Загрузка
ТестыСправкаQualiMe РегистрацияВход
ТестыСправкаQualiMe
РегистрацияВход
Тесты Абитуриент
Многоугольники КТ 1
45.000

Многоугольники КТ 1

Если стороны треугольника относятся как $$1 : \sqrt{3}$$, а их проекции на третью сторону равны $$1$$ и $$3$$, то площадь треугольника равна:
  1. Из теоремы Пифагора (рис. 7): $$h^2=x^{2}-1$$ и $$h^2=3x^{2}-9$$.
    Тогда, $$x^2-1=3x^2-9$$, откуда $$x=2$$, $$h=\sqrt{3}$$. 
  2. По формуле $$S=\frac{1}{2} \cdot AC \cdot BK$$ получим:
    $$S=\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot \sqrt{3}=2\sqrt{3}$$.
                                                                          
Выберите один из вариантов
Если один из углов треугольника в три раза меньше другого, а третий угол равен полусумме первых двух и площадь треугольника равна $$2\sqrt{3}$$, то большая сторона треугольника равна:
  1. Пусть $$\angle A = \alpha$$, $$\angle C=3\alpha$$, $$\angle B = (\alpha + 3\alpha):2=2\alpha$$ (рис. 4).
    Сумма углов треугольника: $$\alpha + 3\alpha +2\alpha=180^{\circ}$$, откуда $$\alpha = 30^{\circ}$$.
    Тогда, $$\angle A = 30^{\circ}$$, $$\angle C=90^{\circ}$$, $$\angle B=60^{\circ}$$. 
  2. Пусть $$AB=x$$. Тогда $$CB=2x$$ (по свойству катета, лежащего против угла $$30^{\circ}$$). 
  3. По формуле $$S=\frac{1}{2} \cdot AB \cdot CB \cdot \sin 2\alpha$$ получим:
     $$2\sqrt{3}=\frac{1}{2} \cdot x \cdot \frac{x}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$$, откуда $$x=4$$.
                                                        
Введите ответ в поле

Если один из углов равнобедренной трапеции с меньшим основанием $$1$$ равен $$60^{\circ}$$, а её диагональ является биссектрисой острого угла, то периметр трапеции равен:

  1. На рисунке 5: $$\angle BAC=\angle CAD = 30^{\circ}$$, а $$\angle CAD=\angle ACB$$ как внутренние накрест лежащие.

    Следовательно, $$BC=AB=1$$.

  2. На рисунке 6: $$AP=\frac{1}{2}AB=0,5$$.

    Следовательно, $$AD=0,5+1+0,5=2$$.

  3. Найдем периметр трапеции: $$P=2+1+1+1=5$$.
Рис. 5
Рис. 6
Введите ответ в поле

Биссектриса угла треугольника, образованного его сторонами, длины которых соответственно равны $$6$$ и $$12$$, пересекает его третью сторону в точке $$A$$. Если через эту точку параллельно данным сторонам провести прямые, то периметр полученного четырехугольника будет равен:

На рисунке 10: $$BC=6$$, $$BD=12$$, $$CA=a$$, $$AL=x$$, $$AM=y$$.


Рис. 10

  1. По свойству биссектрисы треугольника:

    $$\frac{BC}{AC}=\frac{BD}{AD}$$, откуда $$\frac{6}{a}=\frac{12}{AD}$$, $$AD=2a$$.

  2. Так как $$\Delta BCD \sim \Delta LCA$$, то $$\frac{BC}{LC}=\frac{CD}{CA}=\frac{BD}{LA}$$,

    откуда $$\frac{6}{6-y}=\frac{3a}{a}=\frac{12}{x} $$.

    Следовательно, $$x=4$$ и $$y=4$$.

  3. Периметр четырехугольника: $$P_{BLAM}=2\cdot(4+4)=16$$.

Введите ответ в поле

Если стороны треугольника равны $$2\sqrt{3}$$ и $$5$$, а угол, лежащий напротив большей из них, равен $$60^{\circ}$$, то косинус угла, лежащего напротив другой стороны, равен:

  1. По теореме синусов (рис. 8):

    $$\frac{5}{\sin 60^{\circ}}=\frac{2\sqrt{3}}{\sin \alpha }$$, $$\frac{10}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{\sin \alpha }$$, $$\sin \alpha = 0,6$$.

  2. $$\cos \alpha = \sqrt{1-0,36}=0,8$$.
Рис. 8

Введите ответ в поле

Если угол $$DBC$$ в три раза меньше смежного с ним угла $$ABD$$, то величина угла $$DBA$$ (в градусах) равна:


Пусть $$\angle DBC = x^{\circ}$$, тогда $$\angle DBA = 3x^{\circ}$$. 
 Получим $$x+3x=180$$, откуда $$x=45^{\circ}$$. 
 Тогда $$\angle DBA = 3\cdot 45^{\circ}=135^{\circ}$$.


Рис. 1

Введите ответ в поле

Синус большего угла треугольника, стороны которого равны $$2$$ см, $$3$$ см и $$\sqrt{13}$$ см, равен:

По теореме косинусов (рис. 9):

$$AB^2=CA^2+CB^2-2CA\cdot CB\cdot \cos \alpha$$,

$$13=9+4-12\cos \alpha$$,

$$\cos \alpha = 0$$, откуда $$\alpha = 90^{\circ}$$.

Тогда, $$\sin 90^{\circ}=1$$.


Рис. 9

Введите ответ в поле

Если на рисунке 2 прямые $$a$$ и $$b$$ не параллельны и $$ \angle 1 = 75^{\circ}$$, а $$ \angle 4 = 110^{\circ}$$, то сумма углов 2 и 3 равна:

Рис. 2

  1. Углы 1 и 2 смежные (рис. 2).

    Следовательно, $$\angle2=180^{\circ}-75^{\circ}=105^{\circ}$$.

  2. Углы 3 и 4 смежные.

    Следовательно, $$\angle3=180^{\circ}-110^{\circ}=70^{\circ}$$.

  3. Тогда, $$\angle2+\angle3=175^{\circ}$$.
Рис. 2

Выберите один из вариантов
Если стороны разностороннего треугольника равны $$8$$ и $$12$$, а углы, лежащие против этих сторон, относятся как $$1 : 2$$, то длина третьей стороны треугольника равна:

  1. По теореме синусов (рис. 3):
    $$\frac{12}{\sin 2\alpha}=\frac{8}{\sin \alpha}$$, $$\frac{3}{2\sin \alpha \cos \alpha}=\frac{2}{\sin \alpha}$$, $$\frac{3}{2\cos \alpha}=\frac{2}{1}$$, $$\cos \alpha = \frac{3}{4}$$. 
  2. По теореме косинусов (рис. 3):
    $$64=x^2+144-24x \cdot \frac{3}{4}$$, $$x^2-18x+80=0$$, откуда $$x_1 = 10$$, $$x_2=8$$ (посторонний корень).
                                                               
Введите ответ в поле

Если периметр квадрата равен $$24$$ см, то его площадь, уменьшенная на $$75$$ %, равна:

  1. Так как $$4a=24$$, то $$a=6$$ см.
  2. $$S=a^2=36$$ (см$$^2$$). Тогда, $$36\cdot0,25=9$$ (см$$^2$$).

Выберите один из вариантов
© Сиротина И.К., 2013—2026