Загрузка
ТестыСправкаQualiMe РегистрацияВход
ТестыСправкаQualiMe
РегистрацияВход
Тесты Абитуриент
Тела вращения КТ 1
45.000

Тела вращения КТ 1

Сторона ромба, описанного около шара, равна $$24$$, а его острый угол составляет $$30^{\circ}$$. Если высота шарового сегмента, отсекаемого плоскостью ромба от шара, в $$6$$ раз меньше высоты ромба, то диаметр шара равен:
  1. Найдем площадь ромба: $$S=a^2sin 30^{\circ}=24^2 \cdot \frac{1}{2}=288$$. 
  2. С другой стороны, $$S=a \cdot 2r$$. Тогда, $$r=\frac{288}{48}=6$$ 
  3. Найдем высоту шарового сегмента (рис. 6): $$h=\frac{2r}{6}=2$$.
    Тогда, $$d=R-h=R-2$$.
  4. По теореме Пифагора:
    $$R^2 = r^2 + d^2$$, $$R^2=36+(R-2)^2$$, откуда $$2R=20=D$$.
                                                               
Введите ответ в поле

Если радиус основания конуса равен $$5$$, а разверткой его боковой поверхности является круговой сектор с центральным углом $$120^{\circ}$$, то площадь боковой поверхности конуса равна:

  1. Длина окружности в основании конуса (рис. 3):

    $$C = 2\pi r = 10\pi$$.

  2. Длина дуги развертки боковой поверхности конуса (рис. 4):

    $$L = \frac{2\pi l}{360^{\circ}} \cdot 120^{\circ} = \frac{2\pi l}{3}$$.

  3. Так как $$C = L$$, то $$10\pi = \frac{2\pi l}{3}$$, откуда $$l = 15$$.
  4. Площадь боковой поверхности конуса:

    $$S = \pi r\cdot l$$, $$S = 75\pi$$.


Выберите один из вариантов

Прямоугольный треугольник с катетами $$4$$ и $$3$$ вращается вокруг меньшего катета. Поверхность тела вращения равна:

Тело вращения: конус (рис. 2).
  1. По теореме Пифагора: $$l = \sqrt{9 + 16} = 5$$.

  2. Поверхность конуса: $$S = \pi r^2 + \pi rl$$, $$S = 16\pi + 20\pi = 36\pi$$.

>
Рис. 2
Выберите один из вариантов
В шар вписана прямая треугольная призма, в основании которой лежит прямоугольный треугольник с острым углом $$30^{\circ}$$, а наибольшая из ее боковых граней – квадрат. Если радиус шара равен $$\sqrt{6}$$, то объем призмы равен:
На рисунке 8: точка $$O$$ – центр шара, $$R$$ – радиус шара, грань $$AA_{1}C_{1}C$$ – квадрат.
                                                                           
  1. По теореме Пифагора:
    $$x^2 + x^2 = 4R^2$$, $$x^2 = 2 \cdot 6$$, откуда $$x=2\sqrt{3}$$. 
  2. Так как $$\angle BAC = 30^{\circ}$$, то $$\cos 30^{\circ} = \frac{AB}{x}$$, $$\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{AB}{2\sqrt{3}}$$, откуда $$AB=3$$. 
  3. Площадь основания призмы:
    $$S=\frac{1}{2} AC \cdot AB \cdot \sin 30^{\circ}$$, $$S=\frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{3} \cdot 3 \cdot \frac{1}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$$. 
  4. Объем призмы:
    $$V=S \cdot AA_{1}$$, $$S = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 2\sqrt{3} = 9$$.
Введите ответ в поле
Если шар касается всех граней треугольной призмы с ребрами оснований $$4$$ см, $$4$$ см и $$2$$ см, то объем призмы (в кубических сантиметрах) равен:
  1. Площадь основания призмы (рис. 2):
    $$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$$, $$S=\sqrt{5\cdot 1 \cdot 1 \cdot 3} = \sqrt{15}$$ (см$$^2$$). 
  2. Радиус окружности, вписанной в основание призмы:
    $$r=\frac{2S}{a+b+c}$$, $$r=\frac{2\sqrt{15}}{4+4+2}=\frac{\sqrt{15}}{5}$$ (см). 
  3. Высота призмы:
    $$h=2r=\frac{2\sqrt{15}}{5}$$ (см). 
  4. Объем призмы:
    $$V=S\cdot h$$, $$V=\sqrt{15} \cdot \frac{2\sqrt{15}}{5}=6$$ (см$$^3$$).
                                                                      
