Вписанная и описанная окружность ИТ
Если разность между площадью квадрата и площадью описанного около него круга равна
$$4\pi-8$$, то длина гипотенузы прямоугольного треугольника, вписанного в этот круг, равна:
- Площадь круга радиуса $$R$$ находят по формуле:
$$S=\pi R^2$$. - Площадь квадрата с диагональю $$d$$ находят по формуле:
$$S=\frac{1}{2}d^2$$. - Радиус окружности, описанной около квадрата с диагональю $$d$$ находят по формуле:
$$R=\frac{d}{2}$$. - Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника с гипотенузой $$c$$ находят по формуле:
$$R=\frac{c}{2}$$.
- Согласно условию задачи (рис. 6):
$$S_{кр.}-S_{кв.}=4\pi-8$$, $$\pi R^2-\frac{1}{2}d^2=4\pi-8$$. - Так как диагональ квадрата $$d=2R$$, то
$$\pi R^2-\frac{1}{2}\cdot 4R^2=4\pi-8$$, $$\pi R^2-2R^2=4\pi-8$$, $$R^2(\pi-2)=4(\pi-2)$$, $$R^2=4$$, $$R=2$$. - Найдем гипотенузу треугольника, вписанного в эту окружность:
$$c=2R=4$$.
Свойства описанной окружности:
- около любого треугольника можно описать окружность;
- около четырехугольника можно описать окружность, если суммы его противолежащих углов равны.
Введите ответ в поле
В правильный треугольник вписана окружность и около него описана окружность. Если сторона треугольника равна $$\sqrt6$$, то площадь образовавшегося кольца равна:
- Окружность вписана в $$n$$-угольник, если она касается всех его сторон.
- Окружность описана около $$n$$-угольника, если все его вершины лежат на окружности.
- Если $$R$$ – радиус описанной, $$r$$ – радиус вписанной окружности, то для равностороннего треугольника со стороной $$a$$:
$$R=\frac{a}{\sqrt3}$$, $$r=\frac{a}{2\sqrt3}$$. - Площадь круга радиуса $$R$$: $$S=\pi R^2$$.
- Найдем радиусы вписанной и описанной окружностей (рис. 3).
Так как сторона правильного треугольника $$a=\sqrt6$$, то $$R=\frac{\sqrt6}{\sqrt3}=\sqrt2$$, а $$r=\frac{\sqrt6}{2\sqrt3}=\frac{1}{\sqrt2}$$. - Найдем площади кругов:
$$S_1=\pi R^2=2\pi$$, а $$S_2=\pi r^2=0,5\pi$$. - Найдем площадь кольца:
$$S_1-S_2=2\pi-0,5\pi=1,5\pi$$.
- В любой треугольник можно вписать окружность.
- Около любого треугольника можно описать окружность.
Выберите один из вариантов
Если диагонали ромба равны $$6$$ и $$8$$, то радиус окружности, вписанной в ромб, равен:
- Ромбом называют параллелограмм, все стороны которого равны.
- Диагонали ромба делятся точкой пересечения пополам.
- Диагонали ромба взаимно перпендикулярны.
- Площадь ромба:
1) $$S=a\cdot h$$, где $$a$$ – сторона, $$h$$ – высота ромба;
2) $$S=\frac{1}{2}d_{1}d_{2}$$, где $$d_1$$ и $$d_2$$ – диагонали ромба.
- По теореме Пифагора найдем сторону ромба (рис. 11):
$$a^2=\left(\frac{d_{1}^2}{2}\right)+\left(\frac{d_{2}^2}{2}\right)$$, $$a^2=3^2+4^2$$, $$a=5$$. - По формуле $$S=\frac{1}{2}d_{1}d_{2}$$ найдем площадь ромба:
$$S=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 8=24$$. - Так как площадь ромба можно найти и по формуле $$S=a\cdot h$$, а $$h=2r$$, то
$$S=2ar$$, $$24=10r$$, $$r=2,4$$.
