Многоугольники КТ 4
Если площадь равнобедренного прямоугольного треугольника равна $$1$$ см$$^2$$, то гипотенуза этого треугольника равна:
- По формуле $$S=\frac{ab}{2}$$ получим:
$$1=\frac{a^2}{2}$$, откуда $$a=\sqrt{2}$$ см и $$b=\sqrt{2}$$ см.
- По формуле $$c=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$$ получим:
$$c=\sqrt{2+2}=2$$ (см).
- По свойству высоты прямоугольного треугольника (рис. 8):
$$CD=\sqrt{AD \cdot BD}$$, $$CD=\sqrt{12\cdot 27}=18$$. - По теореме Пифагора:
$$a=\sqrt{18^{2}+27^{2}}=9\sqrt{2^{2}+3^{2}}=9\sqrt{13}$$;
$$b=\sqrt{18^{2}+12^{2}}=6\sqrt{3^{2}+2^{2}}=6\sqrt{13}$$. - Произведение катетов: $$a\cdot b=9\sqrt{13} \cdot 6\sqrt{13}=702$$.
Через точку $$K$$, лежащую внутри круга, проведены хорды $$AB$$ и $$CD$$. Если $$AB=8$$, $$DK=1$$, $$KC=8$$, то длина меньшего из отрезков, на которые точка $$K$$ делит хорду $$AB$$, равна:
Пусть $$KB=x$$, тогда $$KA=8-x$$ (рис. 3).
По свойству пересекающихся хорд:
$$KB \cdot KA = KD \cdot KC$$,
откуда $$x \cdot (8-x) = 1 \cdot 8$$, $$x^{2} -8x + 8 = 0$$, $$x_{1,2} = 4 \pm 2\sqrt{2}$$.
Меньший из отрезков равен $$4-2\sqrt{2}$$.
- Случай 1 (рис. 9). Пусть $$\angle B = x^{\circ}$$. Тогда, $$\angle A = \angle C = 2x^{\circ}$$.
Так как $$x+2x+2x=180^{\circ}$$, то $$x=36^{\circ}$$. - Случай 2 (рис. 10). Пусть $$\angle B=2x^{\circ}$$.
Тогда, $$\angle A= \angle C = x^{\circ}$$.
Так как $$2x+x+x=180^{\circ}$$, то $$2x=90^{\circ}$$.
Если катет, лежащий против угла $$30^{\circ}$$, равен $$4$$, то второй катет этого треугольника равен:
- Так как $$\angle B = 30^{\circ}$$ (рис. 2), то $$AB=4 \cdot 2 = 8$$.
- Из теоремы Пифагора: $$CB=\sqrt{64-16}=4\sqrt{3}$$.
Градусная мера угла $$DOB$$ (рис. 1), равна:
- Так как $$\angle POT=180^{\circ}$$, то $$\angle AOC = 180^{\circ}-45^{\circ}-85^{\circ}=50^{\circ}$$.
- $$\angle DOB = \angle AOC = 50^{\circ}$$ (вертикальные углы).
На стороне $$AD$$ параллелограмма $$ABCD$$ взята точка $$K$$ так, что она делит сторону $$AD$$ в отношении $$2 : 3$$, считая от точки $$A$$. Через точку $$K$$ параллельно $$BD$$ проведена прямая, пересекающая сторону $$AB$$ в точке $$P$$. Через точки $$K$$ и $$P$$ параллельно сторонам параллелограмма проведены прямые $$KE$$ и $$PE$$. Если площадь четырехугольника $$APEK$$ равна $$4$$, то площадь параллелограмма $$ABCD$$ равна:
- Так как $$APEK$$ - параллелограмм (рис. 7), то $$S_{APK} = 4:2=2$$.
- Так как $$\triangle APK \sim \triangle ABD$$, то $$\frac{S_{APK}}{S_{ABD}}=\frac{4k^2}{25k^2}$$.
Тогда, $$\frac{2}{S_{ABD}}=\frac{4}{25}$$, откуда $$S_{ABD}=12,5$$.
- $$S_{ABCD}=2S_{ABD}=25$$.
Если внешний угол при вершине правильного $$n$$-угольника в $$3$$ раза меньше смежного с ним угла, то число диагоналей этого $$n$$-угольника, проведенных из одной из его вершин, равно:
- Пусть внешний угол равен $$x^{\circ}$$, а внутренний угол равен $$3x^{\circ}$$.
Тогда, $$x+3x=180$$, откуда $$x=45^{\circ}$$, а $$3x=135^{\circ}$$.
- $$\frac{180^{\circ}(n-2)}{n}=135^{\circ}$$, $$20n-40=15n$$, $$n=8$$.
- Число диагоналей: $$n-3=5$$.
Сумма квадратов медиан треугольника со сторонами $$10$$, $$10$$ и $$12$$ равна:
- Из теоремы Пифагора (рис. 5):
$$CO^{2}=100-36=64$$.
- Достроим треугольник $$ACB$$ до параллелограмма (рис. 6).
По свойству диагоналей параллелограмма:
$$AD^{2}+CB^{2}=2AC^{2}+2AB^{2}$$,
$$4x^{2}+100=200+288$$, откуда $$x^{2}=97$$.
- Сумма квадратов медиан: $$64+97+97=258$$.
Если смежные стороны параллелограмма соответственно равны $$6$$ дм и $$70$$ см, а один из его углов равен $$135^{\circ}$$, то площадь параллелограмма равна:
По формуле $$S=ab \cdot \sin \alpha$$ получим:
$$S=6 \cdot 7 \cdot \sin 135^{\circ} = 42 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=21\sqrt{2}$$ (дм$$^2$$).