1. По формуле $$n$$-го члена:
   $$b_{1}\cdot q^{2}=-9$$, а $$b_{1}\cdot q^{5}=243$$. 
2. Тогда: $$\frac{b_{1}\cdot q^{5}}{b_{1}\cdot q^{2}}=\frac{243}{-9}$$, откуда $$q^{3}=-27$$, а $$q=-3$$.
3. Подставляя значение $$q=-3$$ в уравнение $$b_{1}\cdot q^{2}=-9$$, получим:
   $$b_{1}\cdot 9=-9$$, откуда $$b_{1}=-1$$.

1. Имеем систему уравнений: $$b_{1}\cdot q^{2}=-9$$ и $$b_{1}\cdot q^{5}=243$$. 
2. Выразим $$b_{1}$$ из первого уравнения системы: $$b_{1}=\frac{-9}{q^{2}}$$. 
3. Подставим полученное значение $$b_{1}$$ во второе уравнение системы:
   $$\frac{-9\cdot q^{5}}{q^{2}}=243$$, откуда $$q^{3}=-27$$, а $$q=-3$$.

1. По свойству $$n$$-го члена геометрической прогрессии запишем:
   $$b_{n-1}=\sqrt{b_{n-2}b_{n}}$$, $$b_{n-1}=\sqrt{\frac{4}{3}\cdot \frac{16}{27}}=\frac{8}{9}$$. 
2. Найдем знаменатель прогрессии:
   $$q=\frac{b_{n}}{b_{n-1}}$$, $$q=\frac{16}{27}\cdot \frac{9}{8}=\frac{2}{3}$$.

1. Знаменатель геометрической прогрессии $$q$$ можно найти по формуле:
   $$q=\frac{b_{n+1}}{b_{n}}$$. 
2. Формула суммы $$n$$ первых членов геометрической прогрессии:
   $$S_{n}=\frac{b_{1}\cdot (1-q^{n})}{1-q}$$.

1. Найдем знаменатель прогрессии:
   $$q=b_{2}:b_{1}$$, $$q=4:(-2)=-2$$. 
2. Найдем сумму первых пяти членов прогрессии:
   $$S_{5}=\frac{b_{1}\cdot (1-q^{5})}{1-q}$$, $$S_{5}=\frac{-2\cdot (1+32)}{1+2}=-22$$.

1. Зная $$b_{1}=2$$ и $$q=-2$$, запишем $$5$$ первых членов прогрессии:
   $$-2$$; $$4$$; $$-8$$; $$16$$; $$-32$$. 
2. Найдем их сумму: $$-2+4-8+16-32=-22$$.

1. Если $$d> 0$$, то арифметическая прогрессия возрастающая последовательность, а если $$d< 0$$, то– убывающая последовательность. 
2. Свойство $$n$$-го члена геометрической прогрессии:
   $$b_{n}=\sqrt{b_{n-1}b_{n+1}}$$.

1. Пусть числа $$a_{1}=x-d$$, $$a_{2}=x$$ и $$b_{3}=4+d$$ – члены данной арифметической прогрессии.
   Тогда: $$x-d+x+x+d=18$$, откуда $$3x=18$$, $$x=3$$.
   Следовательно: $$a_{1}=6-d$$, $$a_{2}=6$$ и $$a_{3}=6+d$$. 
2. Запишем члены геометрической прогрессии:
   $$b_{1}=6-d$$, $$b_{2}=3$$ и $$b_{3}=4+d$$.
   По свойству $$n$$-го члена получим:
   $$b_{2}^{2}=b_{1}b_{3}$$, $$(6-d)(4+d)=9$$, $$24+2d-d^{2}=9$$, $$d^{2}-2d-15=0$$, откуда $$d_{1}=5$$, $$d_{2}=-3$$.
    Но так как прогрессия убывающая, то $$d=-3$$. 
3. Тогда $$b_{1}=9$$, $$b_{2}=3$$ и $$b_{3}=1$$, а их сумма равна $$13$$.

