Многоугольники КТ 2
Если один из углов равнобедренной трапеции равен $$150^{\circ}$$, а ее диагональ является биссектрисой острого угла, то диагонали трапеции пересекаются под углом, градусная мера которого равна:
- На рисунке 5:
$$\angle 1 = \angle 2 = \angle 3$$, следовательно, $$\angle 3 = (180^{\circ} - 150^{\circ}):2=15^{\circ}$$.
- Так как $$OC=OB$$, то $$\angle CBO = \angle 3 = 15^{\circ}$$.
- Тогда, $$\angle BOC = 180^{\circ} - 15^{\circ} - 15^{\circ}=150^{\circ}$$.
- Угол между диагоналями: $$\angle DOC = 180^{\circ}-150^{\circ}=30^{\circ}$$.
Если меньшая диагональ правильного шестиугольника равна $$3\sqrt{3}$$ , то его периметр равен:
- По теореме косинусов (рис. 2):
$$AB^2 = AC^2 + BC^2 -2AC \cdot BC \cdot \cos 120^{\circ}$$,
$$27 = a^2 + a^2 - 2a^2 \cdot (-0,5)$$,
$$27 = 3a^2$$, откуда $$a=3$$.
- $$P=6a=18$$.
Если один из внутренних углов правильного $$n$$-угольника на $$50$$ % больше внутреннего угла правильного треугольника, то сумма всех его внутренних углов равна:
- Внутренний угол правильного треугольника:
$$\alpha=\frac{180^\circ}{3}=60^\circ$$.
- Внутренний угол правильного $$n$$-угольника:
$$\beta=60^\circ +30^\circ = 90^\circ$$.
- По формуле $$\frac{180^\circ(n-2)}{n}=\beta$$ получим:
$$\frac{180^\circ(n-2)}{n}=90^\circ$$, $$2n-4=n$$, $$n=4$$.
- $$90^\circ \cdot 4 = 360^\circ$$.
Модуль разности сумм вертикальных углов, изображенных на рисунке 1, равен:
- $$\angle COB = \angle AOD = 135^\circ$$ (вертикальные углы).
- $$\angle DOB = \angle AOC = 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ$$ (вертикальные углы).
- $$\left|(135^\circ+135^\circ)-(45^\circ+45^\circ) \right|=180^\circ$$.
Диагонали трапеции точкой их пересечения делятся в отношении $$5 : 2$$. Если меньшее из оснований трапеции равно $$2$$, то ее большее основание равно:
Так как $$\triangle AOD \sim \triangle COB $$ (рис. 6), то $$\frac{AO}{CO}=\frac{AD}{CB}$$,
откуда $$\frac{5k}{2k}=\frac{x}{2}$$, $$x=5=AD$$.
Если площадь квадрата равна $$\sqrt[3]{9}$$, то его диагональ равна:
Так как $$S=\frac{d^2}{2}$$, то $$d^2 = 2\cdot \sqrt[3]{3^2}$$, откуда $$d=\sqrt{2} \cdot \sqrt[3]{3} = \sqrt[6]{72}$$.
- Пусть $$\angle A = x^{\circ}$$, $$\angle B=2x^{\circ}$$, $$\angle C=3x^{\circ}$$ (рис. 3).
Тогда: $$x+2x+3x=180$$, откуда $$x=30$$. - По теореме синусов:
$$\frac{a}{\sin \angle A}=\frac{b}{\sin \angle B}=\frac{c}{\sin \angle C}=k$$,
$$\frac{a}{0,5}=\frac{b}{0,5\sqrt{3}}=\frac{c}{1}=k$$, откуда $$a=0,5k$$, $$b=0,5\sqrt{3}k$$, $$c=k$$. - Отношение сторон треугольника: $$1:\sqrt{3}:2$$.
- По свойству диагоналей ромба (рис. 8): $$d_1^2 + d_2^2=4a^2$$.
Так как $$d_1=a$$, то $$d_2^2=4a^2-a^2$$, откуда $$d_2=\sqrt{3}a$$. - По формуле $$S=\frac{1}{2}d_1 d_2$$ получим:
$$1,5\sqrt{3}=\frac{a \cdot \sqrt{3}a}{2}$$, откуда $$a=\sqrt{3}$$. - Полупериметр ромба: $$p=2a=2\sqrt{3}$$.
Биссектриса внешнего угла при вершине равнобедренного треугольника образует с медианой, проведенной к его основанию, угол, градусная мера которого равна:
$$\angle BAC = \alpha + \beta$$ (рис. 4).
Так как $$2 \alpha + 2\beta = 180^{\circ}$$, то $$\alpha + \beta = 90^{\circ}$$.
