Загрузка
ТестыСправкаQualiMe РегистрацияВход
ТестыСправкаQualiMe
РегистрацияВход
Тесты Абитуриент
Пирамида ИТ
45.000

Пирамида ИТ

Боковое ребро правильной четырехугольной усеченной пирамиды наклонено к плоскости основания под углом $$45^{\circ}$$. Если площади оснований пирамиды равны $$8$$ и $$32$$, то ее утроенный объем равен:
  1. Усеченной пирамидой называют многогранник, вершинами которого служат вершины основания пирамиды и вершины ее сечения плоскостью, параллельной основанию пирамиды. 
  2. Основания усеченной пирамиды – подобные многоугольники. 
  3. Площадь квадрата с диагональю $$d$$: $$S=\frac{d^{2}}{2}$$. 
  4. Объем усеченной пирамиды находят по формуле:
    $$V=\frac{1}{3}h(S_{1}+S_{2}+\sqrt{S_{1}S_{2}})$$,
    где $$S_{1}$$ и $$S_{2}$$ – площади оснований, $$h$$ – ее высота.
Диагональное сечение пирамиды – равнобокая трапеция $$ABCD$$ (рис. 6).
                                                               
  1. Так как основания усеченной пирамиды – квадраты и площади их соответственно равны $$8$$ и $$32$$, то:
    1) $$8=\frac{d_{1}^{2}}{2}$$, откуда $$d_{1}=4$$, а $$\frac{d_{1}}{2}=2$$;
    2) $$32=\frac{d_{2}^{2}}{2}$$, откуда $$d_{2}=8$$, а $$\frac{d_{2}}{2}=4$$. 
  2. Тогда: $$DP=OD-OP$$, $$DP=\frac{d_{2}}{2}-\frac{d_{1}}{2}$$, $$DP=4-2=2$$. 
  3. Треугольник $$CPD$$ – равнобедренный ($$\angle C=\angle D=45^{\circ}$$). Значит, $$CP=2=h$$. 
  4. Найдем объем пирамиды:
    $$V=\frac{1}{3}\cdot 2(8+32+\sqrt{8\cdot 32})$$, $$V=\frac{2}{3}\cdot (40+16)=\frac{112}{3}$$.
Если пирамида правильная, то ее основание – правильный многоугольник.
Введите ответ в поле
Основание пирамиды – ромб с острым углом $$30^{\circ}$$ и площадью $$50$$. Если двугранные углы при основании пирамиды равны, а ее высота равна $$5\sqrt{3}$$, то площадь боковой поверхности пирамиды равна:
  1. Если боковые грани пирамиды наклонены к ее основанию под одним и тем же углом (двугранные углы при сновании равны), то высота пирамиды опускается в центр окружности, вписанной в ее основание. 
  2. Площадь ромба: $$S=a^{2}\sin\alpha$$, где $$a$$ – сторона, $$\alpha$$ – угол ромба. 
  3. Площадь ромба: $$S=a\cdot h$$, где $$h$$ – высота ромба. 
  4. Площадь боковой поверхности правильной пирамиды:
    $$S_{бок.}=\frac{1}{2}P_{осн.}\cdot h_{бок.}$$, где $$h_{бок.}$$ – апофема пирамиды.
На рисунке 4: точка $$O$$ – центр вписанной окружности; $$SO=h=5\sqrt{3}$$; $$SP$$ – высота боковой грани, так как $$OP\perp DC$$.
                                                                           
  1. Найдем сторону ромба: $$50=a^{2}\sin30^{\circ}$$, $$50=a^{2}\cdot \frac{1}{2}$$, $$a=10$$. 
  2. Найдем высоту ромба: $$S=a\cdot h$$, $$50=10h$$, $$h=5$$.
    Тогда радиус окружности, вписанной в ромб, равен $$2,5$$ – на рисунке 4 отрезок $$PO$$.
  3. Найдем высоту боковых граней пирамиды:
    $$SP=\sqrt{OP^{2}+SO^{2}}$$, $$SP=\sqrt{\frac{25}{4}+75}$$, $$SP=5\sqrt{\frac{1}{4}+3}=\frac{5\sqrt{13}}{2}$$. 
  4. Найдем боковую поверхность пирамиды:
     $$S_{bok.}=\frac{1}{2}\cdot 4a\cdot SP$$, $$S_{bok.}\frac{1}{3}\cdot 40\cdot \frac{5\sqrt{13}}{2}=50\sqrt{13}$$.
  1. Двугранным углом при основании пирамиды называют угол между плоскостью ее боковой грани и плоскостью основания пирамиды. 
  2. В нашем случае пирамида не является правильной, но боковые грани – равные треугольники, поэтому справедливо, что
    $$S_{бок.}=\frac{1}{2}P_{осн.}\cdot h_{бок.}$$.
Выберите один из вариантов

