Загрузка
ТестыСправкаQualiMe РегистрацияВход
ТестыСправкаQualiMe
РегистрацияВход
Тесты Абитуриент
Многогранники КТ 2
45.000

Многогранники КТ 2

Основанием треугольной пирамиды является прямоугольный треугольник с катетами $$4\sqrt{3}$$ и $$3\sqrt{3}$$. Если боковые грани пирамиды наклонены к плоскости ее основания под углом $$45^{\circ}$$, то боковая поверхность пирамиды равна:
На рисунке 7 точка $$O$$ – центр окружности, вписанной в основание пирамиды; $$\angle SDO = 45^{\circ}$$ – угол наклона боковой грани пирамиды к плоскости основания.
                                                                               
  1. Найдем гипотенузу треугольника $$ABC$$:
    $$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2}$$, $$AB = \sqrt{48 + 27} = 5\sqrt{3}$$. 
  2. Найдем радиус окружности, вписанной в треугольник $$ABC$$:
    $$r = \frac{AC + BC -AB}{2}$$, $$r = \frac{4\sqrt{3} + 3\sqrt{3} - 5\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$$. 
  3. Так как $$\angle SDO = 45^{\circ}$$, то треугольник $$SOD$$ равнобедренный и $$h = r = \sqrt{3}$$. 
  4. Найдем высоту боковых граней пирамиды:
    $$SD = \sqrt{h^2 + r^2}$$, $$SD = \sqrt{3 + 3} = \sqrt{6}$$. 
  5. Найдем боковую поверхность пирамиды:
    $$S = \frac{1}{2}P_{осн.} \cdot SD$$, $$S = \frac{4\sqrt{3} + 3\sqrt{3} + 5\sqrt{3}}{2} \cdot \sqrt{6} = 18\sqrt{2}$$.
Выберите один из вариантов
Основание пирамиды – треугольник с катетами $$6$$ и $$8$$, а две ее боковые грани перпендикулярны плоскости основания и образуют двугранный угол, равный $$90^{\circ}$$. Если площадь наибольшей боковой грани пирамиды равна $$3\sqrt{89}$$, то ее высота равна:
На рисунке 9: $$\angle ACB= 90^{\circ}$$ – линейный угол двугранного угла $$ASCB$$.
                                                                                  
  1. По теореме Пифагора найдем гипотенузу треугольника $$ABC$$:
    $$AB = \sqrt{64 + 36} = 10$$. 
  2. Так как $$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot CA \cdot CB и $$S_{ABC}= \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CP$$, то $$8 \cdot 6 = 10 \cdot CP$$, откуда $$CP = 4,8$$. 
  3. Найдем высоту треугольника $$ABC$$.
    Так как $$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot SP = 3\sqrt{89}$$, то $$\frac{1}{2} \cdot 10 \cdot SP = 3\sqrt{89}$$, откуда $$SP = \frac{3\sqrt{89}}{5}$$. 
  4. Найдем высоту пирамиды. Из теоремы Пифагора:
    $$h = \sqrt{SP^2 - PC^2}$$, $$h = \sqrt{\frac{801}{25} - \frac{576}{25}} = 3$$.
Введите ответ в поле
Точки $$A$$, $$B$$ и $$C$$ удалены от некоторой плоскости соответственно на $$45$$ см, $$25$$ см и $$20$$ см. Расстояние от точки пересечения медиан треугольника $$ABC$$ до данной плоскости (в дециметрах) равно:
На рисунке 8: $$AA_1 = 45$$ см, $$BB_1=25$$ см, $$CC_1=20$$ см; точка $$O$$ – точка пересечения медиан треугольника $$ABC$$.
                                                                     
  1. $$FP = \frac{BD}{2} = 2,5$$ (см) как средняя линия треугольника $$CBD$$. 
  2. $$AK = AA_1 -MA_1 - KM $$, $$AK= 45 - 20 -2,5 = 22,5$$ (см). 
  3. Так как $$\frac{AK}{x} = \frac{3k}{x}$$, то $$\frac{22,5}{x} = \frac{3}{1}$$, откуда $$x = 7,5$$ см. 
  4. $$OO_1 = 7,5 + 2,5 + 20 = 30$$ (см).
Введите ответ в поле

Если боковые ребра тетраэдра взаимно перпендикулярны и соответственно равны $$1$$ см, $$1$$ см и $$2$$ см, то площадь его поверхности равна:

  1. По теореме Пифагора (рис. 1):

    $$a=\sqrt{4+1}= \sqrt{5}$$ (см); $$b=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}$$ (см); $$c=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}$$ (см).


    2. Рис. 1
  2. Площади боковых граней тетраэдра:

    $$S_1 = \frac{2\cdot 1}{2} = 1$$ (см$$^{2}$$); $$S_2 = \frac{1 \cdot 1}{2} = 0,5$$ (см$$^2$$); $$S_3 = \frac{2 \cdot 1}{2} = 1$$ (см$$^2$$).