1. Если $$\left | q \right |<1$$, то члены прогрессии бесконечно убывают.
2. $$S=\frac{b_1}{1-q}$$ – сумма всех членов бесконечной убывающей геометрической прогрессии.

1. Предположим, что в первых скобках записаны три числа бесконечной убывающей геометрической прогрессии, а число $$1$$ – ее первый член.
   В таком случае должно выполняться равенство:
   $$\frac{b_2}{b_1}=\frac{b_3}{b_2}=q<1$$.
   Действительно: $$\frac {0,5\sqrt2}{1}=\frac{\sqrt2}{2}$$ и $$\frac{0,5}{0,5\sqrt2}=\frac{\sqrt2}{2}$$.
   Следовательно, $$b_1=1$$, а $$q=\frac{\sqrt2}{2}$$. 
2. Тогда: $$1+0,5\sqrt2+0,5+...=S$$, $$S=\frac{1}{1-\frac{\sqrt2}{2}}=\frac{2}{2-\sqrt2}$$. 
3. Найдем значение данного выражения: $$S \cdot (2-\sqrt{2})=2$$.

Знаменатель геометрической прогрессии $$q$$ можно найти по формуле: 

$$q=\frac{b_{n+1}}{b_n}$$.

1. Формула $$n$$-го члена геометрической прогрессии: 
   $$b_n=b_1 \cdot q^{n-1}$$, 
   где $$b_1$$ – первый член прогрессии $$(b_1 \neq 0)$$, $$q$$ – знаменатель прогрессии $$(q \neq 1)$$.
2. Если $$\left | q \right |<1$$, то члены прогрессии бесконечно убывают. 
   Сумму бесконечной убывающей геометрической прогрессии находят по формуле: 
   $$S=\frac{b_1}{1-q}$$.
3. Формула квадрата суммы (разности): 
   $$(a \pm b)^2=a^2 \pm 2ab + b^2$$.

1. По формуле $$n$$-го члена: $$b_2=b_1 \cdot q$$.
   Так как $$b_{2}=1$$, то $$b_{1}q=1$$. 
2. Так как $$S=4$$, то $$\frac {b_1}{1-q}=4$$. 
3. Разделим первое уравнение на второе:
   $$\frac{b_1 \cdot q \cdot (1-q)}{b_1}=\frac{1}{4}$$, $$\frac{q \cdot (1-q)}{1}=\frac{1}{4}$$,
   $$4q^2-4q+1=0$$, $$(2q-1)^2=0$$, откуда $$2q-1=0$$, а $$q=0,5$$.

1. $$S_n=\frac{b_1 \cdot (1-q^n)}{1-q}$$ – сумма $$n$$ первых членов любой геометрической прогрессии; 
2. $$S=\frac{b_1}{1-q}$$– сумма всех членов только бесконечной убывающей геометрической прогрессии.

1. Геометрической прогрессией называют такую числовую последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число $$q$$.
   Число $$q$$ называют знаменателем геометрической прогрессии. 
2. Знаменатель геометрической прогрессии $$q$$ можно найти по формуле:
   $$q=\frac{b_{n+1}}{b_{n}}$$. 
3. Формула $$n$$-го члена геометрической прогрессии:
   $$b_{n}=b_{1}q^{n-1}$$, 
   где $$b_{1}$$– первый член прогрессии ($$b_{1}\neq 0$$), $$q$$ – знаменатель прогрессии ($$q\neq 1$$).

1. Найдем знаменатель прогрессии:
   $$q=b_{3}:b_{2}$$, $$q=3:2=1,5$$. 
2. Найдем первый член прогрессии:
   $$b_{1}=b_{2}:q$$, $$b_{1}=2:1,5=\frac{4}{3}$$. 
3. Найдем пятый член прогрессии:
   $$b_{5}=b_{1}\cdot q^{4}$$, $$b_{5}=\frac{4}{3}\cdot \left ( \frac{3}{2} \right )^{4}=\frac{27}{4}$$.

