Репетиционное тестирование
Сумма модулей всех целых решений неравенства $$\sqrt{3x^{2}+5x-2}\cdot \sqrt[3]{x^{2}-4}\leq 0$$ равна:
ОДЗ: $$3x^{2}+5x-2\geq 0$$, откуда
$$x \in \left( -\infty;-2 \right ] \cup \left[\frac{1}{3};+\infty\right )$$ (рис. 6).
Если к $$4$$ кг $$45$$ % раствора соли к воде добавить $$500$$ г пресной воды, то концентрация раствора уменьшится на:
- Первый раствор: $$\frac{4 \cdot 45}{100} = 1,8$$ (кг) – соли; $$4-1,8=2,2$$ (кг) – воды.
- Второй раствор: $$4+0,5=4,5$$ (кг) – масса расвора; $$\frac{1,8}{4,5} \cdot 100 = 40$$ (%) – соли.
- $$45-40=5$$ (%).
Монотонно убывают на всей области определения функции:
1) $$2x+4y=5$$;
2) $$y=5x^{2}-3$$;
3) $$y=\pi ^{x}$$;
4) $$y=-2sin 0,1x$$;
5) $$y=\log_{0,2}(x+9)$$.
-
Представим функцию $$2x+4y=5$$ в виде $$y=-0,5x+1,25$$.
Так как $$k=-0,5$$, то линейная функция монотонно убывает. - Функция $$y=5x^{2}-3$$ не монотонная.
- Показательная функция $$y=\pi ^{x}$$ монотонно возрастает, так как $$\pi>1$$.
- Функция $$y=-2sin0,1x$$ не монотонная.
- Логарифмическая функция $$y=log_{0,2}(x+9)$$ монотонно убывает, так как $$0,2<1$$.
Если сумма всех внутренних углов правильного $$n$$-угольника равна $$540^{\circ}$$, то внешний угол при его вершине равен:
-
По формуле $$S_{n}=180^{\circ}(n-2)$$ получим:
$$540^{\circ}=180^{\circ}(n-2)$$, откуда $$n=5$$. -
Найдем внутренний угол пятиугольника:
$$540^{\circ}:5=108^{\circ}$$. -
Найдем внешний угол пятиугольника:
$$180^{\circ}-108^{\circ}=72^{\circ}$$.
Количество целых решений неравенства $$(4-x^{2})^{2}+(2x-4)^{3} \geq 0$$ равно:
Четырехугольник, один из углов которого прямой, вписан в окружность радиуса $$\sqrt{2}$$. Если диагонали четырехугольника равны и пересекаются под углом $$30^{\circ}$$, то его площадь равна:
Имеем прямоугольник $$ABCD$$ (рис. 1).
$$AC=BD=2R=2\sqrt{2}$$. По формуле $$S=\frac{1}{2}{d}^{2} sin\alpha$$ получим: $$S =\frac{1}{2}\cdot 8\cdot \frac{1}{2}=2 $$.
Если $$\frac{5^{x}+5^{-x}}{25^{x}-25^{-x}}=\frac{2}{3}$$, то выражения $$5^{x}$$ (или произведение значений, если оно не единственное) равно:
$$\frac{5^{x}+5^{-x}}{(5^{x}-5^{-x})(5^{x}+5^{-x})}=\frac{2}{3}$$, $$\frac{1}{5^{x}-5^{-x}}=\frac{2}{3}$$,
$$2\cdot 5^{x}-\frac{2}{5^{x}}=3$$, $$2\cdot 5^{2x}-3\cdot 5^{x}-2=0$$, откуда $$D=9+16=25$$, $$5^{x_{1}}=\frac{3-5}{4}=-0,5$$ (посторонний корень), $$5^{x_{2}}=\frac{3+5}{4}=2$$.Середина промежутка, который обрахуют все решения неравенства
$$4\cdot 3^{2x}-13\cdot 6^{x} +9\cdot 4^{x}\leq 0$$, равна:$$\frac{4\cdot 3^{2x}}{4^{x}}-\frac{13\cdot 6^{x}}{4^{x}}+\frac{9\cdot 4^{x}}{4^{x}}\leq0$$,
$$4\cdot\left ( \frac{3}{2} \right )^{2x} -13\cdot\left ( \frac{3}{2} \right )^{x}+9\leq 0$$. Нули функции $$f(x)=4\cdot\left ( \frac{3}{2} \right )^{2x}-13\cdot\left ( \frac{3}{2} \right )^{x}+9$$: $$D=169-144=25$$, $$\left ( \frac{3}{2} \right )^{x}=\frac{13-5}{8}=1$$, откуда $$x=0$$, $$\left ( \frac{3}{2} \right )^{x}=\frac{13+5}{8}=\frac{9}{4}$$, откуда $$x=2$$. Решение неравенства (рис. 11): $$\left [ 0;2 \right ]$$. Середина промежутка: $$(0+2):2=1$$.
