Многоугольники КТ 3
- Так как $$BK=OK$$ и $$MK=AB$$ (рис. 8), то $$MK$$ - средняя линия треугольника $$ABO$$.
Следовательно, $$AM=MO=a$$. Тогда, $$OC=2a$$. - Так как $$\triangle ABC \sim \triangle MLC$$, то $$\frac{AB}{ML}=\frac{AC}{MC}$$, откуда $$\frac{8}{ML}=\frac{4a}{3a}$$, $$ML=6$$.
Сходственные стороны подобных треугольников соответственно равны $$2$$ и $$6$$. Если площадь меньшего из них равна $$3$$, то площадь большего треугольника равна:
Так как $$a_1=2$$, $$a_2=6$$ и $$S_1=3$$, то $$\frac{S_1}{S_2}=\frac{a_1^{2}}{a_2^{2}}$$.
Получим: $$\frac{3}{S_2}=\frac{4}{36}$$, откуда $$S_2=27$$.
- Углы 1 и 5 вертикальные. Следовательно, $$\angle 5 = \angle 1 = 25^{\circ}$$.
- Углы 5 и 3 внутренние односторонние. Следовательно, $$\angle 3 = 180^{\circ}-25^{\circ}=155^{\circ}$$.
- Углы 3 и 4 вертикальные. Следовательно, $$\angle 4 = \angle 3 = 155^{\circ}$$.
- $$\angle 3 + \angle 4 = 310^{\circ}$$.
Если смежные стороны прямоугольника относятся как $$4 : 3$$, а его периметр равен $$28$$ м, то площадь прямоугольника равна:
- Смежные стороны прямоугольника: $$a=4k$$, $$b=3k$$.
Так как $$P=2(a+b)$$, то $$2(4k+3k)=28$$, откуда $$k=2$$.Тогда: $$a=8$$ м, $$b=6$$ м.
- Площадь прямоугольника:
$$S=a\cdot b$$, $$S=8 \cdot 6=48$$ (м$$^2$$).
Если внутренний угол при вершине равнобедренного треугольника равен $$70^{\circ}$$, то внешний угол при его основании равен:
- $$\angle 1 = \angle 2 = (180^{\circ}-70^{\circ}):2 = 55^{\circ}$$ (рис. 1).
- $$\angle BAC = 180^{\circ}-55^{\circ}=125^{\circ}$$.
Если один из углов правильного $$n$$-угольника равен $$108^{\circ}$$, то сумма всех его внутренних углов (в градусах) равна:
- По формуле $$\frac{180^{\circ}(n-2)}{n}=\beta$$ получим:
$$\frac{180^{\circ}(n-2)}{n}=108^{\circ}$$, $$45n-90=27n$$, $$n=5$$. - Тогда, $$108^{\circ} \cdot 5 = 540^{\circ}$$.
- Из теоремы Пифагора (рис. 6): $$CB=\sqrt{16+9}=5$$.
- Достроим треугольник $$ACB$$ до параллелограмма (рис. 7).
По свойству диагоналей параллелограмма:
$$AD^2+CB^2=2AC^2+2AB^2$$, $$4x^2+25=50+72$$, откуда $$x=0,5\sqrt{97}$$.
- Четырехугольник $$ABCD$$ – равнобокая трапеция, где $$BK\perp AD$$, $$BK=x$$, $$KA=LD=(8-6):2=1$$.
- По теореме Пифагора: $$AB=\sqrt{x^2+1}$$, а $$DB=\sqrt{x^2+49}$$.
- Рассмотрим треугольник $$АBD$$.
Найдем его площадь: $$S=\frac{1}{2}\cdot AD\cdot 4x$$.
По формуле $$R=\frac{abc}{4S}$$ получим:
$$5=\frac{\sqrt{x^2+1}\cdot \sqrt{x^2+49}\cdot 8}{4\cdot 4x}$$,
$$10x=\sqrt{(x^2+1)(x^2+49)}$$, $$100x^2=x^4+50x^2+49$$,
$$x^4-50x^2+49=0$$, откуда $$x^2=1$$ или $$x^2=49$$.
Тогда, $$x_1=1$$, а $$x_2=7$$.
Биссектриса длины $$3\sqrt{3}$$ острого угла параллелограмма пересекает большую из его сторон под углом $$30^{\circ}$$. Если с большей диагональю она образует угол $$10^{\circ}$$, то эта диагональ с меньшей из сторон параллелограмма образует угол, градусная мера которого равна:
- На рисунке 3: $$\angle BAP = \angle DAP = \angle APB = 30^{\circ}$$.
- $$\angle CAD = 30^{\circ}-10^{\circ}=20^{\circ}$$.
- $$\angle B=180^{\circ}-30^{\circ}-30^{\circ}=120^{\circ}=\angle D$$.
- $$\angle ACD = 180^{\circ}-20^{\circ}-120^{\circ}=40^{\circ}$$.
Если сумма длин больших диагоналей правильного шестиугольника равна $$6\sqrt{3}$$, то его площадь равна:
- Так как $$3d=6\sqrt{3}$$ (рис. 2), а $$d=2a$$, то $$6a=6\sqrt{3}$$, откуда $$a=\sqrt{3}$$.
- По формуле $$S=\frac{6\sqrt{3}a^2}{4}$$ получим:
$$S=\frac{6\sqrt{3} \cdot 3}{4} = 4,5\sqrt{3}$$.
