Загрузка
ТестыСправкаQualiMe РегистрацияВход
ТестыСправкаQualiMe
РегистрацияВход
Тесты Абитуриент
Тела вращения КТ 2
45.000

Тела вращения КТ 2

Правильный тетраэдр, объем которого равен $$2\sqrt{6}$$, вписан в цилиндр. Объем цилиндра равен:
Рассмотри правильный тетраэдр с ребром $$a$$ (рис. 1).
                                                                    
  1. Так как $$R=\frac{a}{\sqrt{3}}$$, то $$h=\sqrt{a^2 - \frac{a^2}{3}}$$, $$h=\frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$$. 
  2. Так как площадь основания пирамиды $$S = \frac{\sqrt{3}a^2}{4}$$, а $$V = \frac{S \cdot h}{3}$$, то
    $$2\sqrt{6}=\frac{\sqrt{3}a^2 \cdot a\sqrt{2}}{12\sqrt{3}}$$, $$a^3 = 8 \cdot 3\sqrt{3}$$, откуда $$a=2\sqrt{3}$$.
    Тогда: $$R = 2$$, $$h = 2\sqrt{2}$$. 
  3. Найдем объем цилиндра: $$V = \pi R^2 h $$, $$V= 8\sqrt{2} \pi$$.
Выберите один из вариантов

Если в конус, боковой поверхностью которого является сектор с центральным углом $$216^{\circ}$$ и радиусом $$5$$, вписан шар, то площадь поверхности шара равна:

  1. Длина дуги сектора: $$L = \frac{2\pi \cdot 5 \cdot 216^{\circ}}{360^{\circ}} = 6\pi$$.
  2. Длина окружности основания конуса: $$C = 2\pi r$$.

    Так как $$C = L = 6\pi$$, то $$r = 3$$ (рис. 4).

    Из теоремы Пифагора: $$h = \sqrt{l^2 - r^2}$$, $$h = \sqrt{25 - 9} = 4$$.


    Рис.4
  3. Так как $$\bigtriangleup BOC \sim \bigtriangleup BKP$$, то $$\frac{BO}{BK} = \frac{OC}{KP}$$.

    Получим: $$\frac{4}{5-3} = \frac{3}{R}$$, откуда $$R = \frac{3}{2}$$.

  4. Площадь поверхности шара: $$S = 4\pi R^2 $$, $$S= 9\pi$$.
Выберите один из вариантов

Если диагональ развертки боковой поверхности цилиндра равна $$4\sqrt[3]{\pi}$$ и образует угол $$30^{\circ}$$ с его основанием, то объем цилиндра равен:

  1. Так как $$\angle CAD = 30^{\circ}$$ (рис. 6), то $$h = \frac{d}{2} = 2\sqrt[3]{\pi}$$.

    Тогда, $$AD = \sqrt{d^2 - h^2} = \sqrt{16\sqrt[3]{\pi^2} - 4\sqrt[3]{\pi^2}} = 2\sqrt[6]{27\pi^2}$$.


    2. Рис.6
  2. Так как $$AD = L = 2\pi r$$, то $$2\pi r = 2\sqrt[6]{27\pi^2}$$, откуда $$r = \frac{\sqrt[6]{27\pi^2}}{\pi}$$.
  3. Объем цилиндра:

    $$V = \pi r^2 h$$, $$V = \frac{\pi \sqrt[3]{27\pi^2} \cdot 2\sqrt[3]{\pi}}{\pi^2} = 6$$.

Введите ответ в поле
Через вершину конуса и хорду его основания, стягивающую дугу $$60^{\circ}$$, проведено сечение. Если образующая конуса равна $$1$$, а радиус его основания равен $$\sqrt{0,5}$$, то площадь сечения равна:
  1. Так как $$\angle AOC = 60^{\circ}$$ (рис. 2), то $$AO=OC=AC=r$$,  $$AC=r=\sqrt{0,5}$$. 
                                                            
  2. Сечение конуса – треугольник $$ABC$$.
    Найдем полупериметр треугольника:
    $$p=\frac{BA+BC+AC}{2}$$, $$p=\frac{1+1+\sqrt{0,5}}{2}=1+\frac{\sqrt{0,5}}{2}$$. 
  3. По формуле Герона:
    $$S=\sqrt{\left(1+\frac{\sqrt{0,5}}{2} \right)\cdot \left(1-\frac{\sqrt{0,5}}{2}\right) \cdot \frac{\sqrt{0,5}}{2} \cdot \frac{\sqrt{0,5}}{2} }$$,
    $$S=\sqrt{\left(1-\frac{0,5}{4}\right) \cdot \frac{0,5}{4}}=\sqrt{\frac{7}{8} \cdot \frac{1}{8}}=\frac{\sqrt{7}}{8}$$.
Выберите один из вариантов

Если шар касается всех граней правильного тетраэдра, сторона основания которого равна $$2\sqrt{6}$$, то радиус шара равен:

    На рисунке 8: точка $$D$$ – центр шара, $$x$$ – радиус шара.


    Рис.8
  1. Радиус окружности, описанной около основания тетраэдра:

    $$R = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{6}}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{2}$$.

  2. Высота тетраэдра:

    $$SO = \sqrt{a^2 - R^2} = \sqrt{24 - 8} = 4 = h$$.

  3. Радиус окружности, вписанной в основание тетраэдра:

    $$r = \frac{a}{2\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{6}}{2\sqrt{3}} = \sqrt{2}$$.

  4. Апофема тетраэдра:

    $$SK = \sqrt{h^2 + r^2} = \sqrt{16 + 2} = 3\sqrt{2}$$.