Если числа $$x_{1}$$ и $$x_{2}$$ – корни уравнения $$5x^{2}-4x-3=0$$, то значение выражения $$\frac{2x_{1}x_{2}}{(x_{1}+x_{2})^{2}}$$ равно:
Так как $$D=16+60=76>0$$, то
$$x_{1}+x_{2}=\frac{4}{5}$$, а $$x_{1}x_{2}=-\frac{3}{5}$$. Тогда, $$\frac{2x_{1}x_{2}}{(x_{1}+x_{2})^{2}}=-\frac{6}{5}\cdot \frac{25}{16}=-1,875$$.В результате решения пропорции $$\frac{144}{13,2}=\frac{-2x}{1\frac{5}{9}-2\frac{1}{3}:{(\frac{2}{3}})^{2}}$$ получим:
$$\frac{72}{13,2}=\frac{-x}{\frac{14}{9}-\frac{7}{3}\cdot \frac{9}{4}}$$,
$$\frac{72\cdot 10}{132}=\frac{-x}{\frac{-132}{36}}$$, $$\frac{72\cdot 10}{132}=\frac{36x}{132}$$, $$x=20$$.Если $$k$$ – количество корней уравнения $$\left | \frac{2x}{x+1} \right |=\left | \frac{x}{x-1} \right |$$, а $$s$$ – их суммма, то значение $$ks$$ равно:
- $$ОДЗ$$: $$x\neq \pm 1$$.
- $$\left (\frac{2x}{x+1} \right )^{2}=\left (\frac{x}{x-1} \right )^{2}$$, $$\left ( \frac{2x}{x+1}-\frac{x}{x-1} \right )\left ( \frac{2x}{x+1}+\frac{x}{x-1} \right )=0$$, $$x^{2} \cdot \frac{x-3}{(x+1)(x-1)} \cdot \frac{3x-1}{(x+1)(x-1)}=0 $$, откуда $$x_{1}=0$$, $$x_{2}=3$$, $$x_{3}=\frac{1}{3}$$.
- Так как $$k=3$$, а $$s=\frac{10}{3}$$, то $$ks=10$$.
Произведение корней (или корень, если он единственный) уравнения $$\sqrt{3x^{2}-6x+49}=1-2x$$ равно:
$$ОДЗ$$: $$1-2x\geq 0$$, откуда $$x \leq 0,5$$.
$$3x^{2}-6x+49=(1-2x)^{2}$$, $$3x^{2}-6x+49=1-4x+4x^{2}$$, $$x^{2}+2x-48=0$$, откуда $$x_{1}=-8$$, а $$x_{2}=6 \notin ОДЗ$$.Сумма ординат упорядоченных пар чисел, которые образуют решение системы уравнений $$\begin{cases}2xy+x=3+y,\\(x-y)^{2}+15=4x^{2}y^{2},\end{cases}$$ равна:
Пусть $$x-y=a $$, а $$xy=b$$.