Если основания правильной усеченной пирамиды – треугольники со сторонами $$3$$ и $$6$$, а высота пирамиды равна $$0,5\sqrt{141}$$, то боковая поверхность пирамиды равна:

  1. Пирамида называется правильной, если ее основанием является правильный многоугольник, а высота опускается в центр вписанной и описанной окружности многоугольника, лежащего в основании пирамиды. 
  2. Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник со стороной $$a$$:
    $$r=\frac{a}{2\sqrt{3}}$$. 
  3. Площадь трапеции:
    $$S=\frac{1}{2}(a+b)h$$ , где $$a$$ и $$b$$ – основания, $$h$$ – высота трапеции.
На рисунке 10: точки $$T$$ и $$O$$ – центры окружностей, вписанных в основания усеченной пирамиды; $$a_1=3$$ и $$a_2=6$$ - длины сторон оснований пирамиды.
                                                                  
  1. Найдем радиусы окружностей, вписанных в основания пирамиды:
    $$r_{1}=\frac{a_1}{2\sqrt{3}}$$, $$r_{1}=\frac{3}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}=TP$$;
    $$r_{2}=\frac{a_2}{2\sqrt{3}}$$, $$r_{2}=\frac{6}{2\sqrt{3}}=\sqrt{3}=OD$$. 
  2. Тогда, $$KD=OD-TP=\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$. 
  3. По теореме Пифагора:
    $$PD = \sqrt{h^{2}+KD^{2}}$$, $$PD= \sqrt{\frac{141}{4}+\frac{3}{4}}=6$$. 
  4. Найдем боковую поверхность пирамиды:
    $$S=3 \cdot \frac{a_{1}+a_{2}}{2} \cdot PD$$, $$S = 3 \cdot \frac{9}{2} \cdot 6 =81$$.
Усеченной пирамидой называют многогранник, вершинами которого служат вершины основания пирамиды и вершины ее сечения плоскостью, параллельной основанию пирамиды. Основания усеченной пирамиды – подобные многоугольники.
Введите ответ в поле
Если высота правильной треугольной пирамиды равна $$4$$, а сторона ее основания равна $$6\sqrt{3}$$, то длина апофемы равна:
  1. Пирамидой называют многогранник, одна грань которого – многоугольник, а остальные грани – треугольники с общей вершиной. Многоугольник является основанием пирамиды, а треугольники – боковыми гранями. 
  2. Высотой пирамиды называют отрезок перпендикуляра, проведенного из вершины пирамиды к плоскости ее основания. 
  3. Пирамида называется правильной, если ее основанием является правильный многоугольник, а высота опускается в центр вписанной и описанной окружности многоугольника, лежащего в основании пирамиды. 
  4. Высоту боковой грани правильной пирамиды, проведенную из ее вершины, называют апофемой. 
  5. Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник со стороной $$a$$ находят по формуле:
    $$r=\frac{a}{2\sqrt{3}}$$.
  1. Найдем радиус окружности, вписанной в правильный треугольник (рис. 1):
    $$r=\frac{6\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}=3$$. Тогда $$OE=r=3$$. 
                                                                     