  5. Так как $$\bigtriangleup SND \sim \bigtriangleup SOK$$, то

    $$\frac{ND}{OK} = \frac{SD}{SK}$$, $$\frac{x}{\sqrt{2}} = \frac{4 - x}{3\sqrt{2}}$$, откуда $$x = 1$$.

Введите ответ в поле
Прямоугольный треугольник с углом $$45^{\circ}$$ и катетом $$2\sqrt{2}$$ вращается вокруг гипотенузы. Отношение объема полученного тела вращения к площади его поверхности равно:
  1. Так как $$\angle C = 90^{\circ}$$, а $$\angle B =45^{\circ}$$, то $$CB=CA$$ (рис. 7). 
                                                             
  2. По теореме Пифагора: $$AB = \sqrt{CA^2 + CB^2}$$, $$AB=\sqrt{8+8}= 4$$.
    Тогда, $$h=\frac{1}{2}AB = 2 =r$$. 
  3. Объем тела вращения: $$V = 2\cdot \frac{1}{3}\pi r^2 h $$, $$V= \frac{16 \pi}{3}$$.
  4. Площадь поверхности: $$S = 2\cdot \pi rl $$, $$S= 8\sqrt{2}\pi$$. 
  5. Тогда, $$\frac{V}{S}= \frac{16\pi}{3 \cdot 8\sqrt{2}\pi}=\frac{\sqrt{2}}{3}$$.
Выберите один из вариантов
В конус вписан цилиндр, высота которого равна радиусу основания конуса. Если высота конуса равна $$9$$, а радиус основания цилиндра равен $$2$$, то диаметр конуса большего объема равен:
  1. Так как $$\triangle BOC \sim \triangle BFP$$ (рис. 9), то $$\frac{BO}{BF}=\frac{OC}{FP}$$,
    $$\frac{9}{9-r}=\frac{r}{2}$$, $$r^2 - 9r + 18 =0$$, откуда $$r=3$$ или $$r=6$$. 
  2. Диаметр конуса большего объема: $$d=12$$.
                                                                 
Введите ответ в поле

Правильная шестиугольная пирамида со стороной основания $$\frac{2\sqrt{3}}{3}$$ вписана в конус. Если образующая конуса в два раза больше его высоты, то боковая поверхность пирамиды равна:

  1. Найдем высоту конуса и пирамиды (рис. 5).
                                                                  
    Так как $$R = a = \frac{2\sqrt{3}}{3}$$, а $$l = 2h$$, то по теореме Пифагора:
    $$l^2=h^2+l^2$$, $$4h^2 = h^2 + \frac{4}{3}$$, откуда $$h = \frac{2}{3}$$, а $$l = \frac{4}{3}$$. 
  2. Найдем апофему пирамиды:
    $$SC = \sqrt{l^2 - \frac{a^2}{4}} $$, $$SC= \sqrt{\frac{16}{9} - \frac{1}{3}} = \frac{\sqrt{13}}{3}$$. 
  3. Найдем площадь боковой грани пирамиды:
    $$S_1=\frac{1}{2}\cdot a\cdot SC$$, $$S_1=\frac{1}{2}\cdot \frac{2\sqrt{3}}{3}\cdot \frac {\sqrt{13}}{3}=\frac{\sqrt{39}}{9}$$. 
  4. Найдем боковую поверхность пирамиды:
    $$S=6S_1$$, $$S=\frac{2\sqrt{39}}{3}$$.
Выберите один из вариантов

Образующая усеченного конуса длины $$10$$ наклонена к плоскости его основания под углом $$60^{\circ}$$. Если радиусы его оснований относятся как $$1 : 6$$, то площадь боковой поверхности конуса равна:

  1. Так как $$\angle A = 60^{\circ}$$ (рис. 3), то:

    $$\sin 60^{\circ} = \frac{h}{l}$$, откуда $$h = 5\sqrt{3}$$;

    $$\cos 60^{\circ} = \frac{AB}{l}$$, $$\frac{1}{2} = \frac{AB}{10}$$, откуда $$AB = 5$$.


    2. Рис.3
  2. Так как $$r_2 = r_1 + 5$$ и $$\frac{r_1}{r_2} = \frac{1}{6}$$, то $$6r_1 = r_1 + 5$$,

    откуда $$r_1 = 1$$, а $$r_2 = 6$$.

  3. Площадь боковой поверхности конуса:

    $$S = \pi (r_1 + r_{2})l$$, $$S = \pi (1 + 6) \cdot 10 = 70\pi$$.

Выберите один из вариантов
Круговой сектор с центральным углом $$30^{\circ}$$ вращается вокруг своего радиуса. Если объем тела вращения равен $$\frac{(2-\sqrt{3})\pi}{3}$$, то радиус сектора равен:
  1. Так как $$cos 30^{\circ} = \frac{d}{R}$$ (рис. 10), то $$d=\frac{\sqrt{3}R}{2}$$. 
  2. Так как $$d+h=R$$, то $$h=R-\frac{\sqrt{3}R}{2}$$, $$h=\frac{(2-\sqrt{3}R)}{2}$$. 
  3. Объем шарового сектора:
    $$V = \frac{2}{3}\pi R^2 h$$, $$\frac{(2-\sqrt{3})\pi}{3} = \frac{2\pi R^2}{3} \cdot \frac{(2-\sqrt{3})R}{2}$$, откуда $$R=1$$.
                                                                     
Введите ответ в поле
© Сиротина И.К., 2013—2026