Репетиционное тестирование
Количество целых решений неравенства $$|x^2-9|-|6-2x|>x^2+1$$ равно:
Запишем неравенство в виде:
$$|x^2-9|-2|x-3|>x^2+1$$.
Найдем нули функций, записанных под знаками модулей:
$$x_1=-3$$, $$x_2=3$$.
Решим неравенства на полученных промежутках (рис. 4).
- Если $$x\in(-\infty;-3]$$, то получим:
$$x^2-9+2x-6>x^2+1$$, $$x>8$$.
Следовательно, на этом промежутке решений нет.
- Если $$x\in(-3;3]$$, то получим:
$$-x^2+9+2x-6>x^2+1$$, $$x^2-x-1<0$$.
Решение неравенства на этом промежутке (рис. 5):
$$\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2};\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)$$.
-
Если $$x\in(3;+\infty)$$, то получим:
$$x^2-9-2x+6>x^2+1$$, $$x<-2$$.
Следовательно, на этом промежутке решений нет.
Тогда, числа $$0$$ и $$1$$ – целые решения неравенства.
Решение неравенства $$\sqrt{7-x^2}\geq -2|x|$$ имеет вид:
Так как $$-2|x|\leq 0$$, то данное неравенство равносильно неравенству $$7-x^2\geq 0$$, откуда $$x^2\leq 7$$, $$|x|\leq \sqrt{7}$$, $$-\sqrt{7}\leq x\leq \sqrt{7}$$.
Среднее арифметическое всех корней (или корень, если он единственный) уравнения $$\left|2-x-x^2\right|=x-1$$ равно:
a) $$x^2=1$$, откуда $$x_1=1$$, $$x_2=-1$$$$\notin$$ ОДЗ;
b) $$x^2+2x-3=0$$, откуда $$x_1=1$$, $$x_2=-3\notin$$ ОДЗ.
Если радиус шара, вписанного в правильную шестиугольную пирамиду, равен $$2$$, а все боковые грани наклонены к плоскости ее основания под углом $$60^\circ$$, то периметр основания пирамиды равен:
На рисунке 8:
$$a$$ – сторона основания пирамиды,
$$r$$ – радиус окружности, вписанной в основание пирамиды;
$$\Delta ASB$$ - боковая грань пирамиды, $$\angle SCO=60^\circ$$, $$\angle OSC=30^\circ$$;
точка $$F$$ – центр шара, вписанного в пирамиду, $$FP=FO=2$$.
- Рассмотрим треугольник $$SPF$$.
Так как $$\angle PSF=30^\circ$$, то $$SF=2FP=4$$.
- Рассмотрим треугольник $$SOC$$.
Так как $$SC=2OC=2r$$, то по теореме Пифагора:
$$4r^2=r^2+36$$, откуда $$r^2=12$$.
- Рассмотрим треугольник $$OCA$$.
По теореме Пифагора:
$$a^2=0,25a^2+12$$, откуда $$a=4$$.
- Найдём периметр основания пирамиды:
$$P=6\cdot4=24$$.
В треугольнике параллельно его основанию проведен отрезок, делящий этот треугольник на две равновеликие фигуры. Если длина этого отрезка равна $$2$$ и от вершины треугольника он находится на расстоянии, равном $$2$$, то квадрат стороны основания треугольника равен:
На рисунке 6: $$MN=2$$, $$BO=2$$, $$OP=h$$, $$AC=x$$.
- $$S_{MBN}=\frac{1}{2}\cdot 2\cdot 2=2$$.
- $$S_{AMNC}=\frac{1}{2}\cdot (2+x)\cdot h$$.
- Так как $$S_{MBN}=S_{AMNC}$$, то $$\frac{1}{2}\cdot (2+x)\cdot h=2$$, откуда $$h=\frac{4}{2+x}$$.
- $$S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot x(2+h)=4$$.
- Тогда: $$x\left(2+\frac{4}{2+x}\right)=8$$, $$\frac{2x}{2+x}=4-x$$,
$$2x=8-2x+4x-x^2$$, $$x^2=8$$.
Сумма наименьшего кратного числа $$105$$ и наименьшего делителя числа $$210$$ равна:
$$105+1=106$$.
