1. По свойству четырехугольника, вписанного в окружность (рис. 4):
   $$\angle A + \angle C =180^{\circ}$$ и $$\angle B + \angle D =180^{\circ}$$.
   Тогда: $$2k+3k=180^{\circ}$$, $$k=36^{\circ}$$. 
2. Получим углы:

   $$\angle A=72^{\circ}$$, $$\angle B=36^{\circ}$$, $$\angle C=108^{\circ}$$, $$\angle D=180^{\circ}-36^{\circ}=144^{\circ}$$.

1. Так как $$\angle ACB = 30^{\circ}$$ (рис. 5), то $$\angle AOB=2\cdot 30^{\circ}=60^{\circ}$$. 
2. Так как $$CB=4\sqrt{3}$$, то $$R=2\sqrt{3}$$. 
3. Площадь сектора $$AOB$$:
   $$S_1=\frac{\pi R^{2}\cdot n^{\circ}}{360^{\circ}}$$, $$S_1=\frac{\pi \cdot 12 \cdot 60^{\circ}}{360^{\circ}}= 2\pi$$. 
4. Площадь треугольника $$AOB$$:
   $$S_2=\frac{\sqrt{3}\cdot R^2}{4}$$, $$S_2=\frac{\sqrt{3}\cdot 12}{4}= 3\sqrt{3}$$. 
5. Площадь сегмента $$AOB$$: $$S_1 - S_2 = 2\pi - 3\sqrt{3}$$.
                                                                             

1. По формуле $$C=2\pi r$$ получим:

   $$3,14=2\pi r$$, откуда $$r=\frac{3,14}{2\pi}$$.

2. По формуле $$S=\pi r^2$$ получим:

   $$S=\frac{\pi(3,14)^{2}}{4\pi^2}=\frac{1,57^2}{\pi}=1,57^{2}\pi^{-1}$$.

1. По формуле $$S=\frac{d^2}{2}$$ получим: $$4 = \frac{d^2}{2}$$, откуда $$d=2\sqrt{2}$$ (рис. 7). 
2. По формуле $$S=a^2$$ получим: $$4=a^2$$, откуда $$a=2$$. 
3. Найдем радиус описанной окружности: $$R=\frac{d}{2}=\frac{2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$$. 
4. Найдём длину описанной окружности: $$L=2\pi R = 2\sqrt{2} \pi$$. 
5. Найдем радиус вписанной окружности: $$r=\frac{a}{2}=\frac{2}{2}=1$$. 
6. Найдём длину вписанной окружности: $$l=2\pi r= 2\pi$$. 
7. Найдем отношение длин окружностей: $$\frac{L}{l}=\frac{2\sqrt{2}\pi}{2\pi}=\sqrt{2}$$.
                                                                          

1. Так как $$BO$$ - биссектриса треугольника $$ABC$$ (рис. 3), то:
   $$\frac{AB}{AO}=\frac{CB}{CO}$$, $$\frac{5}{x}=\frac{10}{12-x}$$, откуда $$x=4$$. 
2. Тогда, $$CO-AO=8-4=4$$.
                                                    

1. По теореме Пифагора (рис. 6) $$OP^2+AP^2=OA^2$$.

   Тогда, $$r^2+\frac{1}{\pi}=R^2$$, откуда $$R^2-r^2=\frac{1}{\pi}$$.

2. Площадь кольца:

   $$S=\pi R^2 - \pi r^2 = \pi(R^2-r^2)=\pi \cdot \frac{1}{\pi}=1$$.

1. Так как прямая $$BC$$ является касательной к кругу, то $$OK\perp BK$$.
2. Согласно условию задачи $$\angle ABC=60^{\circ}$$, тогда $$\angle OBK=30^{\circ}$$, так как центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла. 
3. Рассмотрим треугольник $$OBK$$: $$OB=2OK=2R_{кр.}$$ (по свойству катета, лежащего против угла $$30^{\circ}$$). 
4. Так как $$R_{сект.}=BO+DO$$, то $$R_{сект.}=3R_{кр.}=15$$. 
5.  Найдем площадь сектора:
    $$S_{сект.}=\frac{\pi R^{2}_{сект.}\cdot 60^{\circ}}{360^{\circ}}$$,
   $$S_{сект.}=\frac{\pi\cdot 15^{2}}{6}=\frac{75\pi}{2}$$,
    $$S_{сект}\asymp \frac{75\cdot 3,14}{2}\asymp 117,8$$.

1. По теореме Пифагора (рис. 1): $$AC=\sqrt{8+8}=4$$.
   Тогда, $$OA=AC:2=2=R$$.
2. Площадь круга: $$S=\pi R^2 = 4\pi$$. 
3. Площадь сектора: $$S=4\pi : 2 = 2\pi$$.
                                                                      

1. Так как $$AKOT$$ – квадрат (рис. 2), то $$AT=AK=1$$ см.
2. Пусть $$BK=BP=x$$ см, тогда $$CT=CP=5-x$$ (см).
3. По теореме Пифагора:

   $$25=(1+x)^2+(6-x)^2$$, $$x^2-5x+6=0$$, откуда $$x_1=2$$, $$x_2=3$$.

4. Длины катетов: $$3$$ см и $$4$$ см.

Сумма длин катетов: 7 см.

1. По формуле $$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$$, где $$p=\frac{a+b+c}{2}$$, найдём площадь треугольника:
   $$S = \sqrt{9 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 1} = 3 \sqrt{15}$$ (см$$^2$$). 
2. По формуле $$R=\frac{abc}{4S}$$ получим:
   $$R=\frac{4 \cdot 6 \cdot 8}{4 \cdot 3\sqrt{15}}=\frac{16}{\sqrt{15}}$$ (см). 
3. По формуле $$r=\frac{2S}{a+b+c}$$ получим:
   $$r=\frac{2 \cdot 3\sqrt{15}}{4+6+8}=\frac{\sqrt{15}}{3}$$ (см). 
4. $$\frac{R}{r}=\frac{16}{\sqrt{15}}\cdot \frac{3}{\sqrt{15}}=3,2$$.