Введите ответ в поле

Развертка усеченного конуса – часть кругового кольца, ширина которого равна $$\frac{3}{\pi}$$. Если длины дуг развертки соответственно равны $$2\pi$$ и $$4\pi$$, то площадь боковой поверхности конуса равна:

На рисунке 11: $$r_1$$ – радиус верхнего основания,$$r_2$$ – радиус нижнего основания, $$l=\frac{3}{\pi}$$ образующая – (ширина кругового кольца) усеченного конуса.
                                                                           
  1. Так как $$C_1 = 2\pi r_1$$, то $$2\pi = 2\pi r_1$$, откуда $$r_1 = 1$$.
  2. Так как $$C_2 = 2\pi r_2$$, то $$4\pi = 2\pi r_2$$, откуда $$r_2 = 2$$.
  3. Площадь боковой поверхности конуса:

    $$S = \pi (r_1 + r_2)l$$, $$S = \pi (1 + 2) \cdot \frac{3}{\pi} = 9$$.

Введите ответ в поле

В правильный тетраэдр, сторона основания которого равна $$2\sqrt{3}$$, вписан конус, имеющий общую вершину с тетраэдром. Площадь боковой поверхности конуса равна:

  1. Так как $$R = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 2$$ (рис. 7),

    то $$h = \sqrt{a^2 - R^2} = \sqrt{12 - 4} = 2\sqrt{2}$$.

  2. Так как $$r = \frac{a}{2\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = 1$$, то $$l = \sqrt{h^2 + l^2} = \sqrt{8 + 1} = 3$$.
  3. Площадь боковой поверхности конуса: $$S = \pi rl = 3\pi$$.

    4. Рис. 7
Выберите один из вариантов

В конус, осевое сечение которого равносторонний треугольник, вписан шар. Если объем шара равен $$4\sqrt{3}\pi$$, то площадь поверхности конуса равна:

  1. Так как $$V = \frac{4}{3}\pi R^3$$, то $$4\sqrt{3}\pi = \frac{4}{3}\pi R^3$$, $$R^3 = 3\sqrt{3}$$, $$R = \sqrt{3}$$ (рис. 5).

    2. Рис. 5
  2. Так как $$\bigtriangleup BOC \sim \bigtriangleup BKP$$, то $$\frac{BO}{BK} = \frac{OC}{KP} = \frac{BC}{BP}$$.

    Так как $$l = 2r$$ и $$CO = CK = r$$, то $$BK = r$$.

    Получим: $$\frac{h}{r} = \frac{r}{\sqrt{3}} = \frac{2r}{h - \sqrt{3}}$$, откуда $$h = 3\sqrt{3}$$, а $$r = 3$$.

  3. Площадь поверхности конуса:

    $$S = \pi r^2 + \pi rl = \pi r^2 + 2\pi r^2 = 3\pi r^2 = 27\pi$$.

Выберите один из вариантов
Если сфера, площадь поверхности которой равна $$4$$, вписана в цилиндр, то площадь поверхности цилиндра равна:
Так как сфера вписана в цилиндр, то осевое сечение цилиндра квадрат (рис. 10).
                                                                               
  1. Площадь сферы: $$S=4\pi R^2$$, $$4=4\pi R^2$$, откуда $$R=\frac{1}{\sqrt{\pi}}$$ - радиус сферы. 
  2. Радиус цилиндра $$r=R=\frac{1}{\sqrt{\pi}}$$. 
  3. Образующая цилиндра: $$l=2R=\frac{2}{\sqrt{\pi}}$$. 
  4. Площадь поверхности цилиндра: 
    $$S=2\pi R^2 +2\pi \cdot R \cdot 2R=6\pi R^2 = \frac{6\pi}{\pi}=6$$.
Введите ответ в поле

Если все вершины правильного тетраэдра, ребро которого равно $$2\sqrt{6}$$, лежат на поверхности шара, то радиус этого шара равен:

    На рисунке 9: точка $$O$$ – центр шара, $$x$$ – радиус шара.

  1. Радиус окружности, описанной около основания тетраэдра:

    $$R = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{6}}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{2}$$.

  2. Высота тетраэдра:

    $$SO = \sqrt{a^2 - R^2} = \sqrt{24 - 8} = 4 = h$$.

  3. По теореме Пифагора:

    $$x^2 = R^2 + DC^2$$, $$x^2 = 8 + (4 - x)^2$$,

    $$x^2 = 8 + 16 - 8x +x^2$$, откуда $$x = 3$$.


    4. Рис. 9
Введите ответ в поле
© Сиротина И.К., 2013—2026