Если сумма коэффициентов квадратичной функции равна $$5$$, один из ее нулей равен $$–4$$, а прямая $$x=-1$$ — ось симметрии ее графика, то наибольшее значение функции равно:
Имеем функцию $$f(x)=ax^2+bx+c$$.
Так как $$x_0=\frac{-b}{2a}$$, то $$\frac{-b}{2a}=-1$$, откуда $$b=2a$$.
Получим: $$f(x)=ax^2+2ax+c$$.
Решим систему уравнений:
$$\left\{\begin{matrix} a+2a+c = 5, \\ 16a-8a+c=0; \end{matrix}\right.$$ $$\left\{\begin{matrix} 3a+c = 5, \\ 8a+c=0. \end{matrix}\right.$$
Получим: $$8a-3a=-5$$, откуда $$a=-1$$, а $$c=8$$.
Следовательно, $$y_{наиб.}=y_0=f(-1)=-1+2+8=9$$.
Сумма всех корней (или корень, если он единственный) уравнения $$\sqrt{1-x}-\sqrt[3]{3+x}=2$$ равна:
Запишем уравнение в виде:
$$\sqrt{1-x}=\sqrt[3]{3+x}+2$$.
Так как функция монотонно убывает $$y=\sqrt{1-x}$$, а функция $$y=\sqrt[3]{3+x}+2$$ монотонно возрастает на всей области определения уравнения, то уравнение имеет не более одного корня.
Убедимся, что число $$–3$$ – корень уравнения:
$$\sqrt{1+3}=\sqrt[3]{3-3}+2$$, $$2=2$$.
Если $$b=\frac{100}{\sqrt[3]{a^2}}$$, то значение выражения $$\frac{\sqrt[3]{a^2}b+\sqrt[6]{a^4}\cdot \sqrt{b^3}}{b\sqrt[3]{1000a}+10\sqrt[6]{a^2 b^3}}$$ равно:
$$\frac{\sqrt[3]{a^2}b+\sqrt[3]{a^2}\cdot b\sqrt{b}}{10b\sqrt[3]{a}+10\sqrt[3]{a}\sqrt{b}}=\frac{\sqrt[3]{a^2}b(1+\sqrt{b})}{10\sqrt[3]{a}\sqrt{b}(\sqrt{b}+1)}=\frac{\sqrt[3]{a}\sqrt{b}}{10}$$.
Так как $$\sqrt{b}=\frac{10}{\sqrt[3]{a}}$$, то $$\frac{\sqrt[3]{a}}{10}\cdot \frac{10}{\sqrt[3]{a}}=1$$.
Число делится на $$25$$, если две последние цифры его записи образуют число, которое делится на $$25$$.
Учитывая остаток и то, что сумма цифр делимого должна быть наибольшей, получим:
$$\overline{abc}=976.$$
Тогда, $$9+7+6=22.$$
В равнобокую трапецию с углом $$30^\circ$$, вписана окружность радиуса $$\sqrt{3}$$. Площадь трапеции равна:
- Так как $$R=\sqrt{3}$$, то $$h=2\sqrt{3}$$ (рис. 2).
- По свойству катета, лежащего против угла $$30^\circ$$:
$$AB=2h=4\sqrt{3}$$.
- Из теоремы Пифагора:
$$AM=\sqrt{48-12}=6$$.
- По свойству четырехугольника, описанного около окружности:
$$AD+BC=AB+DC$$,
$$12+x+x=4\sqrt{3}+4\sqrt{3}$$,
$$x=4\sqrt{3}-6$$.
- $$S_{ABCD}=\frac{AD+BC}{2}\cdot h$$,
$$S_{ABCD}=\frac{4\sqrt{3}-6+6+6+4\sqrt{3}-6}{2}\cdot 2\sqrt{3}=24$$.
В результате упрощения выражения $$\frac{1-tg^2x}{ctg^2x-1}$$ получим:
- $$1-tg^2x=1-\frac{sin^2x}{cos^2x}=\frac{cos^2x-sin^2x}{cos^2x}=\frac{cos2x}{cos^2x}$$.
