Трансцендентные уравнения КТ 6
- Преобразуем уравнение:
$$x^{\textrm{log}_2x-1} = 2^{-2} \cdot x^2$$. - Пусть $$\textrm{log}_2x = a$$, откуда $$x = 2^a$$.
Получим: $$(2^a)^{a - 1} = 2^{-2} \cdot 2^{2a}$$, $$2^{a^2 - a} = 2^{-2 + 2a}$$, $$a^2 - 3a + 2 = 0$$, откуда $$a_1 = 1$$, $$a_2 = 2$$. - Тогда: $$x_1 = 2$$, $$x_2 = 4$$; $$\frac{x_2}{x_1} = 2$$.
Среднее арифметическое всех действительных корней (или корень, если он единственный) уравнения $$13^{x + 1} + 13 \cdot 13^{1 - x} = 182$$ равно:
$$13 \cdot 13^x + \frac{13 \cdot 13}{13^x} = 182$$, $$13^x + \frac{13}{13^x} = 14$$.
Полагая $$13^x = a > 0$$, получим:
$$a^2 - 14a + 13 = 0$$, откуда $$a_1 = 1$$, $$a_2 = 13$$.
Решим уравнения:
- $$13^x = 1$$, откуда $$x = 0$$;
- $$13^x = 13$$, откуда $$x = 1$$.
Тогда, $$(0 + 1) : 2 = 0,5$$.
Количество корней уравнения $$\sin\left(900^{\circ} - \frac{x}{4}\right) + 2\cos\left(480^{\circ} - \frac{x}{3}\right) = 3$$, принадлежащих отрезку $$[-12\pi ; 27\pi]$$, равно:
$$\sin\left(180^{\circ} - \frac{x}{4}\right) + 2\cos\left(90^{\circ} + 30^{\circ} - \frac{x}{3}\right) = 3$$,
$$\sin\frac{x}{4} - 2\sin\left(30^{\circ} - \frac{x}{3}\right) = 3$$,
$$\sin\frac{x}{4} + 2\sin\left(\frac{x}{3} - \frac{\pi}{6}\right) = 3$$.
Получим систему уравнений:
-
$$\sin\frac{x}{4} = 1$$, $$\frac{x}{4} = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$$, $$x = 2\pi + 8\pi n$$,
$$x = 2\pi(1 + 4\pi n)$$, где $$n \in \textrm{Z}$$; -
$$\sin\left(\frac{x}{3} - \frac{\pi}{6}\right) = 1$$, $$\frac{x}{3} - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} + 2\pi m$$,
$$x = 2\pi + 6\pi m$$, $$x = 2\pi(1 + 3\pi m)$$, где $$m \in \textrm{Z}$$.
Система имеет решения при $$4n = 3m$$.
Следовательно, на заданном отрезке получим два корня:
- $$x = 2\pi$$ при $$n = m = 0$$;
- $$x = 26\pi$$ при $$n = 3$$ и $$m = 4$$.
$$\cos 8x + \cos 6x = 0$$, $$2\cos 7x \cdot \cos{x} = 0$$, откуда:
- $$\cos 7x = 0$$, $$x = \frac{\pi}{14} + \frac{\pi n}{7}$$, где $$n \in \textrm{Z}$$;
- $$\cos{x} = 0$$, $$x = \frac{\pi}{2} + \pi m$$, где $$m \in \textrm{Z}$$.
Среднее арифметическое всех корней уравнения $$3\sin^2x + 4\cos^2x + \sqrt{3}\sin{x}\cos{x} = 3$$, не превосходящих по абсолютной величине число $$\pi$$, равно:
-
$$3\sin^2x + 4\cos^2x + \sqrt{3}\sin{x}\cos{x}=3\cos^2x + 3\sin^2x$$,
$$\cos^2x + \sqrt{3}\sin{x}\cos{x} = 0$$, $$\cos{x}\left(\cos{x} + \sqrt{3}\sin{x}\right) = 0$$,
откуда:
- $$\cos{x} = 0$$, $$x = \frac{\pi}{2} + \pi n$$, где $$n \in \textrm{Z}$$;
- $$\sqrt{3}\sin{x} = -\cos{x}$$, $$\textrm{tg}x = \frac{-1}{\sqrt{3}}$$, $$x = -\frac{\pi}{6} + \pi m$$, $$m \in \textrm{Z}$$.
-
Отбор корней:
если $$n = -1$$, то $$x = -\frac{\pi}{2}$$; если $$n = 0$$, то $$x = \frac{\pi}{2}$$;
если $$m = 0$$, то $$x = -\frac{\pi}{6}$$; если $$m = 1$$, то $$x = \frac{5\pi}{6}$$.
-
$$\left(-\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6} + \frac{5\pi}{6}\right) : 4 = \frac{2\pi}{3}$$.
Если корень уравнения $$\textrm{log}_{x^3 - 1}\sqrt{7} = 0,5$$ составляет $$\frac{4}{5}$$ некоторого числа, то это число равно:
ОДЗ: $$x^3 - 1 > 0$$ и $$x^3 - 1 \neq 1$$.
$$\sqrt{7} = \sqrt{x^3 - 1}$$, $$x^3 - 1 = 7$$, $$x = 2$$.
Тогда, $$2 : \frac{4}{5} = 2,5$$.
Среднее арифметическое корней уравнения $$81 = \left(\left(3^{2 + x}\right)^{x - 1}\right)^{-2}$$ равно:
$$3^4 = 3^{-2(2 + x)(x - 1)}$$, $$4 = -2(2 + x)(x - 1)$$,
$$x^2 + x = 0$$, откуда $$x_1 = 0$$, $$x_2 = -1$$.
Тогда, $$(0 - 1) :2 = -0,5$$.
Удвоенный квадрат произведения корней уравнения $$\textrm{log}_2x - 0,5\textrm{log}_x2 = 1$$ равен:
ОДЗ: $$x > 0$$ и $$x \neq 1$$.
Полагая $$\textrm{log}_2x = a$$, получим:
$$a - \frac{1}{2a} = 1$$, $$2a^2 - 2a - 1 = 0$$,
откуда $$a_1 = 1 - \sqrt{3}$$, $$a_2 = 1 + \sqrt{3}$$.
Решим уравнения:
- $$\textrm{log}_2x = 1 - \sqrt{3}$$, откуда $$x = 2^{1 - \sqrt{3}}$$;
- $$\textrm{log}_2x = 1 + \sqrt{3}$$, откуда $$x = 2^{1 + \sqrt{3}}$$.
Тогда, $$2 \cdot \left(2^{1 - \sqrt{3}} \cdot 2^{1 + \sqrt{3}}\right)^2 = 2 \cdot \left(2^2\right)^2 = 32$$.