  2. Так как $$OE\perp CB$$, то и $$DE\perp CB$$ (по теореме о трех перпендикулярах). Следовательно, $$DE$$ – апофема. 
  3. По теореме Пифагора:
    $$DE=\sqrt{DO^{2}+OE^{2}}$$, $$DE=\sqrt{16+9}=5$$.
Теорема о трех перпендикулярах: для того, чтобы прямая, лежащая в плоскости, была перпендикулярна наклонной, необходимо и достаточно, чтобы она была перпендикулярна проекции этой наклонной на плоскость.
Введите ответ в поле
Основание пирамиды – равнобокая трапеция с углом $$120^{\circ}$$, а проекции всех высот ее боковых граней на плоскость основания равны $$2$$. Если высота пирамиды равна $$3\sqrt{3}$$, то ее объем равен:
  1. Радиус окружности, вписанной в трапецию:
    $$r=\frac{h}{2}$$, где $$h$$ – высота трапеции. 
  2. Площадь трапеции:
    $$S=\frac{1}{2}(a+b)h$$, где $$a$$ и $$b$$ – основания, $$h$$ – высота трапеции. 
  3. Объем пираиды:
     $$V=\frac{1}{3}S_{осн.}\cdot h$$, где $$h$$ – высота пирамиды.
На рисунке 7: точка $$O$$ – центр окружности, вписанной в основание пирамиды.
                                                                               
  1. Так как $$OP=r=2$$, то $$BP=AK=2r=4$$. 
  2. Так как $$\angle BAD = 120^{\circ}$$, то $$\angle ADC = 180^{\circ}-120^{\circ} = 60^{\circ}$$.
    Тогда, $$\sin 60^{\circ} = \frac{AK}{AD}$$, откуда $$\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{4}{AD}$$, $$AD = \frac{8\sqrt{3}}{3}$$. 
  3. По свойству четырехугольника, описанного около окружности:
    $$AB+DC = AD+BC = \frac{16\sqrt{3}}{3}$$. 
  4. Площадь трапеции:
    $$S = \frac{AB+DC}{2}\cdot AK$$, $$S = \frac{1}{2} \cdot \frac{16\sqrt{3}}{3} \cdot 4 = \frac{32\sqrt{3}}{3}$$. 
  5. Объем пирамиды:
    $$V = \frac{1}{3}S \cdot h$$, $$V = \frac{1}{3} \cdot \frac{32\sqrt{3}}{3} \cdot 3\sqrt{3} = 32$$.
В четырехугольник можно вписать окружность, если суммы длин его противолежащих сторон равны.
Введите ответ в поле
Основанием тетраэдра служит треугольник $$ABC$$ со сторонами $$AB = AC = 5$$ и $$CB = 6$$, а все его боковые ребра имеют одинаковую длину. Если площадь сечения, проходящего через сторону $$CB$$ нижнего основания тетраэдра перпендикулярно противолежащему ей боковому ребру, равна $$6\sqrt{3}$$, то плоскость сечения наклонена к плоскости основания тетраэдра под углом, градусная мера которого равна:
  1. Тетраэдром называют треугольную пирамиду. 
  2. Площадь треугольника: $$S=\frac{1}{2}a\cdot h_{a}$$. 
  3. Косинус острого угла прямоугольного треугольника равен отношению прилежащего катета к гипотенузе.
На рисунке 8: $$CK\perp AS$$, $$B \perp AS$$$$AD\perp CB$$, $$KD\perp CB$$, $$KD\perp AS$$; равнобедренный треугольник $$CKB$$ – искомое сечение.
                                                                    
  1. Так как $$S_{CKB} = \frac{1}{2} \cdot CB \cdot KD = 6\sqrt{3}$$, то $$\frac{1}{2} \cdot 6 \cdot KD = 6\sqrt{3}$$, откуда $$KD = 2\sqrt{3}$$. 
  2. Из теоремы Пифагора:
    $$AD = \sqrt{AC^2 - CD^2}$$, $$AD = \sqrt{25 - 9} = 4$$.
  3. Тогда, $$\cos \angle ADK = \frac{DK}{DA}$$, $$\cos \angle ADK = \frac{2\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$, откуда $$\angle ADK = 30^{\circ}$$.
  1. Треугольник, у которого две стороны равны, называют равнобедренным. 
  2. Высота равнобедренного треугольника, проведенная к его основанию, является и медианой.
Введите ответ в поле
Если основанием треугольной пирамиды является прямоугольный треугольник с катетами $$6$$ и $$8$$, а все боковые ребра пирамиды наклонены к плоскости основания под углом $$45^{\circ}$$, то объем пирамиды равен:
  1. Если все боковые ребра пирамиды равны (или наклонены к плоскости основания пирамиды под одним и тем же углом), то высота пирамиды опускается в центр окружности, описанной около ее основания. 
  2. Площадь прямоугольного треугольника с катетами $$a$$ и $$b$$:
    $$S=\frac{ab}{2}$$. 
  3. Объем пирамиды:
    $$V=\frac{1}{3}S_{осн.}\cdot h$$.
Высота пирамиды опускается в центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника $$ABC$$, точку $$O$$, расположенную на середине гипотенузы $$AB$$ (рис. 3).
                                                               