Свойства ромба
- Противолежащие углы ромба равны.
- Диагонали ромба делятся точкой пересечения пополам.
- Сумма квадратов диагоналей ромба равна сумме квадратов длин всех его сторон.
- Диагонали ромба взаимно перпендикулярны.
- Диагонали ромба являются биссектрисами его внутренних углов.
Введите ответ в поле
Если разность между площадью квадрата и площадью вписанного в него круга равна $$\frac{4}{\sqrt{3}}(4-\pi)$$, то площадь правильного треугольника, вписанного в этот круг, равна:
- Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник со стороной $$a$$:
$$r=\frac{a}{\sqrt{3}}$$. - Площадь правильного треугольника со стороной $$a$$:
$$S=\frac{\sqrt{3}a^2}{4}$$. - Площадь квадрата со стороной $$a$$:
$$S= a^2$$. - Площадь круга радиуса $$r$$:
$$S= \pi r^2$$.
На рисунке 7: $$r$$ – радиус окружности, вписанной в квадрат со стороной $$a$$, $$b$$ – сторона правильного треугольника, вписанного в окружность.
- Учитывая, что сторона квадрата $$a=2r$$, найдем его площадь: $$S_1 =4r^2$$.
- Запишем площадь круга: $$S_2 = \pi r^2$$.
- Так как $$S_1-S_2=\frac{4}{\sqrt{3}}(4-\pi)$$, то
$$4r^2 - \pi r^2 = \frac{4}{\sqrt{3}}(4-\pi)$$, $$r^2 (4-\pi)=\frac{4}{\sqrt{3}}(4-\pi)$$, откуда $$r=\frac{2}{\sqrt[4]{3}}$$. - С учетом формулы $$r=\frac{b}{\sqrt{3}}$$, найдем сторону треугольника:
$$\frac{2}{\sqrt[4]{3}}=\frac{b}{\sqrt{3}}$$, откуда $$b=2\sqrt[4]{3}$$. - Найдем площадь треугольника:
$$S=\frac{\sqrt{3}b^2}{4}$$, $$S=\frac{\sqrt{3}\cdot 4\sqrt{3}}{4}=3$$.
- Окружность вписана в $$n$$-угольник, если она касается всех его сторон.
- Окружность описана около $$n$$-угольника, если все его вершины принадлежат окружности.
Введите ответ в поле
Высота равнобедренной трапеции равна $$\frac{3\sqrt{3}}{4}$$ и образует с ее боковой стороной угол $$60^{\circ}$$. Если меньшее основание трапеции равно $$2$$, то радиус окружности, описанной около трапеции, равен:
- Теорема Пифагора:
$$c^2=a^2+b^2$$, где $$a$$ и $$b$$ – катеты, $$c$$ – гипотенуза прямоугольного треугольника. - Радиус окружности, описанной около треугольника со сторонами $$a$$, $$b$$, $$c$$ и площадью $$S$$ находят по формуле:
$$R=\frac{abc}{S}$$. - Катет, лежащий напротив угла $$30^{\circ}$$ прямоугольного треугольника, равен половите гипотенузы.
- Площадь треугольника со стороной $$a$$ и высотой $$h$$, проведенной к этой стороне:
$$S=\frac{1}{2}ah$$.
- Рассмотрим прямоугольный треугольник $$ABK$$ (рис. 1).
Так как $$\angle ABK=60^{\circ}$$, то $$\angle BAK = 30^{\circ}$$. Тогда, $$AB=2h=\frac{3\sqrt{3}}{2}$$.
Из теоремы Пифагора: $$AK = \sqrt{\frac{27}{4}-\frac{27}{16}}=\frac{9}{4}$$.
- Рассмотрим треугольник $$KBD$$.
Так как $$LD=AK=\frac{9}{4}$$, то $$KD=2+\frac{9}{4}=\frac{17}{4}$$.
