1. ОДЗ: $$x>0$$ и $$x\neq 1 $$.
2. $$log_2(4^x-2)=2^{log_2x}$$, $$log_2(2^{2x}-2)=x$$,

   $$2^{2x}-2=2^x$$, $$2^{2x}-2^x-2=0$$.

   Тогда $$D=1+8=9$$,

   $$2^x=\frac{1-3}{2}=-1$$, откуда $$x \in \varnothing$$,

   $$2^x=\frac{1+3}{2}=2$$, откуда $$x=1 \notin$$ ОДЗ.

1. $$\frac{-62}{10}\cdot \frac{1}{7} - \frac{38}{100}\cdot \frac{10}{7}=-\frac{1}{7}\left(\frac{62}{10}+\frac{38}{10}\right)=-\frac{10}{7}$$.


2. $$\frac{12}{10}\cdot \frac{3}{9}+\frac{12\cdot10}{75}=\frac{2}{5}+\frac{8}{5}=2$$.


3. $$-\frac{10}{7} \cdot \frac{1}{2}=-\frac{5}{7}$$.


4. $$\left|-\frac{5}{7}\right| \cdot \frac{7}{100}=0,05$$.

$$\frac{x^2-12x+36}{x^2-36} -1 \leq 0$$,

$$\frac{x^2-12x+36-x^2+36}{x^2-36}\leq 0$$,

$$\frac{(x-6)}{(x-6)(x+6)}\geq 0$$.

Согласно рисунку 1 запишем: $$x \in (-6;6)\cup (6;+\infty)$$.

Учитывая, что $$|x|\leq 7$$, получим целые значения переменной:

$$–5; –4; –3; –2; –1; 0; 1; 2; 3; 4; 5; 7.$$

Пусть $$t_{мот.}=x$$ ч, тогда $$t_{вел.}=\left(x+\frac{1}{6}\right)$$ ч.

Так как $$AC+BC=140$$ (рис. 7), то

$$40x+\frac{20}{3}+60x=140$$, откуда $$x=\frac{4}{3}$$ (ч).

Тогда:

$$AC=40\cdot\left(\frac{4}{3}+\frac{1}{6}\right)=60$$ (км);

$$BC=60\cdot\frac{4}{3}=80$$ (км);

$$BC=\sqrt{60^2+80^2}=100$$ (км).

Следовательно, $$100:(40+60)=1$$ (ч).

Запишем неравенство в виде:

$$|x^2-9|-2|x-3|>x^2+1$$.

Найдем нули функций, записанных под знаками модулей:

$$x_1=-3$$, $$x_2=3$$.

Решим неравенства на полученных промежутках (рис. 4).

1. Если $$x\in(-\infty;-3]$$, то получим:

   $$x^2-9+2x-6>x^2+1$$, $$x>8$$.

   Следовательно, на этом промежутке решений нет.

2. Если $$x\in(-3;3]$$, то получим:

   $$-x^2+9+2x-6>x^2+1$$, $$x^2-x-1<0$$.

   Решение неравенства на этом промежутке (рис. 5):

   

   $$\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2};\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)$$.

3. Если $$x\in(3;+\infty)$$, то получим:

   $$x^2-9-2x+6>x^2+1$$, $$x<-2$$.

   Следовательно, на этом промежутке решений нет.

Тогда, числа $$0$$ и $$1$$ – целые решения неравенства.

$$A=\frac{({\sqrt{x}+\sqrt{2}})^{2}(x-\sqrt{2x}+2)}{(x-2)(\sqrt{{x}^{3}}+\sqrt{8})}$$,

$$A=\frac{(\sqrt{x}+\sqrt{2})(\sqrt{{x}^{3}}+\sqrt{{2}^{3}})}{(x-2)(\sqrt{{x}^{3}}+\sqrt{8})}$$,

$$A=\frac{(\sqrt{x}+\sqrt{2})}{(\sqrt{x}-\sqrt{2})(\sqrt{x}+\sqrt{2})}$$,

$$A=\frac{1}{(\sqrt{x}-\sqrt{2})}={(\sqrt{x}-\sqrt{2})}^{-1}.$$

1. Функция $$y=xsinx$$ чётная, так как

   $$D(f)=R$$ и $$f(-x)=-x\cdot sin(-x)=xsinx$$.

2. Функция $$y=cos\sqrt{x+2}$$ ни четная и ни нечетная, так как

   $$D(f)=(-2;+\infty)$$ — не симметричное множество.

3. Функция $$y=arctgx$$ нечётная, так как

   $$D(f)=R$$ и $$f(-x)=-arctgx$$.

4. Функция $$y=x^2-2x+1$$ ни четная и ни нечетная, так как

   $$D(f)=R$$ и $$f(-x)=x^2+2x+1$$.

5. Функция $$y=log_2x^2$$ четная, так как

   $$D(f)=(-\infty;0)\cup (0;+\infty)$$ и $$f(-x)=log_2x^2$$.