  1. По теореме Пифагора найдем гипотенузу треугольника $$ABC$$:
    $$AB=\sqrt{CA^{2}+CB^{2}}$$, $$AB=\sqrt{64+36}=10$$.
    Тогда $$AO=5$$, а так как треугольник $$AOS$$ равнобедренный, то и $$SO=5=h$$. 
  2. Найдем площадь основания пирамиды: $$S=\frac{8\cdot 6}{2}=24$$. 
  3. Найдем объем пирамиды: $$V=\frac{1}{3}\cdot 24\cdot 5=40$$.
Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, расположен на середине его гипотенузы.
Введите ответ в поле
Если радиус окружности, описанной около грани правильного тетраэдра, равен $$\frac{2}{\sqrt{3}}$$, то объем тетраэдра равен:
  1. Треугольную пирамиду называют тетраэдром. 
  2. Тетраэдр называется правильным, если все его ребра равны. 
  3. Радиус окружности, описанной около правильного треугольника со стороной $$a$$:
    $$R=\frac{a}{\sqrt{3}}$$. 
  4. Площадь правильного треугольника со стороной $$a$$:
    $$S=\frac{\sqrt{3}a^{2}}{4}$$. 
  5. Объем пирамиды:
    $$V=\frac{1}{3}S_{осн.}\cdot h$$.
  1. Зная, что $$R=\frac{2}{\sqrt{3}}$$, найдем ребро тетраэдра (рис. 2):
    $$\frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{a}{\sqrt{3}}$$, $$a=2$$. 
                                                           
  2. Найдем высоту пирамиды:
    $$DO=\sqrt{DA^{2}-OA^{2}}$$, $$DO=\sqrt{4-\frac{4}{3}}=\sqrt{\frac{8}{3}}=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$$. 
  3. Найдем площадь основания пирамиды: $$S=\frac{\sqrt{3}\cdot 4}{4}=\sqrt{3}$$.
  4. Найдем объем пирамиды:
    $$V=\frac{1}{3}\cdot \sqrt{3}\cdot \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$$.
Различайте правильную треугольную пирамиду и правильный тетраэдр.
  1. У правильной треугольной пирамиды основание – правильный треугольник, а боковые ребра равны между собой, но не обязательно, что они равны ребрам основания пирамиды. 
  2. Правильный тетраэдр – это треугольная пирамида, у которой все ребра равны.
Выберите один из вариантов
Основание пирамиды – равнобокая трапеция с углом $$30^{\circ}$$, а все боковые грани образуют с плоскостью основания углы, тангенс которых равен $$ 1,5\sqrt{3}$$. Если высота пирамиды равна $$3\sqrt{3}$$, то площадь ее основания равна:
  1. Теорема о трех перпендикулярах: для того, чтобы прямая, лежащая в плоскости, была перпендикулярна наклонной, необходимо и достаточно, чтобы она была перпендикулярна проекции этой наклонной на плоскость. 
  2. Тангенс острого угла прямоугольного треугольника равен отношению противолежащего углу катета этого треугольника к прилежащему к нему катету. 
  3. Радиус окружности, вписанной в трапецию:
    $$r=\frac{h}{2}$$, где $$h$$ – высота трапеции. 
  4. Площадь трапеции:
    $$S=\frac{1}{2}(a+b)h$$, где $$a$$ и $$b$$ – основания, $$h$$ – высота трапеции.
  5. Объем пирамиды:
     $$V=\frac{1}{3}S_{осн.}\cdot h$$, где $$h$$ - высота пирамиды.
На рисунке 5: точка $$O$$ – центр окружности, вписанной в трапецию $$ABCD$$; $$PO=r$$ – радиус окружности, вписанной в трапецию; $$SP\perp AD$$ по теореме о трех перпендикулярах.
                                                              