По теореме Пифагора: $$BD=\sqrt{\frac{27}{16}+\frac{289}{16}}=\frac{\sqrt{79}}{2}$$. - Рассмотрим треугольник $$ABD$$. Найдем его площадь:
$$S=\frac{1}{2} \cdot AD \cdot h$$, $$S=\frac{1}{2} \cdot \frac{13}{2} \cdot \frac{3\sqrt{3}}{4}=\frac{39\sqrt{3}}{16}$$.
Найдем радиус окружности, описанной около треугольника $$ABD$$, а, следовательно, и около трапеции $$ABCD$$.
По формуле $$R=\frac{abc}{4S}$$ получим:
$$R=\frac{\frac{3\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{\sqrt{79}}{2}\cdot \frac{13}{2}}{\frac{4 \cdot 39\sqrt{3}}{16}}$$, $$R=\frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{79}}{2} \cdot \frac{13}{2} \cdot \frac{4}{39\sqrt{3}}=0,5\sqrt{79}$$.
Треугольник $$ABD$$ и трапеция $$ABCD$$ вписаны в одну и ту же окружность.
Выберите один из вариантов
Если один из катетов прямоугольного треугольника равен $$12$$ см, а радиус окружности, вписанной в треугольник равен $$4$$ см, то площадь треугольника (в см$$^2$$) равна:
- Теорема Пифагора ($$a$$ и $$b$$ – катеты, $$c$$ – гипотенуза прямоугольного треугольника):
$$c^2=a^2+b^2$$. - Свойства касательных:
1) отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны;
2) радиус окружности перпендикулярен касательной в точке касания. - Площадь прямоугольного треугольника ($$a$$ и $$b$$ – катеты):
$$S=\frac{1}{2}ab$$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $$АВC$$. Точка $$О$$ является центром вписанной в треугольник окружности (рис. 10).
- Так как радиусы вписанной в треугольник окружности перпендикулярны сторонам треугольника в точках касания, то имеем квадрат $$ANOP$$ со стороной $$4$$ см.
- Если катет $$AC=12$$ см, а сторона квадрата $$AP=4$$ см, то $$PC=12-4=8$$ см.
- Пусть отрезок $$NB=x$$ см.
По свойству касательных $$CP=CK=8$$ см и $$BN=DK=x$$ см.
Тогда по теореме Пифагора:
$$BC^2=AC^2+AB^2$$, $$(x+8)^2=12^2+(x+4)^2$$, $$x^2+16x+64=144+x^2+8x+16$$, откуда $$8x=96$$, $$x=12$$ см. - Найдем катет $$AB$$:
$$AB=AN+BN$$, $$AB=4+12=16$$ (см). - Найдем площадь треугольника:
$$S=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot AB$$, $$S=\frac{1}{2}\cdot 12\cdot 16=96$$ (см$$^2$$).
Признаки квадрата
- Прямоугольник является квадратом, если две его смежные стороны равны.
- Прямоугольник является квадратом, если его диагонали перпендикулярны.
- Прямоугольник является квадратом, если одна из диагоналей является биссектрисой его угла.
Введите ответ в поле
В правильный шестиугольник вписана окружность и около него описана окружность. Если сторона шестиугольника равна $$3$$, то сумма длин окружностей равна:
- Длина окружности радиуса $$r$$:
$$C=2\pi r$$. - Радиус окружности, описанной около правильного шестиугольника, равен стороне шестиугольника.
На рисунке 9: $$OB=R$$ – радиус окружности, описанной около правильного шестиугольника со стороной $$a=3$$, $$OC=r$$ – радиус окружности, вписанной в шестиугольник.
- Найдем радиус окружности, описанной около шестиугольника: $$R=a=3$$.
- Найдем радиус окружности, вписанной в шестиугольник. Так как треугольник $$AOB$$ равносторонний со стороной $$a=3$$, то $$OC$$ медиана. Следовательно, $$CB=\frac{a}{2}$$.
