Загрузка
ТестыСправкаQualiMe РегистрацияВход
ТестыСправкаQualiMe
РегистрацияВход
Тесты Абитуриент
Многогранники КТ 1
45.000

Многогранники КТ 1

Если большая диагональ правильной шестиугольной призмы равна $$2$$ и образует с плоскостью ее основания угол $$30^{\circ}$$, то поверхность призмы равна:

  1. Рассмотрим треугольник $$ACD$$ (рис. 4).

    Так как $$\angle A = 30^{\circ}$$, то $$h=\frac{d}{2}=1$$.

    Из теоремы Пифагора: $$AD=\sqrt{4-1}=\sqrt{3}$$.

    Тогда, $$AO=\frac{\sqrt{3}}{2}=a$$.

    2. Рис. 4
  2. Найдем площадь основания призмы:

    $$S_{осн.}=\frac{6\sqrt{3}a^2}{4}$$, $$S_{осн.}=\frac{9\sqrt{3}}{8}$$.

    Найдем боковую поверхность призмы:

    $$S_{бок.} = P_{осн.} \cdot h$$, $$S_{бок.}=3\sqrt{3}$$.

    Найдем поверхность призмы:

    $$S=2S_{осн.}+S_{бок.}$$, $$S=\frac{9\sqrt{3}}{4}+3\sqrt{3}=5,25\sqrt{3}$$.

Выберите один из вариантов
Если радиус окружности, описанной около грани правильного тетраэдра, равен $$\frac{2}{\sqrt{3}}$$, то объем тетраэдра равен:
  1. По формуле $$R = \frac{a}{\sqrt{3}}$$ получим:
    $$\frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{a}{\sqrt{3}}$$, откуда $$a = 2$$ (рис. 8). 
                                                                 
  2. Из теоремы Пифагора:
    $$h = \sqrt{a^2 - R^2}$$, $$h= \sqrt{4 - \frac{4}{3}} = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$$. 
  3. Площадь основания пирамиды:
    $$S = \frac{\sqrt{3}a^2}{4}$$, $$S = \frac{\sqrt{3} \cdot 4}{4} = \sqrt{3}$$. 
  4. Объем пирамиды:
    $$V = \frac{S \cdot h}{3}$$, $$V = \frac{\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{2}}{3\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$$.
Выберите один из вариантов

Если пирамида имеет $$8$$ ребер, то отношение числа всех ее вершин к числу боковых граней равно:

  1. Четырехугольная пирамида (рис. 1) имеет $$8$$ ребер: 
    $$SA$$, $$SB$$, $$SC$$, $$SD$$, $$AB$$, $$BC$$, $$CD$$, $$DA$$. 
  2. Вершины пирамиды: $$S$$, $$A$$, $$B$$, $$C$$, $$D$$. 
  3. Боковые грани: $$SAB$$, $$SBC$$, $$SCD$$, $$SDA$$. 
  4. Отношение числа вершин к числу боковых граней: $$5:4=1,25$$.

Рис. 1

Введите ответ в поле
Если сумма длин всех ребер прямоугольного параллелепипеда равна $$120$$, а его измерения относятся как $$2 : 3 : 5$$, то площадь полной поверхности параллелепипеда равна:
  1. Пусть $$a = 2k$$, $$b = 3k$$, $$c = 5k$$ (рис. 5).
                                                                        
    Тогда, $$(2k + 3k + 5k) \cdot 4 = 120$$, откуда $$k = 3$$.
    Следовательно, $$a = 6$$, $$b = 9$$, $$c = 15$$. 
  2. По формуле $$S = 2ab + 2ac + 2bc$$ получим:
    $$S = 2 \cdot 54 + 2 \cdot 90 + 2 \cdot 135 = 558$$.
Введите ответ в поле
Если основание пирамиды – правильный шестиугольник со стороной $$6$$, а боковое ребро образует с высотой пирамиды угол $$60^{\circ}$$, то объем пирамиды равен:
На рисунке 10 точка $$O$$ – центр окружности, вписанной в основание пирамиды.
Тогда, $$AO = R = 6$$.
                                                                                 
  1. Рассмотрим треугольник $$COA$$:
    $$\textrm{tg} 60^{\circ} = \frac{R}{h}$$, откуда $$h = 6 : \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$$. 
  2. Найдем площадь основания пирамиды:
    $$S = \frac{6 \cdot \sqrt{3}a^2}{4}$$, $$S= \frac{3 \cdot \sqrt{3} \cdot 36}{2} = 54\sqrt{3}$$. 
  3. Найдем объем пирамиды:
    $$V = \frac{1}{3}Sh$$, $$V = \frac{1}{3} \cdot 54\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3} = 108$$.
Введите ответ в поле
Гипотенуза $$AB$$ треугольника $$ABC$$ параллельна плоскости $$\alpha$$ и удалена от нее на расстояние, равное $$2$$. Если вершина $$C$$ треугольника принадлежит плоскости, а проекции катетов на эту плоскость равны $$6$$ и $$10$$, то длина гипотенузы равна:
По теореме Пифагора (рис. 7):
  1. $$AC^2 = 4 + 36 = 40$$; 
  2. $$BC^2 = 4 + 100 = 104$$; 
  3. $$AB = \sqrt{40 + 104} = 12$$.
                                                             