1. $$q=\frac{3}{2}$$; 
2. $$b_{4}=b_{3}\cdot q$$, $$b_{4}=3\cdot \frac{3}{2}=\frac{9}{2}$$; 
3. $$b_{5}=b_{4}\cdot q$$, $$b_{5}=\frac{9}{2}\cdot \frac{3}{2}=\frac{27}{4}$$.

1. Формула $$n$$-го члена геометрической прогрессии:
   $$b_{n}=b_{1}q^{n-1}$$,
   где $$b_{1}$$– первый член прогрессии ($$b_{1}\neq 0$$), $$q$$ – знаменатель прогрессии ($$q\neq 1$$). 
2. Формула сумма $$n$$ первых членов геометрической прогрессии:
   $$S_{n}=\frac{b_{1}\cdot (1-q^{n})}{1-q}$$.

1. Согласно условию задачи запишем:
   $$\begin{cases}b_{3}-b_{2}=18, \\b_{5}-b_{6}=144;\end{cases}$$ $$\begin{cases}b_{1}q^{2}+b_{1}q=18, \\b_{1}q^{4}-b_{1}q^{5}=144;\end{cases}$$ $$\begin{cases}b_{1}q(q-1)=18, \\b_{1}q^{4}(q-1)=144.\end{cases}$$  
2. Разделим второе уравнение на первое:
   $$q^{3}=-8$$, откуда $$q=-2$$. 
3. Подставим это значение в первое уравнение:
   $$-2b_{1}(-2-1)=18$$, откуда $$b_{1}=3$$. 
4. Найдем сумму первых пяти членов этой прогрессии:
   $$S_{5}=\frac{b_{1}\cdot (1-q^{5})}{1-q}$$, $$S_{5}=\frac{3\cdot (1+32)}{1+2}=33$$.

1. Составим систему уравнений:
   $$\begin{cases}b_{1}+b_{1}q=-3, \\b_{1}^{2}+b_{1}^{2}q^{2}=5.\end{cases}$$
2. Возведем обе части первого уравнения системы в квадрат:
   $$b_{1}^{2}+b_{1}^{2}q^{2}+2b_{1}^{2}q=9$$.
   С учетом второго уравнения системы получим:
   $$5+2b_{1}^{2}q=9$$, откуда $$q=\frac{2}{b_{1}^{2}}$$.
3. Подставим полученное значение в первое уравнение системы:
   $$b_{1}+\frac{2}{b_{1}}=-3$$, $$b_{1}^{2}+3b_{1}+2=0$$, откуда $$b_{1}=-2$$ или $$b_{1}=-1$$.

1. Формула $$n$$-го члена геометрической прогрессии:
   $$b_{n}=b_{1}q^{n-1}$$,
   где $$b_{1}$$ – первый член прогрессии ($$b_{1}\neq 0$$),
   $$q$$ – знаменатель прогрессии ($$q\neq 1$$). 
2. Формула суммы $$n$$ первых членов геометрической прогрессии:
   $$S_{n}=\frac{b_{1}\cdot (1-q^{n})}{1-q}$$.

1. Найдем первый член прогрессии :
   $$b_{3}=b_{1}\cdot q^{2}$$, $$2=b_{1}\cdot \frac{1}{4}$$, откуда $$b_{1}=8$$. 
2. По формуле суммы $$n$$ первых членов геометрической прогрессии получим:
   $$15,5=\frac{8 \cdot (1-0,5^{n})}{1-0,5}$$; $$1-0,5^{n}=\frac{15,5 \cdot 0,5}{8}$$;
   $$1-\frac{1}{2^{n}}=\frac{31}{32}$$; $$\frac{1}{2^{n}}=\frac{1}{2^{5}}$$, откуда $$n=5$$.