- $$ctg^2x-1=\frac{cos^2x}{sin^2x}-1=\frac{cos^2x-sin^2x}{sin^2x}=\frac{cos2x}{sin^2x}$$.
- $$\frac{cos2x}{cos^2x}\cdot\frac{sin^2x}{cos2x}=tg^2x$$.
Если $$x_0$$ — корень уравнения $$8x^{log_{0,5}x+1}=0,125x^2$$, то число, обратное значению выражения $$log_{x_{0}} \sqrt{2}$$, равно:
Преобразуем уравнение:
$$2^3x^{-log_2x}\cdot x=2^{-3}x^2$$.
Пусть $$log_2x=a$$, тогда $$x=2^a>0$$.
Получим:
$$2^3\cdot2^{-a^2}\cdot2^a=2^{-3}\cdot2^{2a}$$, $$2^{3-a^2+a}=2^{2a-3}$$,
$$a^2+a-6=0$$, откуда $$a_1=-3$$, $$a_2=2$$.
Тогда, $$x_0=2^2=4$$, а $$\left(log_4\sqrt{2}\right)^{-1}=\left(log_{2^{2}}2^{0,5}\right)^{-1}=\left(\frac{1}{4}\right)^{-1}=4$$.
В результате преобразования выражения $$\frac{\sqrt{{3}^{p}}\sqrt[3]{{9}^{q}}}{\sqrt[6]{{3}^{3q+3p}}}$$ получим:
$$\frac{{3}^{\frac{p}{2}}\cdot{3}^{\frac{2q}{3}}}{{3}^{\frac{3q+3p}{6}}}=\frac{{3}^{\frac{p}{2}}\cdot{3}^{\frac{2q}{3}}}{{3}^{\frac{q}{2}}\cdot{3}^{\frac{p}{2}}}={3}^{\frac{2q}{3}-\frac{q}{2}}={3}^{\frac{q}{6}}$$.
Если девятый член арифметической прогрессии равен $$19$$, а сумма ее членов с пятого по десятый равна $$96$$, то второй член этой прогрессии равен:
- По формуле $$a_n=a_1+d(n-1)$$:
$$19=a_1 + 8d$$, откуда $$a_1=19-8d$$.
- По формуле $$S_n=\frac{2a_1+d(n-1)}{2}\cdot n$$:
$$S_4=\frac{2\cdot (19-8d)+3d}{2}\cdot 4=76-26d$$;
$$ S_{10}=\frac{2\cdot (19-8d)+9d}{2}\cdot 10=190-35d$$.
- Так как $$S_{10}-S_4=96$$, то
$$ 190-35d-76+26d=96$$,
$$d=2$$.
- Тогда: $$a_1=3$$, $$a_2=5$$.
В результате упрощения выражения $$\frac{2{a}^{2}-11a+5}{5+14a-3{a}^{2}}$$ получим:
так как $$D=121-40=81,$$ $${a}_{1}=\frac{11-9}{4}=\frac{1}{2},$$ $${a}_{2}=\frac{11+9}{4}=5$$.
2. $$3{a}^{2}-14a-5=3\left(a+\frac{1}{3}\right)\left(a-5\right)$$,
$$3{a}^{2}-14a-5=\left(3a+1\right)\left(a-5\right)$$,
так как $$D=196+60=256,$$ $${a}_{1}=\frac{14-16}{6}=-\frac{1}{3},$$ $${a}_{2}=\frac{14+16}{6}=5$$.
3. $$-\frac{\left(2a-1\right)\left(a-5\right)}{\left(3a+1\right)\left(a-5\right)}=\frac{1-2a}{3a+1}$$.
