$$125a - 70 + \frac{8}{a} = 0$$,
$$125a^2 - 70a + 8 = 0$$, откуда $$D = 900$$, $$a_1 = \frac{4}{25}$$, $$a_2 = \frac{2}{5}$$. - Решим уравнения:
1) $$\left(\frac{2}{5}\right)^{\sqrt{x}} = \frac{4}{25}$$, $$\sqrt{x} = 2$$, $$x = 4$$;
2) $$\left(\frac{2}{5}\right)^{\sqrt{x}} = \frac{2}{5}$$, $$\sqrt{x} = 1$$, $$x = 1$$. - Произведение корней уравнения: $$4 \cdot 1 = 4$$.
Сумма координат упорядоченных пар чисел, которые образуют решение системы уравнений $$\left\{\begin{array}{l} 5^{2x} + 5^{2y} = 6, \\ 5^{x + y} = \sqrt{5}, \end{array}\right.$$ равна:
- $$5^{x + y} = 5^{0,5}$$, $$x + y = 0,5$$, откуда $$y = 0,5 - x$$.
-
$$5^{2x} + 5^{1 - 2x} = 6$$, $$5^{2x} + \frac{5}{5^{2x}} = 6$$, $$5^{4x} - 6 \cdot 5^{2x} + 5 = 0$$,
откуда $$5^{2x} = 1$$ или $$5^{2x} = 5$$.
Тогда: $$x_1 = 0$$, $$y_1 = 0,5$$; $$x_2 = 0,5$$, $$y_2 = 0$$.
- $$0 + 0,5 + 0,5 + 0 = 1$$.
Среднее арифметическое квадратов корней уравнения $$\sqrt{4 - x^2}(3\sin 2\pi x + 8\sin \pi x) = \textrm{ctg}90^{\circ}$$ равно:
ОДЗ: $$|x| \le 2$$.
$$\sqrt{4 - x^2}(6\sin \pi x \cdot \cos \pi x + 8 \sin \pi x) = 0$$,
$$\sqrt{4 - x^2} \cdot \sin \pi x(3\cos \pi x + 4) = 0$$, откуда:
- $$4 - x^2 = 0$$, $$x = \pm 2$$;
- $$\sin \pi x = 0$$, $$\pi x = \pi n$$, $$x = n$$, где $$n \in \textrm{Z}$$;
- $$3\cos \pi x + 4 = 0$$, $$\cos \pi x = -\frac{4}{3}$$, $$x \in \varnothing$$.
Тогда, $$\left((-2)^2 + (-1)^2 + 0 +1^2 + 2^2\right) : 5 = 2$$.
Сумма целых чисел, между которыми заключен корень уравнения $$3^x - 3^{x + 1} + 3^{x - 2} = -17$$, равна:
$$3^{x - 2}(3^{x - x + 2} - 3^{x + 1 - x + 2} + 1) = -17$$,
$$3^{x - 2}(3^2 - 3^3 + 1) = -17$$, $$3^{x - 2}(-17) = -17$$,
$$3^{x - 2} = 1$$, $$x - 2 = 0$$, $$x = 2$$.
Тогда, $$1 + 3 = 4$$.
- $$\frac{0,5(1 + \cos (x + 30^{\circ}))}{0,5(1 - \cos (x - 30^{\circ}))} = 1$$,
$$\cos (x + 30^{\circ}) + \cos (x - 30^{\circ}) = 0$$,
$$2\cos{x} \cdot \cos 30^{\circ} = 0$$, $$\cos{x} = 0$$,
$$x = 90^{\circ} + 180^{\circ} \cdot n$$, где $$n \in \textrm{Z}$$. - $$(90^{\circ} + 270^{\circ} + 450^{\circ}) : 3 = 270^{\circ}$$.