  1. Так как $$\textrm{tg}\angle SPO=\frac{3\sqrt{3}}{2}$$ и $$\textrm{tg}\angle SPO=\frac{SO}{PO}$$, то $$\frac{3\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{PO}$$, откуда $$PO=2=r$$.
    Тогда $$BK=2r=4$$ – высота трапеции и катет треугольника $$ABK$$, который лежит против угла $$30^{\circ}$$. Следовательно, $$AB=8$$. 
  2. Так как сумма оснований трапеции равна сумме ее боковых сторон и равна $$16$$, то площадь трапеции равна:
    $$S=\frac{1}{2}\cdot 16\cdot 4=32$$.
В четырехугольник можно вписать окружность, если суммы длин его противолежащих сторон равны.
Введите ответ в поле
Если пирамиду, высота которой равна $$\sqrt[3]{2}$$, разделить плоскостью, параллельной ее основанию, на две равновеликие части, то расстояние от этой плоскости до вершины пирамиды будет равно:
  1. Пространственные тела называют равновеликими, если их объемы равны. 
  2. Радиус окружности, описанной около правильного треугольника со стороной $$a$$:
    $$R=\frac{a}{\sqrt{3}}$$. 
  3. Площадь правильного треугольника со стороной $$a$$:
    $$S=\frac{\sqrt{3}a^2}{4}$$. 
  4. Объем пирамиды:
    $$V=\frac{1}{3}S_{осн.}\cdot h$$, где $$h$$ – высота пирамиды.
Имеем правильные пирамиды (рис. 9):
1) $$SDNF$$ с ребром основания $$a$$ и высотой $$h=x$$;
2) $$SABC$$ с ребром основания $$b$$ и высотой $$H=\sqrt[3]{2}$$.
                                                                
  1. Радиусы окружностей, описанных около оснований пирамид:
    $$r=\frac{a}{\sqrt{3}}$$ и $$R=\frac{b}{\sqrt{3}}$$. 
  2. Так как треугольники $$SOA$$ и $$SPD$$ подобны ($$\angle SOA=\angle SPD=90^{\circ}$$, $$\angle S$$ общий), то
    $$\frac{SO}{SP}=\frac{OA}{PD}$$, $$\frac{\sqrt[3]{2}}{x}=\frac{b}{a}$$. 
  3. Объемы пирамид:
    $$V_1=\frac{1}{3}\cdot \frac{\sqrt{3}a^2}{4}\cdot x$$, $$V_2=\frac{1}{3}\cdot \frac{\sqrt{3}b^2}{4}\cdot \sqrt[3]{2}$$. 
  4. Так как $$V_2=2V_1$$, то $$\frac{1}{3}\cdot \frac{\sqrt{3}b^2}{4}\cdot \sqrt[3]{2}=\frac{2}{3}\cdot \frac{\sqrt{3}a^2}{4}\cdot x $$, откуда
    $$ b^2\cdot \sqrt[3]{2}=2a^2\cdot x $$, $$\frac{b^2}{a^2}=\frac{2}{\sqrt[3]{2}}\cdot x $$, $$\frac{b^2}{a^2}=\sqrt[3]{4}\cdot x $$. 
  5. Так как $$\frac{b}{a}=\frac{\sqrt[3]{2}}{x}$$, то $$\frac{\sqrt[3]{4}}{x^2}=\sqrt[3]{4}\cdot x $$, $$\frac{1}{x^2}=x$$, $$x^3=1$$, $$x=1$$.
Признаки подобия треугольников
  1. Два треугольника подобны, если два угла одного треугольника равны двум углам другого. 
  2. Два треугольника подобны, если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого, а углы, заключенные между ними, равны. 
  3. Два треугольника подобны, если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого.
Введите ответ в поле
© Сиротина И.К., 2013—2026