Так как $$-2|x|\leq 0$$, то данное неравенство равносильно неравенству $$7-x^2\geq 0$$, откуда $$x^2\leq 7$$, $$|x|\leq \sqrt{7}$$, $$-\sqrt{7}\leq x\leq \sqrt{7}$$.

$$\frac{{3}^{\frac{p}{2}}\cdot{3}^{\frac{2q}{3}}}{{3}^{\frac{3q+3p}{6}}}=\frac{{3}^{\frac{p}{2}}\cdot{3}^{\frac{2q}{3}}}{{3}^{\frac{q}{2}}\cdot{3}^{\frac{p}{2}}}={3}^{\frac{2q}{3}-\frac{q}{2}}={3}^{\frac{q}{6}}$$.

Преобразуем уравнение:

$$2^3x^{-log_2x}\cdot x=2^{-3}x^2$$.

Пусть $$log_2x=a$$, тогда $$x=2^a>0$$.

Получим:

$$2^3\cdot2^{-a^2}\cdot2^a=2^{-3}\cdot2^{2a}$$, $$2^{3-a^2+a}=2^{2a-3}$$,

$$a^2+a-6=0$$, откуда $$a_1=-3$$, $$a_2=2$$.

Тогда, $$x_0=2^2=4$$, а $$\left(log_4\sqrt{2}\right)^{-1}=\left(log_{2^{2}}2^{0,5}\right)^{-1}=\left(\frac{1}{4}\right)^{-1}=4$$.

1. $$x^2-x-6=(x+2)(x-3)$$,

   так как $$D=25$$, $$x_1=\frac{1-5}{2}=-2$$, $$x_2=\frac{1+5}{2}=3$$.

2. ОДЗ: $$x\neq-2$$, $$x\neq3$$.
3. $$-\frac{2+x}{(x+2)(x-3)}=-\frac{3}{x+2}$$, $$\frac{2+x}{x-3}=3$$,

   $$3x-9=2+x$$, откуда $$x=5,5$$.

Запишем уравнение в виде:

$$\sqrt{1-x}=\sqrt[3]{3+x}+2$$.

Так как функция монотонно убывает $$y=\sqrt{1-x}$$, а функция $$y=\sqrt[3]{3+x}+2$$ монотонно возрастает на всей области определения уравнения, то уравнение имеет не более одного корня.

Убедимся, что число $$–3$$ – корень уравнения:

$$\sqrt{1+3}=\sqrt[3]{3-3}+2$$, $$2=2$$.

$$105+1=106$$.

1. По формуле $$a_n=a_1+d(n-1)$$:

   $$19=a_1 + 8d$$, откуда $$a_1=19-8d$$.

2. По формуле $$S_n=\frac{2a_1+d(n-1)}{2}\cdot n$$:

   $$S_4=\frac{2\cdot (19-8d)+3d}{2}\cdot 4=76-26d$$;

   $$ S_{10}=\frac{2\cdot (19-8d)+9d}{2}\cdot 10=190-35d$$.

3. Так как $$S_{10}-S_4=96$$, то

   $$ 190-35d-76+26d=96$$,

   $$d=2$$.

4. Тогда: $$a_1=3$$, $$a_2=5$$.

$${2}^{x-1}+5\cdot {2}^{x}-2^{x+2}={5}^{x}+2,5\cdot 5^{x-1}$$,

$${2}^{x-1}(1+5\cdot 2-2^3)=5^{x-1}(5+2,5)$$,

$${2}^{x-1}\cdot 3=5^{x-1}\cdot 7,5$$,

$$\frac{2^{x-1}}{5^{x-1}}=\frac{7,5}{3}$$,

$$\left(\frac{2}{5}\right)^{x-1}=\left(\frac{2}{5}\right)^{-1}$$,

$$x-1=-1$$, откуда $$x=0$$.

1. Так как $$log_32< 1$$, то $$x\leq 5$$.
2. Так как $$5 > 1$$, то $$-0,5x<1,5$$, откуда $$x>-3$$.
3. Решение системы неравенств: $$\left(-3;5\right]$$.
4. $$1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5=120$$.

Число делится на $$25$$, если две последние цифры его записи образуют число, которое делится на $$25$$.

Учитывая остаток и то, что сумма цифр делимого должна быть наибольшей, получим:

$$\overline{abc}=976.$$

Тогда, $$9+7+6=22.$$

1. $$1-tg^2x=1-\frac{sin^2x}{cos^2x}=\frac{cos^2x-sin^2x}{cos^2x}=\frac{cos2x}{cos^2x}$$.
2. $$ctg^2x-1=\frac{cos^2x}{sin^2x}-1=\frac{cos^2x-sin^2x}{sin^2x}=\frac{cos2x}{sin^2x}$$.
3. $$\frac{cos2x}{cos^2x}\cdot\frac{sin^2x}{cos2x}=tg^2x$$.