Загрузка
ТестыСправкаQualiMe РегистрацияВход
ТестыСправкаQualiMe
РегистрацияВход
Тесты Абитуриент
Окружность и круг КТ 1
45.000

Окружность и круг КТ 1

Прямоугольник вписан в окружность, длина которой равна $$\sqrt{28} \pi$$. Если диагонали прямоугольника пересекаются под углом $$60^{\circ}$$, то его площадь равна:
  1. По формуле $$C=2\pi r$$ получим:
    $$\sqrt{28} \pi = 2 \pi R$$, откуда $$R = \sqrt{7}$$. Тогда, $$d=2R=2\sqrt{7}$$ (рис. 10). 
  2. По формуле $$S=\frac{1}{2}d^{2}\sin \varphi$$ получим:
    $$S=\frac{1}{2} \cdot 28 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}= 7\sqrt{3}$$.
                                                                              
Выберите один из вариантов
Если площадь кругового сектора с центральным углом $$150^{\circ}$$ равна $$\frac{15\pi}{16}$$, то длина дуги, ограничивающей этот сектор, равна:
  1. По формуле $$S=\frac{\pi R^2}{360^{\circ}} \cdot n^{\circ}$$ получим:
    $$\frac{15\pi}{16}=\frac{\pi R^2 \cdot 150^{\circ}}{360^{\circ}}$$, откуда $$R=1,5$$ (рис. 11). 
  2. По формуле $$l=\frac{2 \pi R}{360^{\circ}} \cdot n^{\circ}$$ получим:
    $$l=\frac{2 \pi \cdot 1,5 \cdot 150^{\circ}}{360^\circ}= 1,25 \pi$$.
                                                                                 
Выберите один из вариантов
В прямоугольную трапецию вписана окружность, которая в точке касания делит ее боковую сторону на отрезки $$1$$ и $$4$$. Если средняя линия трапеции равна разности длин ее оснований, то диаметр окружности равен:
  1. По свойству четырехугольника, описанного около окружности:
    $$AB+DC=BC+AD$$ (рис. 2).
    Следовательно, $$AB+DC=d+5$$ и $$a+b=d+5$$. 
  2. Так как $$\frac{a+b}{2}=b-a$$, то $$b-a=\frac{d+5}{2}$$. 
  3. По теореме Пифагора: 
    $$d^2+\frac{(d+5)^2}{4}=25$$, $$d^2+2d-15=0$$, откуда $$d=3$$.
                                                                           
Введите ответ в поле
Если окружности радиусов $$1$$ и $$3$$ внешним образом касаются одна другой, то их общие внешняя и внутренняя касательные пересекаются под углом, градусная мера которого равна:
На рисунке 8: $$CO=CK=3$$, $$BO=BP=BL=1$$, $$AP=x$$.
                                                       
  1. Так как $$\triangle AKC \sim \triangle ALB$$, то:
    $$\frac{KC}{LB}=\frac{AC}{AB}$$, $$\frac{3}{1}=\frac{x+5}{x+1}$$, откуда $$x=1$$. 
  2. Рассмотрим треугольник $$ALB$$:
    $$\sin \angle A = \frac{LB}{AB}=\frac{1}{2}$$, откуда $$\angle A = 30^{\circ}$$. 
  3. Рассмотрим треугольник $$AOD$$: $$\angle ADO = 60^{\circ}$$.
Введите ответ в поле
Если около прямоугольного треугольника, косинус острого угла которого равен $$\frac{5}{13}$$, описана окружность радиуса $$6,5$$, то радиус вписанной в этот треугольник окружности равен:
  1. Так как $$R=\frac{c}{2}$$, то $$с=2\cdot 6,5=13$$ (рис. 1). 
  2. По формуле $$\cos \alpha = \frac{a}{c}$$ получим:
    $$\frac{5}{13}=\frac{a}{13}$$, откуда $$a=5$$. 
  3. Из теоремы Пифагора: $$b=\sqrt{169-25}=12$$. 
  4. По формуле $$r=\frac{a+b-c}{2}$$ получим:
    $$r=\frac{5+12-13}{2}=2$$.
                                                                             
Введите ответ в поле

Если ширина кольца, образованного концентрическими окружностями, равна $$2$$, а его площадь равна $$8\pi$$, то радиус большей окружности равен:

  1. Площадь кольца (рис. 9):
    $$\pi R^2 - \pi r^2=8\pi$$, $$(R-r)(R+r)=8$$.

    Так как $$R-r=2$$, то $$R+r=4$$. 

  2. Складывая уравнения $$R-r=2$$ и $$R+r=4$$, получим: 
    $$2R=6$$, откуда $$R=3$$.

 
Рис. 9
Введите ответ в поле

Хорды окружности, длины которых соответственно равны $$2$$ и $$8$$, продолжены до их взаимного пересечения. Если продолжения хорд относятся как $$2 : 3$$, то сумма длин их продолжений равна:

По свойству секущих (рис. 7):

$$OB \cdot OA = OD \cdot OC$$,

$$(8+2k) \cdot 2k=(2+3k)\cdot 3k$$,

$$16+4k=6+9k$$, откуда $$k=2$$.

Тогда, $$OA+OC=5k=10$$.

Рис. 7
Введите ответ в поле
Площадь круга, вписанного в ромб, равна $$\pi ^2$$. Если площадь ромба равна $$2\pi$$, то его периметр равен:
  1. По формуле $$S=\pi r^2$$ получим:
    $$\pi ^2 = \pi r^2$$, $$r=\sqrt{\pi}$$. Тогда, $$h=2r=2\sqrt{\pi}$$ (рис. 6). 
  2. По формуле $$S=ah$$ получим:
    $$2\pi = a \cdot 2 \sqrt{\pi}$$, $$a=\sqrt{\pi}$$.
  3. Периметр ромба: $$P=4a=4\sqrt{\pi}$$.
                                                                               
Выберите один из вариантов

В равнобедренный треугольник вписана окружность. Если точка касания делит боковую сторону треугольника на отрезки $$6$$ и $$4$$, то периметр треугольника равен:

Случай 1. По свойству касательных (рис. 4):

$$BK=BP=6$$, $$AT=AK=4$$, $$CT=CP=4$$.

Тогда, $$P=2 \cdot (6+4+4)=28$$.

Рис. 4

Случай 2. По свойству касательных (рис. 5):

$$BK=BP=4$$, $$AT=AK=6$$, $$CT=CP=6$$.

Тогда, $$P=2 \cdot (4+6+6)=32$$.

Рис. 5
Выберите один из вариантов
Вписанный и центральный углы окружности радиуса $$5$$ опираются на одну и ту же дугу $$AB$$. Если вписанный угол равен $$60^{\circ}$$, то длина дуги $$AB$$ равна:
  1. Так как $$\angle AKB=60^{\circ}$$ (рис. 3), то $$\angle AOB=120^{\circ}$$.
  2. По формуле $$l=\frac{2\pi r}{360^{\circ}}\cdot n^{\circ}$$ получим:
    $$l=\frac{2\pi \cdot 5}{360^{\circ}}\cdot 120^{\circ}=\frac{10\pi}{3} $$.
                                                                               
Выберите один из вариантов
© Сиротина И.К., 2013—2026