Из теоремы Пифагора:
$$OC=\sqrt{OB^2-CB^2}$$, $$r=\sqrt{a^2-\frac{a^2}{4}}=\frac{\sqrt{3}a}{2}$$, $$r=1,5\sqrt{3}$$. - Найдем длины окружностей:
$$C_1=2\pi\cdot 3=6\pi$$, $$C_2=2\pi\cdot 1,5\sqrt{3}=3\sqrt{3}\pi$$. - Найдем сумму длин окружностей:
$$C_{1}+C_{2}=6\pi+3\sqrt{3}\pi$$.
- Окружность вписана в $$n$$-угольник, если она касается всех его сторон.
- Окружность описана около $$n$$-угольника, если все его вершины принадлежат окружности.
Выберите один из вариантов
Сумма двух противолежащих сторон неправильного четырехугольника, описанного около окружности, равна $$5$$. Если радиус окружности составляет $$20$$ % от периметра этого четырехугольника, то площадь четырехугольника равна:
- В четырехугольник можно вписать окружность, если суммы длин его противолежащих сторон равны.
- Площадь треугольника со стороной $$a$$ и высотой $$h$$, проведенной к этой стороне:
$$S=\frac{1}{2}ah$$.
- По свойству четырехугольника, описанного около окружности (рис. 8):
$$AB+CD=5$$ и $$AD+BC=5$$. Тогда, $$P_{ABCD}=10$$. - Радиус окружности: $$r=10:100 \cdot 20 = 2$$.
- Площадь четырехугольника:
$$S=S_{AOB}+S_{BOC}+S_{COD}+S_{DOA}$$,
$$S=\frac{AB\cdot r}{2}+\frac{BC\cdot r}{2}+\frac{CD\cdot r}{2}+\frac{DA\cdot r}{2}$$,
$$S=\frac{r}{2} \cdot (AB+BC+CD+DA)$$, $$S=\frac{2}{2}\cdot 10=10$$.
Около четырехугольника можно описать окружность, если суммы его противолежащих углов равны.
Введите ответ в поле
В прямоугольную трапецию вписана окружность, которая в точке касания делит ее боковую сторону на отрезки $$3$$ и $$4$$. Если радиус окружности равен $$3$$, то средняя линия трапеции равна:
- Окружность вписана в $$n$$-угольник, если она касается всех его сторон.
- В четырехугольник можно вписать окружность, если суммы длин его противолежащих сторон равны.
- Если в трапецию высоты $$h$$ можно вписать окружность радиуса $$r$$, то $$h=2r$$.
- Длина средней линии трапеции равна полусумме длин ее оснований.
Согласно условию задачи (рис. 2) запишем:
$$CD=7$$, $$h=2r=AB=6$$.
- По свойству четырехугольника, описанного около окружности, получим:
$$AB+DC=BC+AD$$, $$6+7=BC+AD$$, $$BC+AD=13$$. - Найдем среднюю линию трапеции:
$$\frac{BC+AD}{2}=\frac{13}{2}=6,5$$.
Окружность нельзя вписать в прямоугольник и параллелограмм, но можно вписать в квадрат и в ромб.
Введите ответ в поле
Если окружность, центр которой расположен на большей стороне треугольника, делит эту сторону на отрезки $$4$$ и $$8$$ и касается двух других его сторон, длина одной из которых равна $$5$$, то периметр треугольника равен:
- Биссектрисой треугольника называют отрезок биссектрисы его внутреннего угла, заключенный между вершиной треугольника и точкой пересечения биссектрисы угла и стороны треугольника.
- Биссектриса треугольника делит его сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам.
- Случай 1. Согласно свойству биссектрисы треугольника (рис. 4) запишем:
$$\frac{5}{4}=\frac{x}{8}$$, откуда $$x=10$$.
Тогда, $$P=5+10+12=27$$. - Случай 2. Аналогично (рис. 5) $$\frac{x}{4}=\frac{5}{8}$$, откуда $$x=2,5$$, что невозможно, так как $$2,5+5<4+8$$.
Длина стороны треугольника должна быть меньше суммы длин двух других его сторон.
Введите ответ в поле