Трансцендентные уравнения КТ 3
Произведение корней уравнения $$\textrm{lg}(x^2 - 5)^2 - \textrm{lg}(x + 5) = 1 + \textrm{lg}(x^2 - 5)$$ равно:
ОДЗ: $$x > -5$$ и $$x^2 > 5$$.
$$\textrm{lg}(x^2 - 5)^2 - \textrm{lg}(x + 5) - \textrm{lg}(x^2 - 5) = 1$$,
$$\textrm{lg}\frac{(x^2 - 5)^2}{(x + 5)(x^2 - 5)} = 1$$, $$\frac{x^2 - 5}{x + 5} = 10$$,
$$x^2 - 10x - 55 = 0$$, откуда $$x_1 = 5 - 4\sqrt{5}$$, $$x_2 = 5 + 4\sqrt{5}$$.
Тогда, $$x_1\cdot x_2 = -55$$.
Сумма корней уравнений $$\textrm{log}_2x = -2$$ и $$\textrm{log}_2x^2 = -2$$ равна:
- $$\textrm{log}_2x = -2$$, откуда $$x = 2^{-2} = 0,25$$.
- $$\textrm{log}_2x^2 = -2$$, $$x^2 = 2^{-2} = 0,25$$, откуда $$x = \pm 0,5$$.
- $$0,25 - 0,5 + 0,5 = 0,25$$.
Сумма наибольшего и наименьшего корней уравнения $$\sin 2x + \sqrt{3}\cos 2x = 2$$ (в градусах), принадлежащих промежутку $$[-\pi; 2\pi]$$, равна:
$$\frac{1}{2}\sin 2x + \frac{\sqrt{3}}{2}\cos 2x = 1$$,
$$\cos\frac{\pi}{3} \cdot \sin 2x + \sin\frac{\pi}{3} \cdot \cos 2x= 1$$,
$$\sin\left(2x + \frac{\pi}{3}\right) = 1$$, $$2x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$$,
$$x = \frac{\pi}{12} + \pi n$$, где $$n \in \textrm{Z}$$.
Тогда, $$-\frac{11\pi}{12} + \frac{13\pi}{12} = \frac{\pi}{6} = 30^{\circ}$$.
- $$|x|^{5 + x} = |x|^0$$, $$5 + x = 0$$, $$x = -5$$.
- Если $$|x| = 1$$, то $$x = \pm 1$$.
- Если $$|x| = 0$$, то $$0^6 \neq 1$$.
Если корень уравнения $$\left(\sqrt{10}\right)^{2x + 10} = 11^{x + 5}$$ составляет $$40\%$$ некоторого числа, то это число равно:
$$10^{x + 5} = 11^{x + 5}$$, $$\frac{10^{x + 5}}{11^{x + 5}} = 1$$, $$\left(\frac{10}{11}\right)^{x + 5} = \left(\frac{10}{11}\right)^0$$, откуда $$x = -5$$.
Тогда, $$-5 : 40 \cdot 100 = -12,5$$.
- Преобразуем уравнение:
$$6^{0,5x} + 4^{0,5x} - 2 \cdot 9^{0,5x} = 0$$,
$$\frac{6^{0,5x}}{4^{0,5x}} + \frac{4^{0,5x}}{4^{0,5x}} - \frac{2 \cdot 9^{0,5x}}{4^{0,5x}} = 0$$,
$$\left(\frac{3}{2}\right)^{0,5x} + 1 - 2 \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^x = 0$$. - Полагая $$\left(\frac{3}{2}\right)^{0,5x} = a > 0$$, получим:
$$2a^2 - a - 1 = 0$$, откуда $$D = 9$$, $$a_1 = -0,5 < 0$$, $$a_2 = 1$$. - Тогда, $$\left(\frac{3}{2}\right)^{0,5x} = 1$$, откуда $$x = 0$$.
- Возведем первое уравнение в квадрат и разделим уравнения:
$$\frac{x^{2y - 3}}{x^{2y - 4}} = \frac{64}{16}$$, откуда $$x = 4$$. - $$4^{y - 2} = 4$$, откуда $$y = 3$$.
- $$x \cdot y = 12$$.
- $$\textrm{tg}x = -1$$, $$x = -\frac{\pi}{4} + \pi n$$, где $$n \in \textrm{Z}$$;
- $$\textrm{tg}x = \sqrt{3}$$, $$x = \frac{\pi}{3} + \pi m$$, где $$m \in \textrm{Z}$$;
- $$\textrm{tg}x = -\sqrt{3}$$, $$x = -\frac{\pi}{3} + \pi k$$, где $$k \in \textrm{Z}$$.
Среднее арифметическое корней уравнения $$\cos{x} + 9\sin\frac{3\pi + x}{2} = -5$$, принадлежащих интервалу $$(-3\pi ; 4\pi)$$, равно:
-
$$\cos{x} + 9\sin (1,5\pi + 0,5x) = -5$$,
$$\cos^20,5x - \sin^20,5x - 9\cos 0,5x = -5$$,
$$2\cos^20,5x - 9\cos 0,5x + 4 = 0$$.
Полагая $$\cos 0,5x = a$$, получим:
$$2a^2 - 9a + 4 = 0$$, откуда $$a_1 = 0,5$$, $$a_2 = 4 > 1$$.
Тогда: $$\cos 0,5x = 0,5$$; $$0,5x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$$;
$$x = \pm \frac{2\pi}{3} + 4\pi n$$, где $$n \in \textrm{Z}$$.
-
Отбор корней:
если $$n = 0$$, то $$x_1 = \frac{2\pi}{3}$$, $$x_2 = -\frac{2\pi}{3}$$;
если $$n = 1$$, то $$x = \frac{10\pi}{3}$$.
- $$\left(\frac{2\pi}{3} - \frac{2\pi}{3} + \frac{10\pi}{3}\right) : 3 = \frac{10\pi}{9}$$.