Решим систему уравнений: $$\begin{cases}a+2b=3, \\a^{2}-4b^{2}=-15;\end{cases}$$ $$\begin{cases}a+2b=3, \\(a-2b)(a+2b)=-15;\end{cases}$$ $$\begin{cases}a+2b=3, \\a-2b=-5;\end{cases}$$ $$\begin{cases}a+2b=3, \\2a=-2;\end{cases}$$ $$\begin{cases}b=2, \\a=-1.\end{cases}$$ Получим: $$x-y=-1$$, а $$xy=2$$. Так как $$y=x+1$$, то $$x^{2}+x-2=0$$, откуда $$x_{1}=-2$$, $$x_{2}=1$$. Следовательно, $$y_{1}=-1$$, $$y_{2}=2$$. Тогда, $$y_{1}+y_{2}=1$$.Если диагонали равнобокой трапеции пересекаются под прямым углом, а ее средняя линия равна $$18$$, то площадь трапеции равна:
Имеем трапецию $$ABCD$$ (рис. 13):
$$AD=a$$, $$BC=b$$, $$a+b=36$$. На продолжении стороны $$AD$$ отложим отрезок $$DK=b$$. Так как $$\triangle CPK$$ равнобедренный, то $$h=\frac{1}{2}AK=\frac{1}{2}\cdot 36=18$$. Тогда, $$S_{ABCD}=S_{ACK}=\frac{1}{2}AK\cdot h$$,
Если $$p$$ – степень многочлена $$-2{x}^{2}(3+1,5{x}^{2})-(6-3{x}^{3})(x+1) $$, а $$k$$ – количество одночленов, входящих в его состав, то сумма чисел $$p$$ и $$k$$ равна:
Значение выражения $$-8sin\left ( 1,5\pi +2arccos\left ( -0,25\sqrt{15} \right ) \right )$$ равно:
$$A=-8\left ( 1,5\pi+2\left ( \pi - arccos\frac{\sqrt{15}}{4} \right ) \right )$$,
$$A=-8\left ( 1,5\pi - 2arccos\frac{\sqrt{15}}{4} \right )$$,
Наименьшее целое число из промежутка возрастания функции $$y=\left | 5-x^{2}+4|x| \right |$$ равно:
- Построим параболу $$y=x^{2}-4x-5$$ (1) (рис. 8). Координаты вершины: $$x_{0}=\frac{-b}{2a} =2$$, $$y_{0}=4-8-5=-9$$. Нули функции: $$x_{1}=-1, x_{2}=5$$.
- Построим график функции $$y=|x|^{2}-4|x|-5$$ (2): часть графика (1), расположенного правее оси $$Oy$$, оставляем и ее же отражаем симметрично этой оси (рис. 9).
- Построим график функции $$y=\left | |x|^{2}-4|x|-5 \right |$$ (3): часть графика (2), расположенного над осью $$Ox$$, оставляем, а ту, что под осью, отражаем симметрично этой оси (рис. 10).
- Функция (3) возрастает на промежутках: $$\left ( -5;-2 \right )\cup \left ( 0;2 \right )\cup \left ( 5;+\infty \right )$$. Наименьшее целое число равно $$-4$$.
Если $$log_{b}2=c$$, то значение выражения $$log_{4}b^{c+1}\cdot log_{2b}4$$ равно:
$$A=\frac{1}{2}log_{2}(b^{c}b)\cdot 2log_{2b}2$$,
$$A=\frac{log_{2}b^{c}+log_{2}b}{log_{2}2b}$$,
$$A=\frac{clog_{2}(b^{c}b)+log_{2}b}{log_{2}2+log_{2}b}$$,
$$A=\frac{c\cdot \frac{1}{c}+\frac{1}{c}}{1+\frac{1}{c}}=1$$.
В результате упрощения выражения $$2^{log_4(7-4\sqrt3)}-3^{log_27\left | \sqrt3-2 \right |^{3}}$$ получим:
$$A=2^{log_4(2-\sqrt3)^2}-3^{log_{27}\left | \sqrt3-2 \right |^{3}}$$,
$$A=2^{log_2\left | 2-\sqrt{3}-2 \right |}-3^{log_3\left | \sqrt{3}-2 \right |}$$,
$$A=\left | 2-\sqrt{3} \right |-\left | \sqrt{3}-2 \right |$$,
Среднее арифмитическое корней уравнения $$2cos^{2}x+sin(1,5\pi -x)=1$$, принадлежащих промежутку $$(-\pi ;2\pi]$$, равно:
Преобразуем уравнение:
$$2cos^{2}x-cosx-1=0$$. Тогда: $$D=1+8=9$$, $$cosx=\frac{1-3}{4}=-\frac{1}{2}$$ или $$cosx=\frac{1+3}{4}=1$$. Решим уравнения: 1) $$cosx=-\frac{1}{2}$$, $$x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n$$, где $$n\in Z$$; 2) $$cosx=1$$, $$x=2\pi m$$, где $$m \in Z$$. Отбор корней: если $$n=0$$, то $$x=\pm \frac{2\pi}{3}$$; если $$n=1$$, то $$x=\frac{4\pi}{3}$$; если $$m=0$$, то $$x=0$$; если $$m=1$$, то $$x=2\pi$$. Тогда, $$\left ( \frac{2\pi}{3}-\frac{2\pi}{3}+\frac{4\pi}{3}+0+2\pi \right ) :5=\frac{2\pi}{3}=120^{\circ}$$.