Введите ответ в поле
Основание параллелепипеда – правильный четырехугольник. Если одна из вершин его верхнего основания равноудалена от всех вершин нижнего основания, а высота равна $$3$$ и образуют с боковым ребром угол $$60^{\circ}$$, то объем параллелепипеда равен:
  1. Так как $$ABCD$$ - квадрат (рис. 9) и вершина $$A_1$$ равноудалена от вершин квадрата, то $$A_1O = h$$. 
                                                                   
  2. Так как $$\angle AA_1O = 60^{\circ}$$, то $$tg 60^{\circ}=\frac{AO}{h}=1$$, откуда $$AO = 3\sqrt{3} = \frac{d}{2}$$. 
  3. Найдем объем параллелепипеда:
    $$V = S_{осн.} \cdot h$$, $$V = \frac{d^2 \cdot h}{2}$$, $$V = \frac{108 \cdot 3}{2} = 162$$.
Введите ответ в поле
Если в основании прямой призмы лежит правильный треугольник со стороной $$10$$, а площадь сечения призмы, проходящего через одну из сторон нижнего основания и противолежащую ей вершину верхнего основания, равна $$5\sqrt{123}$$, то объем призмы равен:
  1. Так как $$S_{сеч.}=\frac{CB \cdot A_{1}O}{2}$$ (рис. 2), то $$5\sqrt{123}=\frac{10 \cdot A_{1}O}{2}$$, откуда $$A_{1}O= \sqrt{123}$$.
    2. Рис. 2
  2. Из теоремы Пифагора:

    $$AO=\sqrt{AC^2 - OC^2}$$, $$AO=\sqrt{100-25}=\sqrt{75}$$;

    $$A_{1}A=\sqrt{A_{1}O^2 - AO^2}$$, $$A_{1}A=\sqrt{123-75}=4\sqrt{3}=h$$.

  3. Объем призмы:

    $$V = S_{осн.} \cdot h$$, $$V=\frac{CB \cdot AO}{2} \cdot h$$, $$V=\frac{10 \cdot 5\sqrt{3} \cdot 4\sqrt{3}}{2}=300$$.

Введите ответ в поле
Боковое ребро правильной четырехугольной усеченной пирамиды равно $$\sqrt{11}$$ и наклонено к плоскости основания под углом, тангенс которого равен $$1,5\sqrt{2}$$. Если периметр меньшего основания пирамиды равен $$8$$, то ее объем равен:
  1. Рассмотрим верхнее основание пирамиды (рис. 3).

    Так как $$P=8$$, то $$a_1 = 2$$.

    Но так как $$S_1 = \frac{d_{1}^2}{2}$$, то $$d_1 = 2\sqrt{2}$$, а $$NC=\sqrt{2}$$.

    2. Рис. 3
  2. Рассмотрим треугольник $$PCD$$.

    Так как $$tg \alpha = \frac{h}{PD}$$, то $$\frac{3\sqrt{2}}{2}=\frac{h}{PD}$$, $$PD=\frac{h\sqrt{2}}{3}$$.

    По теореме Пифагора: $$h^2 + \frac{2h^2}{9}=11$$, откуда $$h=3$$.

    Тогда, $$PD=\sqrt{2}$$.

  3. Рассмотрим нижнее основание пирамиды.

    Так как $$OD = OP +PD = 2\sqrt{2}$$, то $$d_2 = 4\sqrt{2}$$, а $$S_2 = \frac{d_{2}^2}{2} = 16$$.

  4. По формуле $$V=\frac{1}{3}h(S_{1} + S_{2}+\sqrt{S_{1}S_{2}})$$ получим:

    $$V=\frac{1}{3} \cdot 3 \cdot (4+16+\sqrt{4 \cdot 16}) = 28$$.

Введите ответ в поле
Одна из вершин верхнего основания параллелепипеда равноудалена от всех сторон его нижнего основания, а от смежных вершин этого основания находится на расстоянии $$4$$ и $$2\sqrt{6}$$. Если высота параллелепипеда равна $$2\sqrt{3}$$, то площадь его боковой поверхности не превосходит все целые числа, наименьшее из которых равно:
Основание параллелепипеда – ромб $$ABCD$$ (рис. 6).
                                                                      
  1. Из теоремы Пифагора:
    $$AO = \sqrt{A_{1}A^2 - h^2}$$, $$AO= \sqrt{24 - 12} = 2\sqrt{3}$$;
    $$DO = \sqrt{A_{1}D^2 - h^2}$$, $$DO= \sqrt{16 - 12} = 2$$. 
  2. Тогда, $$a = \sqrt{OA^2 + OD^2} $$, $$a= \sqrt{12 + 4} = 4$$. 
  3. Так как $$S_{DOC} = \frac{OD \cdot OC}{2} = \frac{DC \cdot OK}{2}$$, то
    $$2 \cdot 2\sqrt{3} = 4 \cdot OK$$, откуда $$OK = \sqrt{3}$$. 
  4. По теореме Пифагора:
    $$A_{1}K = \sqrt{OK^2 + h^2} $$, $$A_{1}K= \sqrt{3 + 12} = \sqrt{15}$$.
  5. Площадь боковой поверхности параллелепипеда:
    $$S = 4 \cdot a \cdot A_{1}K = 16\sqrt{15}$$. 
  6. Так как $$16\sqrt{15} < 16 \cdot 4$$, то искомое число равно $$64$$.
Введите ответ в поле
© Сиротина И.К., 2013—2026