Трансцендентные уравнения КТ 4
Произведение корней (или корень, если он единственный) уравнения $$\textrm{log}_x2 = -2$$ равно:
ОДЗ: $$x > 0$$ и $$x \neq 1$$.
$$2 = x^{-2}$$, $$\frac{1}{x^2} = 2$$, $$x^2 = 0,5$$,
откуда $$x_1 = \sqrt{0,5}$$, $$x_2 = -\sqrt{0,5} \notin$$ ОДЗ.
- ОДЗ: $$x > 0$$, $$x \ne 0,5\sqrt{2}$$.
- Преобразуем уравнение:
$$\textrm{log}_{\sqrt{2}}^2x + \textrm{log}_{\sqrt{2}x}\sqrt{2} - \textrm{log}_{\sqrt{2}x}x = 1$$,
$$\textrm{log}_{\sqrt{2}}^2x + \frac{1}{\textrm{log}_{\sqrt{2}}\sqrt{2}x} - \frac{1}{\textrm{log}_{x}\sqrt{2}x} = 1$$,
$$\textrm{log}_{\sqrt{2}}^2x + \frac{1}{1 + \textrm{log}_{\sqrt{2}}x} - \frac{1}{\textrm{log}_{x}\sqrt{2} + 1} = 1$$. - Полагая $$\textrm{log}_{\sqrt{2}}x = a$$, получим:
$$a^2 + \frac{1}{1 + a} - \frac{1}{1 + \frac{1}{a}} = 1$$,
$$\frac{1}{1 + a} - \frac{a}{a + 1} = 1 - a^2$$,
$$\frac{1 - a}{1 + a} = (1 - a)(1 + a)$$, $$(1 - a)(1 - (1 + a)^2) = 0$$,
откуда $$1 - a = 0$$ или $$(1 + a)^2 = 1$$.
Получим: $$a_1 = 1$$, $$a_2 = 0$$, $$x_3 = -2$$.
Тогда: $$x_1 = \sqrt{2}$$, $$x_2 = 1$$, $$x_3 = 0,5$$. - Увеличим сумму квадратов корней уравнения в $$4$$ раза:
$$4 \cdot (2 + 1 + 0,25) = 13$$.
Сумма корней уравнения $$\textrm{tg}\frac{x}{3} - \textrm{ctg}\frac{x}{3} = 0$$, принадлежащих промежутку $$(-\pi ; 4\pi]$$, равна:
-
$$\textrm{tg}\frac{x}{3} = \frac{1}{\textrm{tg}\frac{x}{3}}$$, $$\textrm{tg}^2\frac{x}{3} = 1$$, откуда:
- $$\textrm{tg}\frac{x}{3} = 1$$, $$\frac{x}{3} = \frac{\pi}{4} + \pi n$$, $$x = \frac{3\pi}{4} + 3\pi n$$, где $$n \in \textrm{Z}$$;
- $$\textrm{tg}\frac{x}{3} = -1$$, $$x = -\frac{3\pi}{4} + 3\pi m$$, где $$m \in \textrm{Z}$$.
-
Отбор корней:
если $$n = 0$$, то $$x = \frac{3\pi}{4}$$; если $$n = 1$$, то $$x = \frac{15\pi}{4}$$;
если $$m = 0$$, то $$x = -\frac{3\pi}{4}$$; если $$m = 1$$, то $$x = \frac{9\pi}{4}$$.
- $$\frac{3\pi}{4} + \frac{15\pi}{4} - \frac{3\pi}{4} + \frac{9\pi}{4} = \frac{24\pi}{4} = 6\pi$$.
- Преобразуем уравнение:
$$13 \cdot 13^x + \frac{13 \cdot 13}{13^x} = 182$$,
$$13^x + \frac{13}{13^x} = 14$$. - Полагая $$13^x = a > 0$$, получим:
$$a^2 - 14a + 13 = 0$$, откуда $$a_1 = 1$$, $$a_2 = 13$$. - Решим уравнения:
1) $$13^x = 1$$, откуда $$x = 0$$;
2) $$13^x = 13$$, откуда $$x = 1$$. - Найдем среднее арифметическое корней уравнения:
$$(0 + 1) : 2 = 0,5$$.
Произведение корней (или корень, если он единственный) уравнения $$\textrm{log}_{\textrm{log}_2x}25 = 2$$ равно:
ОДЗ: $$x > 0$$, $$\textrm{log}_2x > 0$$ и $$\textrm{log}_2x \neq 1$$.
$$25 = (\textrm{log}_2x)^2$$, откуда:
- $$\textrm{log}_2x = 5$$, тогда $$x = 32$$;
- $$\textrm{log}_2x = -5 \notin$$ ОДЗ.
- $$5^{-x} \cdot 5^{3 - x} = 5 \cdot 5^{0,5}$$, $$5^{3 - 2x} = 5^{1,5}$$,
$$3 - 2x = 1,5$$, откуда $$x = 0,75$$. - $$0,75 : 100 \cdot150 = 1,125$$.
Корень уравнения $$10 \cdot 2^{x - 2} - 3 \cdot 5^x = 2^{x + 1} - 14 \cdot 5^{x - 1}$$ не меньше числа:
$$10 \cdot 2^{x - 2} - 2^{x + 1} = 3 \cdot 5^x - 14 \cdot 5^{x - 1}$$,
$$2^{x - 2} (10 - 2^3) = 5^{x - 2} (3 \cdot 5^2 - 14 \cdot 5)$$,
$$2^{x - 2} \cdot 2 = 5^{x - 2} \cdot 5$$, $$2^{x - 1} = 5^{x - 1}$$, $$\left(\frac{2}{5}\right)^{x - 1} = 1$$,
$$(0,4)^{x - 1} = (0,4)^0$$, откуда $$x = 1$$.
Сумма корней (в градусах) уравнения $$\sin{x} - \cos{x} = \sqrt{2}$$, принадлежащих отрезку $$[-2,5\pi ; 2,5\pi]$$, равна:
- Решение уравнения:
$$\frac{1}{\sqrt{2}}\sin{x} - \frac{1}{\sqrt{2}}\cos{x} = 1$$,
$$\cos\frac{\pi}{4} \cdot \sin{x} - \sin\frac{\pi}{4} \cdot \cos{x} = 1$$,
$$\sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right) = 1$$,
$$x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$$,
$$x = \frac{3\pi}{4}+ 2\pi n$$, где $$n \in \textrm{Z}$$. - Отбор корней уравнения на отрезке $$[-2,5\pi;2,5\pi]$$:
если $$n=-1$$, то $$x = -\frac{5\pi}{4}$$;
если $$n=0$$, то $$x = \frac{3\pi}{4}$$. - Сумма корней:
$$\frac{3\pi}{4}-\frac{5\pi}{4}=-\frac{\pi}{2}$$ или $$-90^{\circ}$$.