  3. Площадь основания тетраэдра:

    $$S_4 = \sqrt{\frac{2\sqrt{5}+\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2\sqrt{5}-\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}= \sqrt{\frac{9}{4}}= 1,5$$.

  4. Площадь поверхности тетраэдра:

    $$S = 1 +0,5 +1 +1,5 = 4$$ (см$$^2$$).

Выберите один из вариантов
Если гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника, один из катетов которого принадлежит плоскости $$\alpha$$, образует с этой плоскостью угол $$30^{\circ}$$, то другой катет треугольника образует с этой плоскостью угол (в градусах), равный:
На рисунке 6: $$BA=c$$ – гипотенуза треугольника $$ABC$$.
                                                                            
  1. Так как $$\angle ACB =90^{\circ}$$, то $$AB=\sqrt{a^2 + a^2}=\sqrt{2}a$$. 
  2. Тогда, $$OB=\frac{AB}{2}=\frac{\sqrt{2}a}{2}$$. 
  3. Так как $$\sin \alpha =\frac{OB}{a}=\frac{\sqrt{2}a}{2a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$$, то $$\alpha = 45^{\circ}$$.
Введите ответ в поле
Если высота правильной треугольной пирамиды равна $$3$$, а апофема равна $$5$$, то боковая поверхность пирамиды равна:
  1. Найдем радиус окружности, вписанной в основание пирамиды (рис. 5).
                                                             
    Из теоремы Пифагора:
    $$OK=\sqrt{DK^2-DO^2}$$, $$OK=\sqrt{25-9}=4=r$$. 
  2. Найдем сторону основания пирамиды.
    По формуле $$r=\frac{a}{2\sqrt{3}}$$ получим:
    $$4=\frac{a}{2\sqrt{3}}$$, откуда $$a=8\sqrt{3}$$. 
  3. Найдем боковую поверхность пирамиды:
     $$S=\frac{1}{2}\cdot 3a \cdot DK$$, $$S=\frac{24\sqrt{3} \cdot 5}{2}=60\sqrt{3}$$.
Выберите один из вариантов
Если диагональ прямоугольного параллелепипеда равна $$6$$ см, а смежные стороны его основания равны $$4$$ см и $$3$$ см, то объем параллелепипеда равен:
  1. По формуле $$d^2 = a^2 + b^2 + c^2$$ получим:
    $$36 = 16 + 9 + c^2$$, откуда $$c = \sqrt{11}$$ см (рис. 2). 
  2. По формуле $$V = a \cdot b \cdot c$$ получим:
    $$V = 4 \cdot 3 \cdot \sqrt{11} = 12\sqrt{11}$$ ($$см^3$$).
                                                                     
Выберите один из вариантов

Если диагональ куба равна $$12$$, то его объем равен:

  1. По формуле $$d^2 = 3a^2$$ получим:

    $$12^2 = 3a^2$$, откуда $$a=\frac{12}{\sqrt{3}}$$ - ребро куба.

  2. По формуле $$V=a^3$$ получим:

    $$V=\frac{12 \cdot 12 \cdot 12}{3\sqrt{3}}= 192\sqrt{3}$$.

Выберите один из вариантов
Если радиус окружности, вписанной в грань куба, равен $$\sqrt{6}$$, то площадь поверхности куба равна:
На рисунке 4 изображена грань куба – квадрат со стороной $$a$$.
  1. Так как $$a=2r$$, то $$a=2\sqrt{6}$$. 
  2. Площадь поверхности куба: $$S=6a^2$$, $$S = 6 \cdot 24 = 144$$.
                                                                        
    Введите ответ в поле
    Если меньшая диагональ прямого параллелепипеда равна $$3\sqrt{2}$$ и образует с плоскостью основания угол, тангенс которого равен $$1$$, а его основанием является ромб с углом $$120^{\circ}$$, то объем параллелепипеда равен:
    На рисунке 3: $$B_{1}D=d$$– меньшая диагональ прямого параллелепипеда.
                                                                         
    1. Рассмотрим треугольник $$B_{1}BD$$.
      Так как $$\textrm{tg} \angle B_{1}DB = 1$$, то $$\angle B_{1}DB = 45^{\circ}$$, а $$BB_1 = DB = x$$. 
    2. По теореме Пифагора:
      $$x^2 + x^2 = d^2$$, $$2x^2 = 18$$, $$x = 3=H$$. 
    3. Рассмотрим ромб $$ABCD$$.
      Так как $$\angle ADC = 120^{\circ}$$, то $$\angle BAD = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ}$$.
      Следовательно, треугольник $$ABD$$ равносторонний и $$AD = a =3$$. 
    4. Найдем площадь ромба:
      $$S = a^2 \cdot \sin\angle A$$, $$S = \frac{9\sqrt{3}}{2}$$. 
    5. Найдем объем параллелепипеда:
      $$V = S_{осн.} \cdot H$$, $$V = \frac{9\sqrt{3}}{2} \cdot 3 = 13,5\sqrt{3}$$.
    Выберите один из вариантов
    © Сиротина И.К., 2013—2026