В результате упрощения выражения $$\frac{{(\sqrt{x}+\sqrt{2})}^{2}}{{(x-\sqrt{2x}+2)}^{-1}}\cdot\frac{{(x-2)}^{-1}}{\sqrt{{x}^{3}}+\sqrt{8}}$$ получим:
$$A=\frac{({\sqrt{x}+\sqrt{2}})^{2}(x-\sqrt{2x}+2)}{(x-2)(\sqrt{{x}^{3}}+\sqrt{8})}$$,
$$A=\frac{(\sqrt{x}+\sqrt{2})(\sqrt{{x}^{3}}+\sqrt{{2}^{3}})}{(x-2)(\sqrt{{x}^{3}}+\sqrt{8})}$$,
$$A=\frac{(\sqrt{x}+\sqrt{2})}{(\sqrt{x}-\sqrt{2})(\sqrt{x}+\sqrt{2})}$$,
$$A=\frac{1}{(\sqrt{x}-\sqrt{2})}={(\sqrt{x}-\sqrt{2})}^{-1}.$$
Произведение всех целых положительных решений системы неравенств $$(log_32)^x\geq log^5_32$$ и $$5^{-0,5x}< \sqrt{125}$$ равно:
- Так как $$log_32< 1$$, то $$x\leq 5$$.
- Так как $$5 > 1$$, то $$-0,5x<1,5$$, откуда $$x>-3$$.
- Решение системы неравенств: $$\left(-3;5\right]$$.
- $$1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5=120$$.
Произведение корней (или корень, если он единственный) уравнения $$\frac{2+x}{6+x-x^2}=\frac{-3}{x+2}$$ равно:
- $$x^2-x-6=(x+2)(x-3)$$,
так как $$D=25$$, $$x_1=\frac{1-5}{2}=-2$$, $$x_2=\frac{1+5}{2}=3$$.
- ОДЗ: $$x\neq-2$$, $$x\neq3$$.
- $$-\frac{2+x}{(x+2)(x-3)}=-\frac{3}{x+2}$$, $$\frac{2+x}{x-3}=3$$,
$$3x-9=2+x$$, откуда $$x=5,5$$.
Если стороны оснований правильной треугольной усеченной пирамиды соответственно равны $$\sqrt[3]{3}$$ и $$\sqrt[3]{2}$$, а её объём равен $$\frac{\sqrt{3}}{12}$$, то боковые ребра пирамиды наклонены к плоскости ее основания под углом, градусная мера которого равна:
- По формуле $$S=\frac{\sqrt{3}a^2}{4}$$ найдём площади оснований пирамиды:
$$S_1=\frac{\sqrt{3}\sqrt[3]{3^2}}{4}$$, $$S_2=\frac{\sqrt{3}\sqrt[3]{2^2}}{4}$$.
- По формуле $$R=\frac{a}{\sqrt{3}}$$ найдем радиусы окружностей, описанных около оснований пирамиды (рис. 9):
$$R_1=\frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt{3}}=AB$$, $$R_2=\frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt{3}}=CN$$.
-
По формуле $$V=\frac{1}{3}h(S_1+S_2+\sqrt{S_1S_2})$$ получим: $$\frac{\sqrt{3}}{12}=\frac{1}{3}\cdot h \left(\frac{\sqrt{3}\sqrt[3]{3^2}}{4}+\frac{\sqrt{3}\sqrt[3]{2^2}}{4}+\frac{\sqrt{3}\sqrt[3]{3}\sqrt[3]{2}}{4}\right)$$,
$$\sqrt{3}=h(\sqrt{3}\sqrt[3]{3^2}+\sqrt{3}\sqrt[3]{2^2}+\sqrt{3}\sqrt[3]{3}\sqrt[3]{2})$$,
$$1=h(\sqrt[3]{3^2}+\sqrt[3]{2^2}+\sqrt[3]{3}\sqrt[3]{2})$$,
$$h=\frac{1}{\sqrt[3]{3^2}+\sqrt[3]{2^2}+\sqrt[3]{3}\sqrt[3]{2}}$$.
- Рассмотрим треугольник $$ADC$$.
$$AD=R_2-R_1=\frac{\sqrt[3]{3}-\sqrt[3]{2}}{\sqrt{3}}$$.
$$tg \angle A=\frac{h}{AD}$$, $$tg \angle A=\frac{\sqrt{3}}{(\sqrt[3]{3^2}+\sqrt[3]{2^2}+\sqrt[3]{3}\sqrt[3]{2})(\sqrt[3]{3}-\sqrt[3]{2})}$$,
$$tg \angle A=\frac{\sqrt{3}}{3-2}=\sqrt{3}$$, откуда $$\angle A=60^\circ$$.